Semne de divizibilitate a numerelor- sunt reguli care permit, fără a împărți, să se afle relativ rapid dacă acest număr este divizibil cu unul dat fără rest.
Unele semne de divizibilitate destul de simplu, unele mai dificile. Pe această pagină veți găsi atât semnele de divizibilitate ale numerelor prime, cum ar fi, de exemplu, 2, 3, 5, 7, 11, cât și semnele de divizibilitate ale numerelor compuse, cum ar fi 6 sau 12.
Sper că această informație vă va fi de folos.
Învățare fericită!

Semn de divizibilitate cu 2

Acesta este unul dintre cele mai simple semne de divizibilitate. Sună așa: dacă înregistrarea unui număr natural se termină cu o cifră pară, atunci este par (împărțită fără rest la 2), iar dacă înregistrarea unui număr se termină cu o cifră impară, atunci acest număr este impar.
Cu alte cuvinte, dacă ultima cifră a unui număr este 2 , 4 , 6 , 8 sau 0 - numărul este divizibil cu 2, dacă nu, atunci nu este divizibil
De exemplu, numere: 23 4 , 8270 , 1276 , 9038 , 502 sunt divizibile cu 2 deoarece sunt pare.
A numere: 23 5 , 137 , 2303
nu sunt divizibile cu 2 deoarece sunt impare.

Semn de divizibilitate cu 3

Acest semn de divizibilitate are reguli complet diferite: dacă suma cifrelor unui număr este divizibilă cu 3, atunci și numărul este divizibil cu 3; Dacă suma cifrelor unui număr nu este divizibilă cu 3, atunci numărul nu este divizibil cu 3.
Deci, pentru a înțelege dacă un număr este divizibil cu 3, trebuie doar să adunăm numerele care îl compun.
Arata asa: 3987 si 141 se impart la 3, deoarece in primul caz 3+9+8+7= 27 (27:3=9 - divizibil fără rest cu 3), iar în al doilea 1+4+1= 6 (6:3=2 - de asemenea divizibil cu 3 fără rest).
Dar numerele: 235 și 566 nu sunt divizibile cu 3, deoarece 2+3+5= 10 și 5+6+6= 17 (și știm că nici 10, nici 17 nu pot fi împărțiți la 3 fără rest).

Divizibilitatea cu semnul 4

Acest test de divizibilitate va fi mai complicat. Dacă ultimele 2 cifre ale numărului formează un număr care este divizibil cu 4 sau acesta este 00, atunci numărul este divizibil cu 4, altfel acest număr nu este divizibil cu 4 fără rest.
De exemplu: 1 00 și 3 64 sunt divizibile cu 4, deoarece în primul caz numărul se termină în 00 , iar în al doilea 64 , care la rândul său este divizibil cu 4 fără rest (64:4=16)
Numerele 3 57 și 8 86 nu sunt divizibile cu 4 pentru că nici 57 nici 86 nu sunt divizibile cu 4 și, prin urmare, nu corespund acestui criteriu de divizibilitate.

Semn de divizibilitate cu 5

Și din nou, avem un semn destul de simplu de divizibilitate: dacă înregistrarea unui număr natural se termină cu cifra 0 sau 5, atunci acest număr este divizibil fără rest cu 5. Dacă înregistrarea numărului se termină cu o cifră diferită, atunci numărul fără rest nu este divizibil cu 5.
Aceasta înseamnă că orice numere care se termină în cifre 0 Și 5 , de exemplu 1235 5 și 43 0 , se incadreaza sub regula si sunt divizibile cu 5.
Și, de exemplu, 1549 3 și 56 4 nu se termină cu 5 sau 0, ceea ce înseamnă că nu pot fi divizibile cu 5 fără un rest.

Semn de divizibilitate cu 6

Înaintea noastră numar compus 6, care este produsul numerelor 2 și 3. Prin urmare, semnul divizibilității cu 6 este și compus: pentru ca un număr să fie divizibil cu 6, trebuie să corespundă la două semne de divizibilitate în același timp: semnul divizibilității cu 2 și semnul divizibilității cu 3. În același timp, fiți atenți că un astfel de număr compus ca 4 are un semn individual de divizibilitate, deoarece este un produs al numărului 2 în sine. Dar să revenim la testul de divizibilitate cu 6.
Numerele 138 și 474 sunt pare și corespund semnelor de divizibilitate cu 3 (1+3+8=12, 12:3=4 și 4+7+4=15, 15:3=5), ceea ce înseamnă că sunt divizibile cu 6. Dar 123 și 447, deși sunt divizibile cu 3 (1+2+3=6, 6:3=2 și 4+4+7=15, 15:3=5), dar sunt impare, și, prin urmare, nu corespund criteriului divizibilității cu 2 și, prin urmare, nu corespund criteriului divizibilității cu 6.

Semn de divizibilitate cu 7

Acest criteriu de divizibilitate este mai complex: un număr este divizibil cu 7 dacă rezultatul scăderii ultimei cifre dublate din numărul de zeci din acest număr este divizibil cu 7 sau este egal cu 0.
Sună destul de confuz, dar în practică este simplu. Vedeți singuri: numărul 95 9 este divizibil cu 7 deoarece 95 -2*9=95-18=77, 77:7=11 (77 este divizibil cu 7 fără rest). Mai mult, dacă există dificultăți cu numărul obținut în timpul transformărilor (din cauza dimensiunii sale, este greu de înțeles dacă este divizibil cu 7 sau nu, atunci această procedură poate fi continuată de câte ori credeți de cuviință).
De exemplu, 45 5 și 4580 1 are semne de divizibilitate cu 7. În primul caz, totul este destul de simplu: 45 -2*5=45-10=35, 35:7=5. În al doilea caz, vom proceda astfel: 4580 -2*1=4580-2=4578. Ne este greu să înțelegem dacă 457 8 cu 7, deci să repetăm ​​procesul: 457 -2*8=457-16=441. Și din nou vom folosi semnul divizibilității, deoarece avem încă un număr de trei cifre în fața noastră 44 1. Deci, 44 -2*1=44-2=42, 42:7=6, adică. 42 este divizibil cu 7 fără rest, ceea ce înseamnă că 45801 este și divizibil cu 7.
Și iată cifrele 11 1 și 34 5 nu este divizibil cu 7 deoarece 11 -2*1=11-2=9 (9 nu este divizibil egal cu 7) și 34 -2*5=34-10=24 (24 nu este divizibil egal cu 7).

Semn de divizibilitate cu 8

Semnul divizibilității cu 8 sună astfel: dacă ultimele 3 cifre formează un număr care este divizibil cu 8 sau este 000, atunci numărul dat este divizibil cu 8.
Numerele 1 000 sau 1 088 sunt divizibile cu 8: primul se termină în 000 , al doilea 88 :8=11 (divizibil cu 8 fără rest).
Și iată numerele 1 100 sau 4 757 nu sunt divizibile cu 8 deoarece numerele 100 Și 757 nu sunt divizibile cu 8 fără rest.

Semn de divizibilitate cu 9

Acest semn de divizibilitate este asemănător cu semnul de divizibilitate cu 3: dacă suma cifrelor unui număr este divizibilă cu 9, atunci numărul este și el divizibil cu 9; Dacă suma cifrelor unui număr nu este divizibil cu 9, atunci numărul nu este divizibil cu 9.
De exemplu: 3987 și 144 sunt divizibile cu 9 deoarece în primul caz 3+9+8+7= 27 (27:9=3 - divizibil fără rest cu 9), iar în al doilea 1+4+4= 9 (9:9=1 - de asemenea divizibil fără rest cu 9).
Dar numerele: 235 și 141 nu sunt divizibile cu 9, deoarece 2+3+5= 10 și 1+4+1= 6 (și știm că nici 10, nici 6 nu pot fi împărțiți la 9 fără rest).

Semne de divizibilitate cu 10, 100, 1000 și alte unități de biți

Am combinat aceste criterii de divizibilitate pentru că pot fi descrise în același mod: un număr este divizibil cu o unitate de biți dacă numărul de zerouri de la sfârșitul numărului este mai mare sau egal cu numărul de zerouri dintr-o unitate de biți dată.
Cu alte cuvinte, de exemplu, avem numere ca acestea: 654 0 , 46400 , 867000 , 6450 . toate fiind divizibile cu 1 0 ; 46400 și 867 000 sunt de asemenea divizibile cu 1 00 ; și doar unul dintre ei - 867 000 divizibil cu 1 000 .
Orice numere care se termină cu zerouri mai mici decât o unitate de biți nu sunt divizibile cu acea unitate de biți, cum ar fi 600 30 și 7 93 nu împărtășiți 1 00 .

Semnul divizibilității cu 11

Pentru a afla dacă un număr este divizibil cu 11, trebuie să obțineți diferența dintre sumele cifrelor pare și impare ale acestui număr. Dacă această diferență este egală cu 0 sau divizibilă cu 11 fără rest, atunci numărul în sine este divizibil cu 11 fără rest.
Pentru a fi mai clar, propun să luăm în considerare exemple: 2 35 4 este divizibil cu 11 deoarece ( 2 +5 )-(3+4)=7-7=0. 29 19 4 este de asemenea divizibil cu 11 deoarece ( 9 +9 )-(2+1+4)=18-7=11.
Și iată 1 1 1 sau 4 35 4 nu este divizibil cu 11, deoarece în primul caz obținem (1 + 1) - 1 =1, iar în al doilea ( 4 +5 )-(3+4)=9-7=2.

Semn de divizibilitate cu 12

Numărul 12 este compus. Semnul său de divizibilitate este corespondența cu semnele de divizibilitate cu 3 și cu 4 în același timp.
De exemplu, 300 și 636 corespund atât semnelor de divizibilitate cu 4 (ultimele 2 cifre sunt zero sau divizibile cu 4), cât și semnelor divizibilității cu 3 (suma cifrelor și primul și al doilea număr sunt împărțite la 3 ) și, prin urmare, sunt divizibile cu 12 fără rest.
Dar 200 sau 630 nu sunt divizibile cu 12, pentru că în primul caz numărul corespunde doar semnului divizibilității cu 4, iar în al doilea - doar semnului divizibilității cu 3. Dar nu ambelor semne în același timp.

Semnul divizibilității cu 13

Un semn de divizibilitate cu 13 este că, dacă numărul de zeci de număr, adăugat la unitățile acestui număr înmulțit cu 4, este un multiplu de 13 sau egal cu 0, atunci numărul în sine este divizibil cu 13.
Luați de exemplu 70 2. Deci 70 +4*2=78, 78:13=6 (78 este divizibil egal cu 13), deci 70 2 este divizibil cu 13 fără rest. Un alt exemplu este numărul 114 4. 114 +4*4=130, 130:13=10. Numărul 130 este divizibil cu 13 fără rest, ceea ce înseamnă că numărul dat corespunde semnului divizibilității cu 13.
Dacă luăm numerele 12 5 sau 21 2, atunci obținem 12 +4*5=32 și 21 +4*2=29, respectiv, și nici 32, nici 29 nu sunt divizibile cu 13 fără rest, ceea ce înseamnă că numerele date nu sunt divizibile cu 13 fără rest.

Divizibilitatea numerelor

După cum se poate vedea din cele de mai sus, se poate presupune că pentru oricare dintre numere naturale puteți alege propriul semn individual de divizibilitate sau un semn „compozit” dacă numărul este un multiplu al mai multor numere diferite. Dar, după cum arată practica, mai mult decât mai mult număr, cu atât este mai complex atributul său. Poate că timpul petrecut pentru verificarea criteriului de divizibilitate poate fi egal sau mai mare decât împărțirea în sine. De aceea, folosim de obicei cel mai simplu criteriu de divizibilitate.

Pentru a simplifica împărțirea numerelor naturale, au fost derivate regulile de împărțire la numerele primelor zece și numerele 11, 25, care sunt combinate într-o secțiune semne de divizibilitate a numerelor naturale. Mai jos sunt regulile prin care analiza unui număr fără a-l împărți la un alt număr natural va răspunde la întrebarea, este un număr natural un multiplu al numerelor 2, 3, 4, 5, 6, 9, 10, 11, 25 și un pic de unitate?

Numerele naturale care au cifre (terminate în) 2,4,6,8,0 în prima cifră se numesc pare.

Semnul divizibilității numerelor cu 2

Toate numerele naturale pare sunt divizibile cu 2, de exemplu: 172, 94,67 838, 1670.

Semnul divizibilității numerelor cu 3

Toate numerele naturale a căror sumă de cifre este multiplu de 3 sunt divizibile cu 3. De exemplu:
39 (3 + 9 = 12; 12: 3 = 4);

16 734 (1 + 6 + 7 + 3 + 4 = 21; 21:3 = 7).

Semnul divizibilității numerelor cu 4

Toate numerele naturale sunt divizibile cu 4, ultimele două cifre ale cărora sunt zerouri sau un multiplu de 4. De exemplu:
124 (24: 4 = 6);
103 456 (56: 4 = 14).

Semnul divizibilității numerelor cu 5

Semnul divizibilității numerelor cu 6

Acele numere naturale care sunt divizibile cu 2 și 3 în același timp sunt divizibile cu 6 (toate numerele pare care sunt divizibile cu 3). De exemplu: 126 (b - par, 1 + 2 + 6 = 9, 9: 3 = 3).

Semnul divizibilității numerelor cu 9

Acele numere naturale sunt divizibile cu 9, a căror suma cifrelor este multiplu de 9. De exemplu:
1179 (1 + 1 + 7 + 9 = 18, 18: 9 = 2).

Semnul divizibilității numerelor cu 10

Semnul divizibilității numerelor cu 11

Numai acele numere naturale sunt divizibile cu 11, în care suma cifrelor care ocupă locuri pare este egală cu suma cifrelor care ocupă locuri impare sau diferența dintre suma cifrelor locurilor impare și suma cifrelor locurilor pare este un multiplu al lui 11. De exemplu:
105787 (1 + 5 + 8 = 14 și 0 + 7 + 7 = 14);
9.163.627 (9 + 6 + b + 7 = 28 și 1 + 3 + 2 = 6);
28 — 6 = 22; 22: 11 = 2).

Semnul divizibilității numerelor cu 25

Acele numere naturale sunt divizibile cu 25, ultimele două cifre ale cărora sunt zerouri sau sunt multiplu de 25. De exemplu:
2 300; 650 (50: 25 = 2);

1 475 (75: 25 = 3).

Semnul divizibilității numerelor cu o unitate de biți

Acele numere naturale sunt împărțite într-o unitate de biți, în care numărul de zerouri este mai mare sau egal cu numărul de zerouri al unității de biți. De exemplu: 12.000 este divizibil cu 10, 100 și 1000.

Semne de divizibilitate a numerelor pe 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 11, 25 și alte numere este util de știut pentru rezolvarea rapidă a problemelor privind notația digitală a unui număr. În loc să împărțiți un număr la altul, este suficient să verificați un număr de semne, pe baza cărora este posibil să se determine fără ambiguitate dacă un număr este divizibil cu altul complet (fie că este multiplu) sau nu.

Principalele semne de divizibilitate

Să aducem principalele semne de divizibilitate a numerelor:

• Semnul divizibilității unui număr cu „2” Numărul este divizibil egal cu 2 dacă numărul este par (ultima cifră este 0, 2, 4, 6 sau 8)
  Exemplu: Numărul 1256 este un multiplu al lui 2 pentru că se termină cu 6. Și numărul 49603 nici măcar nu este divizibil cu 2 pentru că se termină cu 3.
• Semnul divizibilității unui număr cu „3” Un număr este divizibil cu 3 dacă suma cifrelor sale este divizibil cu 3
  Exemplu: Numărul 4761 este divizibil cu 3 deoarece suma cifrelor sale este 18 și este divizibil cu 3. Și numărul 143 nu este un multiplu al lui 3 deoarece suma cifrelor sale este 8 și nu este divizibil cu 3.
• Semnul divizibilității unui număr cu „4” Un număr este divizibil cu 4 dacă ultimele două cifre ale numărului sunt zero sau dacă numărul format din ultimele două cifre este divizibil cu 4
  Exemplu: numărul 2344 este un multiplu al lui 4 deoarece 44 / 4 = 11. Și numărul 3951 nu este divizibil cu 4, deoarece 51 nu este divizibil cu 4.
• Semnul divizibilității unui număr cu „5” Un număr este divizibil cu 5 dacă ultima cifră a numărului este 0 sau 5
  Exemplu: numărul 5830 este divizibil cu 5 pentru că se termină cu 0. Dar numărul 4921 nu este divizibil cu 5 pentru că se termină cu 1.
• Semnul divizibilității unui număr cu „6” Un număr este divizibil cu 6 dacă este divizibil cu 2 și 3
  Exemplu: Numărul 3504 este multiplu al lui 6 deoarece se termină cu 4 (semnul divizibilității cu 2) iar suma cifrelor numărului este 12 și este divizibil cu 3 (semnul divizibilității cu 3). Și numărul 5432 nu este complet divizibil cu 6, deși numărul se termină cu 2 (se observă semnul divizibilității cu 2), dar suma cifrelor este 14 și nu este complet divizibil cu 3.
• Semnul divizibilității unui număr cu „8” Un număr este divizibil cu 8 dacă ultimele trei cifre ale numărului sunt zero sau dacă numărul format din ultimele trei cifre ale numărului este divizibil cu 8
  Exemplu: numărul 93112 este divizibil cu 8 deoarece 112 / 8 = 14. Și numărul 9212 nu este un multiplu al lui 8 deoarece 212 nu este divizibil cu 8.
• Semnul divizibilității unui număr cu „9” Un număr este divizibil cu 9 dacă suma cifrelor sale este divizibil cu 9
  Exemplu: Numărul 2916 este un multiplu al lui 9, deoarece suma cifrelor este 18 și este divizibil cu 9. Și numărul 831 nu este nici măcar divizibil cu 9, deoarece suma cifrelor numărului este 12 și nu este divizibil cu 9.
• Semnul divizibilității unui număr cu „10” Un număr este divizibil cu 10 dacă se termină cu 0
  Exemplu: numărul 39590 este divizibil cu 10 pentru că se termină cu 0. Și numărul 5964 nu este divizibil cu 10 pentru că nu se termină cu 0.
• Semnul divizibilității unui număr cu „11” Un număr este divizibil cu 11 dacă suma cifrelor din locurile impare este egală cu suma cifrelor din locurile pare sau sumele trebuie să difere cu 11
  Exemplu: numărul 3762 este divizibil cu 11 deoarece 3 + 6 = 7 + 2 = 9. Și numărul 2374 nu este divizibil cu 11 deoarece 2 + 7 = 9 și 3 + 4 = 7.
• Semnul divizibilității unui număr cu „25” Un număr este divizibil cu 25 dacă se termină cu 00, 25, 50 sau 75
  Exemplu: numărul 4950 este un multiplu al lui 25 pentru că se termină cu 50. Și 4935 nu este divizibil cu 25 pentru că se termină cu 35.

Criterii de divizibilitate pentru un număr compus

Pentru a afla dacă un anumit număr este divizibil cu un număr compus, trebuie să descompuneți acest număr compus în reciproc factori primi , ale căror criterii de divizibilitate sunt cunoscute. Reciproc numere prime sunt numere care nu au divizori comuni alții decât 1. De exemplu, un număr este divizibil cu 15 dacă este divizibil cu 3 și 5.

Luați în considerare un alt exemplu de divizor compus: un număr este divizibil cu 18 dacă este divizibil cu 2 și 9. În acest caz, nu puteți descompune 18 în 3 și 6, deoarece nu sunt coprime, deoarece au un divizor comun de 3. Vom verifica acest lucru prin exemplu.

Numărul 456 este divizibil cu 3, deoarece suma cifrelor sale este 15 și divizibil cu 6, deoarece este divizibil cu 3 și 2. Dar dacă împărțiți manual 456 la 18, obțineți restul. Dacă, pentru numărul 456, verificăm semnele divizibilității cu 2 și 9, este imediat clar că acesta este divizibil cu 2, dar nu este divizibil cu 9, deoarece suma cifrelor numărului este 15 și nu este divizibil cu 9.

Textul lucrării este plasat fără imagini și formule.
Versiunea completă a lucrării este disponibilă în fila „Fișiere de locuri de muncă” în format PDF

La lecțiile de matematică, la studierea subiectului „Semne de divizibilitate”, unde ne-am familiarizat cu semnele de divizibilitate cu 2; 5; 3; 9; 10, m-a interesat dacă există semne de divizibilitate cu alte numere și dacă există o metodă universală de divizibilitate cu orice număr natural. Așa că am început să fac cercetări pe această temă.

Scopul studiului: studiul semnelor de divizibilitate a numerelor naturale până la 100, adăugarea semnelor deja cunoscute de divizibilitate a numerelor naturale în ansamblu, studiate la școală.

Pentru atingerea scopului au fost stabilite sarcini:

Adună, studiază și sistematizează material despre semnele de divizibilitate a numerelor naturale, folosind diverse surse informație.

Găsiți un criteriu universal de divizibilitate cu orice număr natural.

Aflați cum să utilizați testul de divizibilitate al lui Pascal pentru a determina divizibilitatea numerelor și, de asemenea, încercați să formulați semnele de divizibilitate după orice număr natural.

Obiectul de studiu: divizibilitatea numerelor naturale.

Subiect de studiu: semne de divizibilitate a numerelor naturale.

Metode de cercetare: colectarea de informații; lucrul cu materiale tipărite; analiză; sinteză; analogie; studiu; chestionare; sistematizarea si generalizarea materialului.

Ipoteza cercetării: Dacă este posibil să se determine divizibilitatea numerelor naturale cu 2, 3, 5, 9, 10, atunci trebuie să existe semne prin care se poate determina divizibilitatea numerelor naturale cu alte numere.

Noutate condus muncă de cercetare este că această lucrare sistematizează cunoștințele despre semnele de divizibilitate și metoda universală de divizibilitate a numerelor naturale.

Semnificație practică: materialul acestei lucrări de cercetare poate fi folosit la clasele 6-8 la clasele opționale la studierea temei „Divizibilitatea numerelor”.

Capitolul I. Definiția și proprietățile divizibilității numerelor

1.1.Definiții ale conceptelor de divizibilitate și semne de divizibilitate, proprietăți ale divizibilității.

Teoria numerelor este o ramură a matematicii care studiază proprietățile numerelor. Obiectul principal al teoriei numerelor îl reprezintă numerele naturale. Principala lor proprietate, care este considerată de teoria numerelor, este divizibilitatea. Definiție: Un număr întreg a este divizibil cu un număr întreg b care nu este egal cu zero dacă există un număr întreg k astfel încât a = bk (de exemplu, 56 este divizibil cu 8, deoarece 56 = 8x7). semn de divizibilitate- o regulă care vă permite să stabiliți dacă un anumit număr natural este divizibil cu alte numere, adică fără urmă.

Proprietăți de divizibilitate:

Orice număr diferit de zero a este divizibil cu el însuși.

Zero este divizibil cu orice b care nu este egal cu zero.

Dacă a este divizibil cu b (b0) și b este divizibil cu c (c0), atunci a este divizibil cu c.

Dacă a este divizibil cu b (b0) și b este divizibil cu a (a0), atunci a și b sunt numere egale sau opuse.

1.2. Proprietățile de divizibilitate ale sumei și ale produsului:

Dacă în suma numerelor întregi fiecare termen este divizibil cu un anumit număr, atunci suma este divizibilă cu acel număr.

2) Dacă în diferența numerelor întregi minuendul și subtraend sunt divizibile cu un anumit număr, atunci diferența este și divizibilă cu un anumit număr.

3) Dacă în suma numerelor întregi toți termenii, cu excepția unuia, sunt divizibili cu un anumit număr, atunci suma nu este divizibilă cu acest număr.

4) Dacă în produsul numerelor întregi unul dintre factori este divizibil cu un anumit număr, atunci produsul este și el divizibil cu acest număr.

5) Dacă în produsul numerelor întregi unul dintre factori este divizibil cu m și celălalt cu n, atunci produsul este divizibil cu mn.

În plus, în timp ce studiam semnele de divizibilitate a numerelor, m-am familiarizat cu conceptul "radacina digitala". Să luăm un număr natural. Să găsim suma cifrelor sale. Găsim și suma cifrelor rezultatului și așa mai departe până când se obține un număr dintr-o singură cifră. Rezultatul se numește rădăcina digitală a numărului. De exemplu, rădăcina digitală a lui 654321 este 3: 6+5+4+3+2+1=21.2+1=3. Și acum vă puteți gândi la întrebarea: „Care sunt semnele de divizibilitate și există un semn universal al divizibilității unui număr cu altul?”

Capitolul II. Semne de divizibilitate a numerelor naturale.

2.1. Semne de divizibilitate cu 2,3,5,9,10.

Dintre semnele de divizibilitate, cele mai convenabile și cunoscute de la cursul de matematică din clasa a VI-a sunt:

Divizibil cu 2. Dacă înregistrarea unui număr natural se termină cu o cifră pară sau cu zero, atunci numărul este divizibil cu 2. Numărul 52738 este divizibil cu 2, deoarece ultima cifră 8 este pară.

Divizibil cu 3 . Dacă suma cifrelor unui număr este divizibil cu 3, atunci numărul este divizibil cu 3 (numărul 567 este divizibil cu 3, deoarece 5+6+7 = 18, iar 18 este divizibil cu 3.)

Divizibil cu 5. Dacă înregistrarea unui număr natural se termină cu numărul 5 sau zero, atunci numărul este divizibil cu 5 (numerele 130 și 275 sunt divizibile cu 5, deoarece ultimele cifre ale numerelor sunt 0 și 5, dar numărul 302 este nu este divizibil cu 5, deoarece ultimele cifre nu sunt 0 și 5).

Divizibil cu 9. Dacă suma cifrelor este divizibil cu 9, atunci numărul este divizibil cu 9 (676332 este divizibil cu 9 deoarece 6+7+6+3+3+2=27, iar 27 este divizibil cu 9).

Divizibil cu 10 . Dacă înregistrarea unui număr natural se termină cu numărul 0, atunci acest număr este divizibil cu 10 (230 este divizibil cu 10, deoarece ultima cifră a numărului este 0).

2.2.Semne de divizibilitate cu 4,6,8,11,12,13 etc.

După ce am lucrat cu diverse surse, am aflat și alte semne de divizibilitate. Voi descrie unele dintre ele.

Împărțire cu 6 . Trebuie să verificăm divizibilitatea numărului care ne interesează cu 2 și cu 3. Numărul este divizibil cu 6 dacă și numai dacă este par, iar rădăcina sa digitală este divizibil cu 3. (De exemplu, 678 este divizibil cu 6, deoarece este par și 6 +7+8=21, 2+1=3) Un alt semn de divizibilitate: un număr este divizibil cu 6 dacă și numai dacă de patru ori numărul zecilor adăugat la numărul unilor este divizibil. cu 6. (73,7*4+3=31, 31 nu este divizibil cu 6, deci 7 nu este divizibil cu 6.)

Împărțire cu 8. Un număr este divizibil cu 8 dacă și numai dacă ultimele sale trei cifre formează un număr divizibil cu 8. (12224 este divizibil cu 8 deoarece 224:8=28). Un număr din trei cifre este divizibil cu 8 dacă și numai dacă numărul de unități adăugat la dublul numărului de zeci și de patru ori numărul de sute este divizibil cu 8. De exemplu, 952 este divizibil cu 8 deoarece 8 este divizibil cu 9* 4 + 5 *2 + 2 = 48 .

Împărțiți la 4 și la 25. Dacă ultimele două cifre sunt zero sau exprimă un număr divizibil cu 4 sau (și) cu 25, atunci numărul este divizibil cu 4 sau (și) cu 25 (numărul 1500 este divizibil cu 4 și 25, deoarece se termină în două zerouri, numărul 348 este divizibil cu 4, pentru că 48 este divizibil cu 4, dar acest număr nu este divizibil cu 25, pentru că 48 nu este divizibil cu 25, numărul 675 este divizibil cu 25, pentru că 75 este divizibil cu 25, dar nu este divizibil cu 4, deci .k. 75 nu este divizibil cu 4).

Cunoscând principalele semne de divizibilitate cu numere prime, putem deriva semne de divizibilitate prin numere compuse:

Semn de divizibilitate prin11 . Dacă diferența dintre suma cifrelor din locurile pare și suma cifrelor din locurile impare este divizibilă cu 11, atunci numărul este și el divizibil cu 11 (numărul 593868 este divizibil cu 11, deoarece 9 + 8 + 8 = 25 și 5 + 3 + 6 = 14, diferența lor este 11 și 11 este divizibil cu 11).

Semnul divizibilității cu 12: Un număr este divizibil cu 12 dacă și numai dacă ultimele două cifre sunt divizibile cu 4 și suma cifrelor este divizibilă cu 3.

deoarece 12= 4 ∙ 3, adică Numărul trebuie să fie divizibil cu 4 și 3.

Semnul divizibilității cu 13: Un număr este divizibil cu 13 dacă și numai dacă suma alternativă de numere formată din triplete consecutive de cifre este divizibil cu 13 număr dat. De unde știi, de exemplu, că numărul 354862625 este divizibil cu 13? 625-862+354=117 este divizibil cu 13, 117:13=9, deci 354862625 este și divizibil cu 13.

Semnul divizibilității cu 14: un număr este divizibil cu 14 dacă și numai dacă se termină cu o cifră pară și dacă rezultatul scăderii de două ori a ultimei cifre din acel număr fără ultima cifră este divizibil cu 7.

deoarece 14= 2 ∙ 7, adică. Numărul trebuie să fie divizibil cu 2 și 7.

Semnul divizibilității cu 15: Un număr este divizibil cu 15 dacă și numai dacă se termină cu 5 și 0 și suma cifrelor este divizibilă cu 3.

deoarece 15= 3 ∙ 5, adică. Numărul trebuie să fie divizibil cu 3 și 5.

Semnul divizibilității cu 18: Un număr este divizibil cu 18 dacă și numai dacă se termină cu o cifră pară și suma cifrelor sale este divizibilă cu 9.

deoarece k18= 2 ∙ 9, i.e. Numărul trebuie să fie divizibil cu 2 și 9.

Semnul divizibilității cu 20: un număr este divizibil cu 20 dacă și numai dacă numărul se termină cu 0 și penultima cifră este pară.

deoarece 20 = 10 ∙ 2 i.e. Numărul trebuie să fie divizibil cu 2 și 10.

Semnul divizibilității cu 25: un număr cu cel puțin trei cifre este divizibil cu 25 dacă și numai dacă numărul format din ultimele două cifre este divizibil cu 25.

Semn de divizibilitate prin30 .

Semn de divizibilitate prin59 . Un număr este divizibil cu 59 dacă și numai dacă numărul zecilor adăugat la numărul de unități înmulțit cu 6 este divizibil cu 59. De exemplu, 767 este divizibil cu 59, deoarece 76 + 6*7 = 118 și 11 + 6* sunt divizibile cu 59 8 = 59.

Semn de divizibilitate prin79 . Un număr este divizibil cu 79 dacă și numai dacă numărul zecilor adăugat la numărul de unități înmulțit cu 8 este divizibil cu 79. De exemplu, 711 este divizibil cu 79, deoarece 71 + 8*1 = 79 sunt divizibil cu 79.

Semn de divizibilitate prin99. Un număr este divizibil cu 99 dacă și numai dacă suma numerelor care formează grupuri de două cifre (începând cu unități) este divizibilă cu 99. De exemplu, 12573 este divizibil cu 99, deoarece 1 + 25 + 73 = 99 este divizibil cu 99.

Semn de divizibilitate prin100 . Numai acele numere sunt divizibile cu 100 dacă ultimele două cifre sunt zerouri.

Semnul divizibilității cu 125: un număr cu cel puțin patru cifre este divizibil cu 125 dacă și numai dacă numărul format din ultimele trei cifre este divizibil cu 125.

Toate caracteristicile de mai sus sunt rezumate sub forma unui tabel. (Anexa 1)

2.3 Semne de divizibilitate cu 7.

1) Luați pentru testare numărul 5236. Să scriem acest număr astfel: 5236=5*1000+2*100+3*10+6=10 3 *5+10 2 *2+10*3+6 („sistematic » forma de notație numerică), iar peste tot înlocuim baza 10 cu baza 3); 3 3 * 5 + Z 2 * 2 + 3 * 3 + 6 \u003d 168. Dacă numărul rezultat este divizibil (nu este divizibil) cu 7, atunci acest număr este divizibil (nu este divizibil) cu 7. Deoarece 168 este divizibil cu 7 , atunci 5236 e divizibil cu 7. 68:7=24, 5236:7=748.

2) În acest semn trebuie să acționați exact la fel ca în cel precedent, singura diferență fiind că înmulțirea trebuie să înceapă din extrema dreaptă și să se înmulțească nu cu 3, ci cu 5. (5236 se împarte la 7). , deoarece 6 * 5 3 +3*5 2 +2*5+5=840, 840:7=120)

3) Acest semn este mai puțin ușor de implementat în minte, dar și foarte interesant. Dublați ultima cifră și scădeți a doua de la dreapta, dublați rezultatul și adăugați a treia din dreapta etc., alternând scăderea și adunarea și reducând fiecare rezultat, acolo unde este posibil, cu 7 sau cu un multiplu de șapte. Dacă rezultatul final este divizibil (nu este divizibil) cu 7, atunci și numărul testului este divizibil (nu este divizibil) cu 7. ((6*2-3) *2+2) *2-5=35, 35:7 =5.

4) Un număr este divizibil cu 7 dacă și numai dacă suma alternantă de numere formată din triplete consecutive de cifre ale numărului dat este divizibilă cu 7. De unde știi, de exemplu, că numărul 363862625 este divizibil cu 7? 625-862+363=126 este divizibil cu 7, 126:7=18, deci 363862625 este și divizibil cu 7, 363862625:7=51980375.

5) Unul dintre cele mai vechi semne de divizibilitate cu 7 este după cum urmează. Cifrele numărului trebuie luate în ordine inversă, de la dreapta la stânga, înmulțind prima cifră cu 1, a doua cu 3, a treia cu 2, a patra cu -1, a cincea cu -3, a șasea cu - 2, etc. (dacă numărul de caractere este mai mare de 6, succesiunea factorilor 1, 3, 2, -1, -3, -2 trebuie repetată de câte ori este necesar). Produsele rezultate trebuie adăugate. Numărul inițial este divizibil cu 7 dacă suma calculată este divizibilă cu 7. Iată, de exemplu, ceea ce oferă această caracteristică pentru numărul 5236. 1*6+3*3+2*2+5*(-1) = 14. 14: 7=2, deci și numărul 5236 este divizibil cu 7.

6) Numărul este divizibil cu 7 dacă și numai dacă numărul triplu al zecilor, adăugat la numărul unu, este divizibil cu 7. De exemplu, 154 este divizibil cu 7, deoarece 7 este numărul 49, pe care îl obținem. această bază: 15 * 3 + 4 = 49.

2.4 Semnul lui Pascal.

O mare contribuție la studiul semnelor de divizibilitate a numerelor a avut-o B. Pascal (1623-1662), un matematician și fizician francez. El a găsit un algoritm pentru găsirea criteriilor de divizibilitate a oricărui număr întreg cu orice alt întreg, pe care l-a publicat în tratatul „Despre natura divizibilității numerelor”. Aproape toate semnele de divizibilitate cunoscute în prezent sunt un caz special al semnului lui Pascal: „Dacă suma resturilor la împărțirea unui numărA prin cifre pe numărV impartit deV , apoi numărulA impartit deV ». Să știi că este util și astăzi. Cum putem demonstra criteriile de divizibilitate formulate mai sus (de exemplu, criteriul de divizibilitate cu 7, care ne este familiar)? Voi încerca să răspund la această întrebare. Dar mai întâi, să cădem de acord asupra unei modalități de a scrie numere. Pentru a scrie un număr ale cărui cifre sunt indicate prin litere, suntem de acord să trasăm o linie peste aceste litere. Astfel, abcdef va desemna un număr având f unități, e zeci, d sute etc.:

abcdef = a . 10 5 + b . 10 4 + c . 10 3 + d . 10 2 + e . 10 + f. Acum voi demonstra testul de divizibilitate cu 7 formulat mai sus. Avem:

10 9 10 8 10 7 10 6 10 5 10 4 10 3 10 2 10 1

1 2 3 1 -2 -3 -1 2 3 1

(rămășii după împărțirea la 7).

Ca rezultat, obținem a 5-a regulă formulată mai sus: pentru a afla restul împărțirii unui număr natural la 7, trebuie să semnați coeficienți (rămășii din divizare) sub cifrele acestui număr de la dreapta la stânga: apoi trebuie să înmulțiți fiecare cifră cu coeficientul de sub ea și să adăugați rezultatul produse; suma găsită va avea același rest atunci când este împărțită la 7 ca numărul luat.

Să luăm ca exemplu numerele 4591 și 4907 și, acționând așa cum este indicat în regulă, găsim rezultatul:

-1 2 3 1

4+10+27+1 = 38 - 4 = 34: 7 = 4 (restul 6) (nu este divizibil cu 7)

-1 2 3 1

4+18+0+7 = 25 - 4 = 21: 7 = 3 (divizibil cu 7)

În acest fel, puteți găsi un criteriu de divizibilitate cu orice număr T. Este necesar doar să găsiți ce coeficienți (rămășii din divizare) ar trebui să fie semnați sub cifrele numărului luat A. Pentru a face acest lucru, trebuie să înlocuiți fiecare putere de zece 10, dacă este posibil, cu același rest atunci când este împărțit la T, ca numărul 10. Când T= 3 sau t = 9, acești coeficienți s-au dovedit a fi foarte simpli: toți sunt egali cu 1. Prin urmare, testul de divizibilitate cu 3 sau 9 s-a dovedit a fi foarte simplu. La T= 11, coeficienții nu au fost, de asemenea, complexi: ei sunt alternativ egali cu 1 și - 1. Și când t=7 coeficienții s-au dovedit a fi mai complicati; prin urmare, criteriul de divizibilitate cu 7 s-a dovedit a fi mai complex. Luând în considerare semnele împărțirii până la 100, am fost convins că cei mai complexi coeficienți pentru numerele naturale sunt 23 (de la 10 23 se repetă coeficienții), 43 (de la 10 39 se repetă coeficienții).

Toate semnele enumerate de divizibilitate a numerelor naturale pot fi împărțite în 4 grupuri:

1 grup- când divizibilitatea numerelor este determinată de ultima cifră (mi) - acestea sunt semne de divizibilitate cu 2, cu 5, cu o unitate de biți, cu 4, cu 8, cu 25, cu 50.

2 grupa- când divizibilitatea numerelor este determinată de suma cifrelor numărului, acestea sunt semne de divizibilitate cu 3, cu 9, cu 7, cu 37, cu 11 (1 semn).

3 grupa- când se determină divizibilitatea numerelor după efectuarea unor acțiuni asupra cifrelor numărului, acestea sunt semne de divizibilitate cu 7, cu 11 (1 semn), cu 13, cu 19.

4 grupa- când se folosesc alte semne de divizibilitate pentru a determina divizibilitatea unui număr, acestea sunt semne de divizibilitate cu 6, cu 15, cu 12, cu 14.

partea experimentală

Studiu

Sondajul a fost realizat în rândul elevilor din clasele a VI-a și a VII-a. La sondaj au participat 58 de elevi ai școlii gimnaziale MOBU Karaidel nr. 1 districtul MR Karaidel din Republica Belarus. Li s-a cerut să răspundă la următoarele întrebări:

Credeți că există alte semne de divizibilitate diferite de cele care au fost studiate la lecție?

Există semne de divizibilitate pentru alte numere naturale?

Ai vrea să cunoști aceste semne de divizibilitate?

Cunoașteți semne de divizibilitate a numerelor naturale?

Rezultatele sondajului au arătat că 77% dintre respondenți cred că există alte semne de divizibilitate, altele decât cele care sunt studiate la școală; 9% nu cred, 13% dintre respondenți le-a fost greu să răspundă. La a doua întrebare „Ați dori să cunoașteți semnele de divizibilitate pentru alte numere naturale?” 33% au răspuns afirmativ, 17% au răspuns „Nu”, iar 50% le-a fost greu să răspundă. La a treia întrebare, 100% dintre respondenți au răspuns afirmativ. La a patra întrebare au răspuns pozitiv 89%, au răspuns „Nu” – 11% dintre studenții care au participat la sondaj în timpul lucrării de cercetare.

Concluzie

Astfel, pe parcursul lucrării, au fost rezolvate următoarele sarcini:

a studiat material teoretic pe această problemă;

pe lângă semnele cunoscute de mine prin 2, 3, 5, 9 și 10, am învățat că există și semne de divizibilitate cu 4, 6, 7, 8, 11, 12, 13, 14, 15, 19 etc. .;

3) a studiat semnul lui Pascal - un semn universal de divizibilitate cu orice număr natural;

Lucrând cu diferite surse, analizând materialul găsit pe tema studiată, m-am convins că există semne de divizibilitate cu alte numere naturale. De exemplu, pe 7, 11, 12, 13, 14, 19, 37, ceea ce a confirmat corectitudinea ipotezei mele despre existența altor semne de divizibilitate a numerelor naturale. Am mai aflat că există un semn universal de divizibilitate, algoritmul căruia a fost găsit de matematicianul francez Pascal Blaise și l-a publicat în tratatul său „Despre natura divizibilității numerelor”. Folosind acest algoritm, puteți obține un semn de divizibilitate cu orice număr natural.

Rezultatul muncii de cercetare a devenit un material sistematizat sub forma unui tabel „Semne de divizibilitate a numerelor”, care poate fi folosit la lecțiile de matematică, în timpul activitati extracuriculareîn vederea pregătirii elevilor pentru rezolvarea problemelor olimpiadei, în pregătirea elevilor pentru OGE și Examenul Unificat de Stat.

În viitor, intenționez să continui să lucrez la aplicarea semnelor de divizibilitate a numerelor pentru a rezolva probleme.

Lista surselor utilizate

Vilenkin N.Ya., Zhokhov V.I., Chesnokov A.S., Shvartsburd S.I. Matematică. Clasa a 6-a: manual. pentru învăţământul general instituții / - ed. a 25-a, ster. — M.: Mnemozina, 2009. — 288 p.

Vorobyov V.N. Semne de divizibilitate.-M.: Nauka, 1988.-96s.

Vygodsky M.Ya. Manual de matematică elementară. - Elista.: Dzhangar, 1995. - 416 p.

Gardner M. Timp liber matematic. / Sub. Ed. Ya.A. Smorodinsky. - M.: Oniks, 1995. - 496 p.

Gelfman E.G., Beck E.F. etc. Cazul divizibilității și alte povești: Tutorial la matematică pentru clasa a VI-a. - Tomsk: Editura Tom.un-ta, 1992. - 176p.

Gusev V. A., Mordkovich A. G. Matematică: Ref. materiale: carte. pentru studenti. - Ed. a II-a - M .: Educaţie, 1990. - 416 p.

Gusev V.A., Orlov A.I., Rozental A.V. Lucrări extracurriculare la matematică în clasele 6-8. Moscova.: Educație, 1984. - 289s.

Depman I.Ya., Vilenkin N.Ya. În spatele paginilor unui manual de matematică. M.: Iluminismul, 1989. - 97p.

Kulanin E.D. Matematică. Director. -M.: EKSMO-Press, 1999-224p.

Perelman Ya.I. Algebră distractivă. M.: Triada-Litera, 1994. - anii 199.

Tarasov B.N. Pascal. -M.: Mol. Garda, 1982.-334s.

http://dic.academic.ru/ (Wikipedia - enciclopedia liberă).

http://www.bymath.net (enciclopedie).

Anexa 1

TABEL SEMNELOR DE DIVIZIBILITATE