Orice număr compus poate fi descompus în factori primi. Pot exista mai multe moduri de descompunere. Oricum ar fi obține același rezultat.

Cum pot calcula un număr în factori primi în cel mai convenabil mod? Să luăm în considerare modul în care este mai bine să faceți acest lucru folosind exemple specifice.

Exemple. 1) Se descompune 1400 în factori primi.

1400 este divizibil cu 2. 2 este un număr prim, nu trebuie să îl luați în calcul. Obținem 700. Îl împărțim la 2. Obținem 350. De asemenea, împărțim 350 la 2. Numărul rezultat 175 poate fi împărțit la 5. Rezultatul - З5 - este din nou împărțit la 5. Total - 7. Poate fi împărțit doar la 7. Am obținut 1, diviziune peste.

Același număr poate fi descompus în factori primi diferit:

Este convenabil să împărțim 1400 la 10. 10 nu este un număr prim, deci trebuie descompus în factori primi: 10 \u003d 2 ∙ 5. Rezultatul este 140. Este din nou împărțit la 10 \u003d 2 ∙ 5. Obținem 14. Dacă 14 este împărțit la 14, atunci ar trebui de asemenea descompus în produsul factorilor primi: 14 \u003d 2 ∙ 7.

Astfel, am ajuns din nou la aceeași descompunere ca în primul caz, dar mai rapid.

Concluzie: atunci când descompunem un număr, nu este necesar să îl împărțim numai după factori primi. Împărțiți la ceea ce este mai convenabil, de exemplu, la 10. Trebuie doar să vă amintiți să descompuneti divizorii compuși în factori primi.

2) Se descompune numărul 1620 în factori primi.

Numărul 1620 este cel mai convenabil împărțit la 10. Deoarece 10 nu este un număr prim, îl reprezentăm ca un produs al factorilor primi: 10 \u003d 2 ∙ 5. Avem 162. Este convenabil să îl împărțim la 2. Rezultatul este 81. Numărul 81 poate fi împărțit la 3, dar este mai convenabil cu 9. Deoarece 9 nu este un număr prim, îl descompunem ca 9 \u003d 3 ∙ 3. Avem 9. Este, de asemenea, împărțit la 9 și descompus în produsul factorilor primi.

Descompunerea unui număr în factori primi - aceasta este o problemă comună pe care trebuie să o puteți rezolva. Factorizarea primă poate fi utilă atunci când găsiți GCD (cel mai mare factor comun) și LCM (cel mai puțin comun multiplu), precum și când verificați dacă numerele sunt coprim.

Toate numerele pot fi împărțite în două tipuri principale:

• număr prim Este un număr divizibil numai de la sine și 1.
• Numar compus Este un număr care are alți divizori în afară de sine și 1.

Pentru a verifica dacă un număr este prim sau compozit, puteți utiliza un tabel special de numere prime.

Tabelul numerelor prime

Pentru comoditatea calculelor, toate numerele prime au fost colectate într-un tabel. Mai jos este un tabel cu primele cuprinse între 1 și 1000.

factorizare primara

Pentru a descompune un număr în factori primi, puteți utiliza tabelul prim și criterii de divizibilitate. Până când numărul devine 1, trebuie să selectați un număr prim care să îl dividă pe cel curent și să efectuați diviziunea. Dacă nu a fost posibil să se găsească un singur factor care nu este egal cu 1 și numărul în sine, atunci numărul este prim. Să vedem cum se face acest lucru cu un exemplu.

Factorul 63.140 în factori primi.

Pentru a nu pierde multiplicatorii, îi vom scrie într-o coloană, așa cum se arată în imagine. Această soluție este destul de compactă și convenabilă. Să o luăm în considerare mai detaliat.

Orice număr natural poate fi descompus în produsul factorilor primi. Dacă nu vă place să abordați numere mari precum 5733, aflați cum să le factorizați (în acest caz, 3 x 3 x 7 x 7 x 13). O sarcină similară este deseori întâlnită în criptografie, care tratează probleme de securitate a informațiilor. Dacă încă nu sunteți gata să vă creați propriul sistem de e-mail securizat, aflați mai întâi cum să factorizați numerele.

paşi

Partea 1

1. Începeți cu numărul inițial. Alegeți un număr compus mai mare de 3. Nu are sens să luați un număr prim, deoarece este divizibil doar de la sine și unul singur.

   • Exemplu: Să descompunem numărul 24 în produsul numerelor prime.

2. Să împărțim acest număr în produsul a doi factori. Găsiți două numere mai mici al căror produs este egal cu numărul inițial. Se poate utiliza orice factor, dar este mai ușor să ia numere prime. O modalitate bună este să încercați să împărțiți numărul inițial la 2, apoi la 3, apoi la 5 și să verificați care dintre aceste prime se împarte fără rest.

   • Exemplu: dacă nu cunoașteți factorii pentru 24, încercați să-l împărțiți prin mici mici. Astfel, veți afla că numărul dat este divizibil cu 2: 24 \u003d 2 x 12... Acesta este un început bun.
   • Deoarece 2 este prim, este bine să îl folosiți atunci când extindeți numere uniforme.

3. Începeți să construiți arborele multiplicatorului. Această procedură simplă vă va ajuta să factorizați un număr în factori primi. Pentru început, trageți două „ramuri” în jos de la numărul inițial. La sfârșitul fiecărei ramuri, scrieți factorii găsiți.

   • Exemplu:

4. Factorul următorului rând de numere. Aruncați o privire la cele două numere noi (al doilea rând al arborelui multiplicator). Sunt ambele numere prime? Dacă unul dintre ei nu este simplu, factorizați-l și cu doi factori. Faceți încă două ramuri și scrieți doi factori noi în a treia linie a arborelui.

   • Exemplu: 12 nu este un număr prim, deci trebuie să fie descompus în factori. Folosiți descompunerea 12 \u003d 2 x 6 și scrieți-o în a treia linie a arborelui:
   • 2 x 6

5. Continuați în jos în copac. Dacă unul dintre noii factori se dovedește a fi un număr prim, trageți o „ramură” din ea și scrieți același număr la sfârșitul său. Numerele prime nu pot fi extinse în factori mai mici, așa că doar mutați-le în jos.

   • Exemplu: 2 este prim. Treceți doar 2 de la a doua linie a treia:
   • 2 2 6

6. Continuați factorizarea numerelor până când veți rămâne doar cu numere prime. Verificați fiecare linie nouă a arborelui. Dacă cel puțin unul dintre noii factori nu este un număr prim, factorizați-l și scrieți o nouă linie. La final, veți rămâne doar cu numere prime.

   • Exemplu: 6 nu este un număr prim, deci ar trebui să fie, de asemenea, descompus în factori În același timp, 2 este un număr prim, iar cele două două sunt la nivelul următor:
   • 2 2 6
   • / / /\
   • 2 2 2 3

7. Scrieți ultima linie ca produs al factorilor primi. La final, veți rămâne doar cu numere prime. Când se întâmplă acest lucru, factorizarea primă este completă. Ultima linie este un set de prime, al cărui produs dă numărul inițial.

   • Verificați răspunsul dvs.: înmulțiți numerele de pe ultima linie. Rezultatul ar trebui să fie numărul inițial.
   • Exemplu: ultimul rând din arborele de factori conține numerele 2 și 3. Ambele numere sunt prime, deci descompunerea este completă. Astfel, factorizarea primă a 24 are următoarea formă: 24 \u003d 2 x 2 x 2 x 3.
   • Ordinea factorilor nu contează. Descompunerea poate fi de asemenea scrisă ca 2 x 3 x 2 x 2.

8. Simplificați răspunsul cu notare exponențială, dacă doriți. Dacă sunteți familiarizat cu exponențierea numerelor, puteți scrie răspunsul într-o formă mai simplă. Amintiți-vă că baza este scrisă în partea de jos și numărul superscript indică de câte ori această bază ar trebui înmulțită singură.

   • Exemplu: de câte ori apare numărul 2 în descompunerea găsită 2 x 2 x 2 x 3? De trei ori, deci 2 x 2 x 2 pot fi scrise ca 2 3. Într-o notare simplificată, obținem 2 3 x 3.

   Partea 2

   Utilizarea factorizării prime

   1. Găsiți cel mai mare factor comun cu două numere. Cel mai mare divizor comun al două numere este numărul maxim prin care ambele numere sunt divizibile fără rest. Exemplul de mai jos vă arată cum să utilizați factorizarea primă pentru a găsi cel mai mare divizor comun de 30 și 36.

      • Să factorăm ambele numere în factori primi. Pentru 30, factorizarea este 2 x 3 x 5. Numărul 36 este descompus în factori primi după cum urmează: 2 x 2 x 3 x 3.
      • Să găsim un număr care apare în ambele expansiuni. Să trecem acest număr în ambele liste și să-l scriem pe o nouă linie. De exemplu, 2 apare în două expansiuni, deci scriem 2 pe o linie nouă. După aceea, rămânem cu 30 \u003d 2 x 3 x 5 și 36 \u003d 2 x 2 x 3 x 3.
      • Repetați această acțiune până când nu există factori comuni în expansiuni. Ambele liste includ și numărul 3, deci pe o nouă linie puteți scrie 2 și 3 ... Apoi, comparați din nou extinderile: 30 \u003d 2 x 3 x 5 și 36 \u003d 2 x 2 x 3 x 3. După cum puteți vedea, nu au rămas factori comuni în ele.
      • Pentru a găsi cel mai mare factor comun, găsiți produsul tuturor factorilor comuni. În exemplul nostru, acestea sunt 2 și 3, deci mcd este 2 x 3 \u003d 6 ... Acesta este cel mai mare număr divizibil uniform cu 30 și 36.

   2. Cu ajutorul GCD, puteți simplifica fracțiile. Dacă bănuiți că o fracțiune poate fi anulată, utilizați cel mai mare factor comun. Găsiți calculatorul numerotatorului și numitorului folosind procedura descrisă mai sus. Apoi împărțiți numărătorul și numitorul fracției la numărul respectiv. Drept urmare, veți obține aceeași fracțiune într-o formă mai simplă.

      • De exemplu, să simplificăm fracția 30/36. După cum am stabilit mai sus, pentru 30 și 36, GCD este 6, deci împărțim numărătorul și numitorul cu 6:
      • 30 ÷ 6 \u003d 5
      • 36 ÷ 6 \u003d 6
      • 30 / 36 = 5 / 6

   3. Găsiți cel mai puțin multiplu comun cu două numere. Cel mai puțin multiplu comun (CMM) de două numere este cel mai mic număr care este divizibil uniform de ambele numere. De exemplu, MCM de la 2 și 3 este 6, deoarece este cel mai mic număr care poate fi divizibil cu 2 și 3. Mai jos este un exemplu de a găsi MCM folosind factorizarea primă:

      • Să începem cu două factorizări principale. De exemplu, pentru 126, factorizarea poate fi scrisă ca 2 x 3 x 3 x 7. Numărul 84 poate fi descompus în factori primi ca 2 x 2 x 3 x 7.
      • Să comparăm de câte ori apare fiecare factor în expansiuni. Selectați lista în care apare multiplicatorul numărul maxim de ori și încercați acest loc. De exemplu, numărul 2 apare o dată în expansiunea pentru 126 și de două ori în listă pentru 84, deci ar trebui să faceți un cerc 2 x 2 în a doua listă de factori.
      • Repetați acest pas pentru fiecare multiplicator. De exemplu, 3 este mai frecventă în prima expansiune, deci ar trebui să circuli în ea 3 x 3... Numărul 7 apare o dată în ambele liste, astfel încât să facem cerc 7 (nu contează în ce listă, dacă factorul dat apare în ambele liste același număr de ori).
      • Pentru a găsi LCM, înmulțiți toate numerele înconjurate. În exemplul nostru, cel mai puțin comun multiplu dintre 126 și 84 este 2 x 2 x 3 x 3 x 7 \u003d 252... Acesta este cel mai mic număr divizibil cu 126 și 84 fără rest.

   4. Utilizați LCM pentru adăugarea fracțiilor. La adăugarea a două fracții, este necesar să le aducem la un numitor comun. Pentru a face acest lucru, găsiți MCM al celor doi numitori. Înmulțiți apoi numărătorul și numitorul fiecărei fracții cu un astfel de număr încât numitorii fracțiilor să fie egali cu CMM. Apoi se pot adăuga fracții.

      • De exemplu, trebuie să găsiți suma 1/6 + 4/21.
      • Folosind metoda de mai sus, puteți găsi LCM pentru 6 și 21. Este 42.
      • Conversiați fracția 1/6 astfel încât numitorul său să fie 42. Pentru a face acest lucru, împărțiți 42 cu 6: 42: 6 \u003d 7. Acum înmulțiți numerotatorul și numitorul fracției cu 7: 1/6 x 7/7 \u003d 7/42.
      • Pentru a aduce a doua fracție numitorului 42, împărțiți 42 cu 21: 42 ÷ 21 \u003d 2. Înmulțiți numărătorul și numitorul fracției cu 2: 4/21 x 2/2 \u003d 8/42.
      • După ce fracțiile sunt reduse la același numitor, ele pot fi adăugate cu ușurință: 7/42 + 8/42 \u003d 15/42.

Ce înseamnă să factorăm în factori primi? Cum să o facă? Ce poți învăța din factorizarea unui număr în factori primi? Răspunsurile la aceste întrebări sunt ilustrate cu exemple specifice.

Definiții:

Un prim este un număr care are exact doi divizori diferiți.

Compusul este un număr care are mai mult de doi divizori.

Factorizarea unui număr natural înseamnă reprezentarea acestuia ca produs al numerelor naturale.

A descompune un număr natural în factori primi înseamnă a-l reprezenta ca produs al numerelor prime.

Note:

• În extinderea unui număr prim, unul dintre factori este egal cu unul, iar celălalt este egal cu același număr.
• Nu are sens să vorbim despre unitate factoring.
• Un număr compus poate fi descompus în factori, fiecare diferind de 1.

Când descompuneți un număr mare în factori primi, utilizați o înregistrare pe coloană:

	Cel mai mic prim divizibil cu 216 este 2. Împărțiți 216 la 2. Obținem 108.
	Numărul rezultat 108 este împărțit la 2. Să facem diviziunea. Rezultatul este 54.
	Conform divizibilității cu 2, 54 este divizibil cu 2. După divizare, obținem 27.
	Numărul 27 se termină cu o cifră impare 7. Aceasta Nu poate fi divizibil cu 2. Următorul număr prim este 3. Împărțim 27 la 3. Obținem 9. Cea mai mică primă Numărul care împarte 9 este 3. Trei este el însuși un număr prim, este divizibil de la sine și unu. Să împărțim 3 singuri. Drept urmare, am obținut 1.

• Numărul este divizibil numai după acele numere prime care fac parte din descompunerea sa.
• Numărul este divizibil numai după acele numere compuse, a căror descompunere în factori primi este complet conținută în el.

Să luăm în considerare câteva exemple:

Găsiți coeficientul de împărțire a numărului a la numărul b, dacă aceste numere sunt descompuse în factori primi după cum urmează: a \u003d 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 3 \u200b\u200b∙ 3 ∙ 3 ∙ 5 ∙ 5 ∙ 19; b \u003d 2 ∙ 2 ∙ 3 \u200b\u200b∙ 3 ∙ 5 ∙ 19

Lista de referinte

1. Vilenkin N.Ya., Zhokhov V.I., Chesnokov A.S., Shvartsburd S.I. Matematică 6. - Moscova: Mnemosina, 2012.
2. Merzlyak A.G., Polonsky V.V., Yakir M.S. Matematica clasa a 6-a. - Gimnaziul. 2006.
3. Depman I. Ya., Vilenkin N. Ya. În spatele paginilor unui manual de matematică. - M .: Educație, 1989.
4. Rurukin A.N., Ceaikovski I.V. Teme pentru cursul matematică clasa 5-6. - Moscova: ZSH MEPhI, 2011.
5. Rurukin A.N., Sochilov S.V., Ceaikovski K.G. Matematică 5-6. Manual pentru elevii de clasa a VI-a a școlii de corespondență MEPhI. - Moscova: ZSH MEPhI, 2011.
6. Șevrin L.N., Gein A.G., Koryakov I.O., Volkov M.V. Matematică: manual de însoțitor pentru clasele 5-6 din liceu. - M .: Educație, Biblioteca profesorului de matematică, 1989.

1. Portalul internet Matematika-na.ru ().
2. Portalul de internet Math-portal.ru ().

Teme pentru acasă

1. Vilenkin N.Ya., Zhokhov V.I., Chesnokov A.S., Shvartsburd S.I. Matematică 6. - M .: Mnemosina, 2012. Nr. 127, nr. 129, nr. 141.
2. Alte misiuni: nr. 133, nr. 144.

Ați întâlnit termeni precum „numere prime” sau „factori primi”, dar nu știți care sunt? De asemenea, numerele primare sunt foarte populare în industria cinematografică, astfel încât acestea pot fi deseori întâlnite în filme și emisiuni TV. Să vedem ce sunt primele în acest articol!

numere prime Este un număr întreg pozitiv (natural) care poate fi împărțit doar la unul și la el însuși. Numerele care au mai mult de doi divizori naturali sunt numere compuse.

• Exemplul 1: un număr prim 7 poate fi împărțit numai la 1 și 7.
• Exemplul 2: numărul compus 6 poate fi împărțit la 1, 2, 3, 6.

Numere prime până la 100: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97

Numerele prime sunt un subiect foarte popular în matematică, cu o mare varietate de probleme, teoreme etc. asociate cu aceasta.

Factorii primi - aceștia sunt factori (elemente ale produsului), care sunt numere prime. Există mai multe misiuni școlare asociate cu factori primari care pot cauza probleme chiar și pentru generația mai în vârstă.

Anulați numerele ...

O problemă populară în matematică. Cele mai comune exemple sunt:

Extindeți factorii primi ai 27, 54, 56, 65, 99, 162, 625, 1000. În primul rând, trebuie spus că cea mai frecventă greșeală la rezolvarea acestei probleme este că numărul de multiplicatori nu este indicat, nu sunt neapărat 2 dintre ei! Dacă ați făcut această greșeală, puteți încerca să rezolvați singur problema.

Răspunsuri:

• 27 \u003d 3 x 3 x 3
• 54 \u003d 2 x 3 x 3 x 3
• 56 \u003d 2 x 2 x 2 x7
• 65 \u003d 5 x 13
• 99 \u003d 3 x 3 x 11
• 162 \u003d 2 x 3 x 3 x 3 x 3
• 625 \u003d 5 x 5 x 5 x 5
• 1000 \u003d 2 x 2 x 2 x 5 x 5 x 5