Descompunerea numerelor în factori primi, metode și exemple de descompunere. Cum să factorizezi un număr într-un produs de factori primi
Dacă funcția f (x) are derivate ale tuturor ordinelor pe un anumit interval care conține punctul a, atunci formula Taylor poate fi aplicată la ea:
,
unde r n - așa-numita rest sau seria restantă, poate fi estimată folosind formula Lagrange: 
, unde numărul x este între x și a.
Reguli de introducere a funcțiilor:
Dacă pentru o anumită valoare x r n→ 0 pentru n→ ∞, apoi în limită formula Taylor se transformă pentru această valoare într-un convergent seria Taylor:
,
Astfel, funcția f (x) poate fi extinsă într-o serie Taylor la punctul considerat x dacă:
1) are instrumente derivate ale tuturor comenzilor;
2) seria construită converg în acest moment.
Pentru a \u003d 0, obținem o serie numită lângă Maclaurin:
,
Extinderea celor mai simple funcții (elementare) din seria Maclaurin:
Funcții indicative
, R \u003d ∞
Funcții trigonometrice 
, R \u003d ∞ 
, R \u003d ∞
, (-π / 2< x < π/2), R=π/2
Funcția actgx nu se extinde în puteri de x, deoarece ctg0 \u003d ∞
Funcții hiperbolice
Funcții logaritmice
, -1
Serie binomială
.
Exemplul # 1. Extindeți funcția într-o serie de putere f (x) \u003d2 X.
Decizie... Să găsim valorile funcției și derivatele acesteia la x=0
f (x) = 2 X, f (0)
= 2 0
=1;
f "(x) = 2 Xln2, f "(0)
= 2 0
ln2 \u003d ln2;
f "" (x) = 2 X 2 2, f "" (0)
= 2 0
ln 2 2 \u003d ln 2 2;
…
f (n) (x) = 2 X ln n2, f (n) (0)
= 2 0
ln n2 \u003d ln n2.
Substituind valorile obținute ale derivatelor în formula seriei Taylor, obținem:
Raza de convergență a acestei serii este egală cu infinitul, deci această expansiune este valabilă pentru -∞<x<+∞.
Exemplul # 2. Scrieți seria Taylor în puteri ( x+4) pentru funcție f (x) \u003de X.
Decizie... Găsiți derivatele funcției e X și valorile lor la punct x=-4.
f (x) \u003d e X, f (-4)
\u003d e -4
;
f "(x) \u003d e X, f "(-4)
\u003d e -4
;
f "" (x) \u003d e X, f "" (-4)
\u003d e -4
;
…
f (n) (x) \u003d e X, f (n) ( -4)
\u003d e -4
.
Prin urmare, seria de Taylor necesară a funcției are forma:
Această expansiune este valabilă și pentru -∞<x<+∞.
Exemplul nr. 3 Funcție de extindere f (x)\u003d ln x într-o serie în puteri ( x-1),
(adică, în seria Taylor din vecinătatea punctului x=1).
Decizie... Găsiți derivatele acestei funcții.
f (x) \u003d lnx ,,,, 
f (1) \u003d ln1 \u003d 0, f "(1) \u003d 1, f" "(1) \u003d - 1, f" "" (1) \u003d 1 * 2, ..., f (n) \u003d (- 1) n-1 (n-1)!
Substituind aceste valori în formulă, obținem seria Taylor necesară:
Folosind testul d'Alembert, vă puteți asigura că seria converg pentru ½x-1½<1 . Действительно,
Seria converge dacă ½ x-1½<1, т.е. при 0<x<2. При x\u003d 2, obținem o serie alternativă care satisface condițiile testului Leibniz. Pentru x \u003d 0, funcția este nedefinită. Astfel, domeniul de convergență al seriei Taylor este intervalul pe jumătate deschis (0; 2].
Exemplul nr. 4 Extindeți funcția într-o serie de putere. Exemplul nr. 5. Extindeți funcția de serie Maclaurin cometariu
.
Această metodă se bazează pe teorema de unicitate pentru extinderea unei funcții dintr-o serie de putere. Esența acestei teoreme este că, în apropierea aceluiași punct, nu pot fi obținute două serii de putere diferite, care ar converge la aceeași funcție, indiferent de modul de extindere a acesteia. Exemplul nr. 5a. Extindeți funcția într-o serie Maclaurin, indicați regiunea de convergență. Fracția 3 / (1-3x) poate fi privită ca suma unei progresii geometrice în continuă scădere cu numitorul 3x, dacă | 3x |< 1. Аналогично, дробь 2/(1+2x) как сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии знаменателем -2x, если |-2x| < 1. В результате получим разложение в степенной ряд
Exemplul nr. 6. Extindeți funcția dintr-o serie Taylor în vecinătatea punctului x \u003d 3. Exemplul nr. 7 Scrieți seria Taylor în puterile (x -1) ale funcției ln (x + 2). Exemplul nr. 8 Extindeți funcția f (x) \u003d sin (πx / 4) într-o serie Taylor în vecinătatea punctului x \u003d 2. Exemplul # 1. Calculați ln (3) până la cea mai apropiată 0,01. Exemplul # 2. Calculați la cel mai apropiat 0.0001. Exemplul nr. 3 Evaluează integral ∫ 0 1 4 sin (x) x până la cel mai apropiat 10 -5. Exemplul nr. 4 Evaluează integrală ∫ 0 1 4 e x 2 până la cea mai apropiată 0,001. Un caz special din seria Taylor pentru x 0
=0 nnoi sunam lângă
Maclaurin
pentru funcțief(x).
Să găsim descompunerea unora elementarfuncții din seria Maclaurin. Exemplul 23 Decizie.
Pentru a rezolva problema, vom folosi algoritmul formulat mai sus. Deoarece este necesară extinderea funcției într-o serie Maclaurin, prin urmare, vom căuta o expansiune în vecinătatea punctului x 0
= 0. Găsiți valoarea funcției la punct x 0 \u003d 0, derivate ale funcției până la p-ordinea și valorile lor la x 0
= 0:
Să scriem în mod oficial seria Maclaurin după formulă Rețineți că avem rad în puteri impare, deoarece coeficienții pentru puteri echivalente (când p- număr egal) sunt egale cu zero. Să găsim regiunea de convergență a seriei rezultate, pentru aceasta compunem o serie de valori absolute ale membrilor seriei: și aplicați acesteia semnul D „Alamber.
Deoarece valoarea limitei nu depinde xși mai puțin de unul pentru oricare x, apoi seria converge pentru toate valorile, de aici regiunea de convergență a seriei x(–,+). Să verificăm îndeplinirea condițiilor suficiente. Este evident că prin urmare, funcția se extinde în seria sa Maclaurin pe toată axa numărului, adică. la x(–,+). În exemplul considerat, pentru a determina coeficienții de extindere a unei funcții într-o serie de putere dintr-un cartier de x 0 \u003d 0, am diferențiat secvențial funcția până când am putea deriva o formulă pentru p-al derivat și a găsit valorile derivatelor la un moment dat. Apoi și-au dat seama pentru care xsunt îndeplinite condiții suficiente pentru ca funcția să fie extinsă într-o serie. Acești pași duc adesea la calcule greoaie. Aceste dificultăți pot fi uneori evitate prin utilizarea afirmațieacea extinderea unei funcții într-o serie de putere obținută în orice fel va fi extinderea ei într-o serie Taylor.Prin urmare, pentru a obține o extindere a unei funcții într-o serie de putere, se pot folosi expansiunile deja cunoscute ale funcțiilor elementare, seria Maclaurin, aplicându-le regulile de adăugare, înmulțirea seriilor și teoreme privind integrarea și diferențierea seriilor de putere. De exemplu, descompunerea funcției f(x)=
cos x
poate fi obținută prin diferențierea extinderii termen cu termen în seria Maclaurin a funcției f(x)
\u003d păcat x.
În mod similar, folosind algoritmul de expansiune și teoreme privind integrarea și diferențierea seriilor de putere, se pot obține extinderi în seria Maclaurin a următoarelor funcții elementare: edacă t≥.0 sau t
-1, apoi regiunea de convergență x
(-1;1),
edacă–1< t<0
,
apoi regiunea de convergență x
(-1;1].
Această descompunere se numește serie binomială.În special, presupunând în ultima expansiune t=
–1,
obține ,
x
(-1;1). Înlocuirea acestei expansiuni xla expresia (- x),
obține Utilizarea teoremei privind integrarea seriei de putere și aplicarea acesteia la extinderea funcției din seria Maclaurin la x
(–1;1]. Înlocuirea funcției în expansiune Cand x
[–1;1]. Utilizarea serie binomială -extinderea unei funcții în serie Maclaurin Cand x
(–1;1). Exemplul 24. Folosind extensiile cunoscute, extindeți funcția Decizie
Este necesar să se găsească extinderea funcției în seria Maclaurin, adică. la o serie de puteri în puteri x... Vom folosi expansiunea la t
(–1;1]. presupunând t
=
x 2
,
obține Această descompunere este valabilă atunci când Prin urmare, Înmulțirea ambelor părți ale egalității cu x, primim la x
[–1;1]. Pexemplul 25 Folosind extensiile cunoscute, extindeți funcția Decizie.
Este necesară obținerea extinderii funcției într-o serie Taylor în vecinătatea punctului x 0
= 1,
acestea. în puteri ( x–1). Vom folosi expansiunea Cand t
(-1;1). Pentru a obține o extindere a acestei funcții în puteri ( x–1)
hai să introducem o nouă variabilă t=
x–1,
apoi x \u003dt
+ 1.
Transformăm această funcție într-o nouă variabilă prin setare x \u003dt
+ 1: Presupunând în expansiunea cunoscută în loc de t exprimarea și înmulțirea cu un număr, obținem la
(-1;1). Presupunând extinderea rezultată t
=
x–1,
înapoi la variabila inițială xși obțineți o extindere a acestei funcții într-o serie de putere în puteri ( x-1): Această descompunere este valabilă Deci am obținut descompunerea la Exemplul 26 Funcție de extindere Decizie.
Transformăm această funcție folosind proprietățile logaritmelor: Folosind binecunoscuta descompunere la t
(–1;1]. găsiți extinderea funcției
extinderea este valabilă pentru 2 x
(–1;1),
acestea. la În mod similar, iar extinderea este valabilă pentru (- x) (–1; 1), adică la x
(–1;1). Seriile de putere pot fi adăugate termen cu termen și înmulțite cu un număr, ceea ce înseamnă în plus, această expansiune este valabilă pe domeniul general al convergenței, adică la Pexemplul 27 Extindeți funcția de serie Maclaurin Decizie.
Transformăm funcția Folosind binecunoscuta extindere a funcției din seria Maclaurin la=(1+
t) m ,
presupunând Seria binomială folosită pentru Asa de, Luați în considerare următoarele expresii în puterile lui (a + b) n, unde a + b este orice binom și n este un număr întreg. Fiecare expresie este un polinom. În toate expresiile, puteți observa particularitățile. 1. Fiecare expresie conține un termen mai mult decât exponentul n. 2. În fiecare termen, suma puterilor este egală cu n, adică: gradul în care coșul este ridicat. 3. Gradele încep cu gradul binomial n și scad la 0. Ultimul termen nu are un factor a. Primul termen nu are niciun factor b, adică. puterile lui b încep de la 0 și cresc până la n. 4. Coeficienții încep de la 1 și cresc cu anumite valori până la „jumătatea drumului”, apoi scad cu aceleași valori înapoi la 1. Să aruncăm o privire mai atentă la cote. Să presupunem că vrem să găsim valoarea (a + b) 6. Conform funcției pe care tocmai am observat-o, ar trebui să fie 7 membri aici primul și ultimul număr 1
; Deci, expresia (a + b) 6 va fi Pentru a ridica (a + b) 8 la putere, adăugăm două linii triunghiului lui Pascal: Ne putem rezuma rezultatele după cum urmează. Pentru orice binom a a + b și orice număr natural n, Exemplul 1 Ridicați-vă la putere: (u - v) 5. Decizie Avem (a + b) n, unde a \u003d u, b \u003d -v și n \u003d 5. Folosim al șaselea rând al triunghiului lui Pascal: Exemplul 2 Putere: (2t + 3 / t) 4. Decizie Avem (a + b) n, unde a \u003d 2t, b \u003d 3 / t și n \u003d 4. Folosim al 5-lea rând al triunghiului lui Pascal: Să presupunem că vrem să găsim valoarea (a + b) 11. Dezavantajul folosirii triunghiului lui Pascal este că trebuie să calculăm toate rândurile anterioare ale triunghiului pentru a obține rândul necesar. Următoarea metodă evită acest lucru. De asemenea, vă permite să găsiți un anumit rând - să spunem al 8-lea rând - fără a evalua toate celelalte rânduri. Această metodă este utilă în calcule, statistici și se folosește notația coeficientului binomial
. Pentru orice binom (a + b) și orice număr natural n, Binomul lui Newton poate fi dovedit prin inducție matematică. Ea arată de ce se numește coeficient binomial
. Exemplul 3 Putere: (x 2 - 2y) 5. Decizie Avem (a + b) n, unde a \u003d x 2, b \u003d -2y, și n \u003d 5. Apoi, folosind binomul lui Newton, avem Exemplul 4 Ridicați puterea: (2 / x + 3√x) 4. Decizie Avem (a + b) n, unde a \u003d 2 / x, b \u003d 3√x, și n \u003d 4. Atunci folosind binomul lui Newton, obținem Să presupunem că dorim să definim un termen membru dintr-o expresie. Metoda dezvoltată ne va permite să găsim acest termen fără a calcula toate rândurile triunghiului lui Pascal sau toți coeficienții precedenți. Rețineți că în binomul lui Newton ne oferă primul termen, ne dă al doilea termen, ne oferă al treilea termen și așa mai departe. Acest lucru poate fi rezumat după cum urmează. (k + 1) termenul de exprimare (a + b) n este. Exemplul 5 Găsiți al cincilea termen în (2x - 5y) 6. Decizie Mai întâi, rețineți că 5 \u003d 4 + 1. Atunci k \u003d 4, a \u003d 2x, b \u003d -5y, și n \u003d 6. Atunci al cincilea termen al expresiei va fi Exemplul 6 Găsiți al 8-lea termen în (3x - 2) 10. Decizie Mai întâi, rețineți că 8 \u003d 7 + 1. Atunci k \u003d 7, a \u003d 3x, b \u003d -2 și n \u003d 10. Atunci al 8-lea termen al expresiei va fi Să presupunem că setul are n obiecte. Numărul de subseturi care conțin k elemente este. Numărul total de subseturi ale unui set este numărul de subseturi cu 0 elemente, precum și numărul de subseturi cu 1 element, precum și numărul de subseturi cu 2 elemente, etc. Numărul total de subseturi ale unui set cu n elemente este Numărul total de subseturi ale unui set cu n elemente este de 2 n. Exemplul 7 Câte subseturi are setul (A, B, C, D, E)? Decizie Setul are 5 elemente, apoi numărul de subseturi este 2 5 sau 32. Exemplul 8 Lanțul de restaurante Wendy oferă următoarele umpluturi de burger: Decizie Umpluturile pentru fiecare hamburger sunt membri ai unui subset al setului de toate umpluturile posibile, iar setul gol este doar un hamburger. Numărul total de hamburgeri posibili va fi În acest articol veți găsi toate informațiile necesare pentru a răspunde la întrebare, cum să factorizezi un număr în factori primi... În primul rând, este prezentată o idee generală a descompunerii unui număr în factori primi, sunt prezentate exemple de descompuneri. Următoarele arată forma canonică de descompunere a unui număr în factori primi. După aceea, este dat un algoritm pentru descompunerea numerelor arbitrare în factori primi și se dau exemple de numere de descompunere folosind acest algoritm. De asemenea, sunt considerate metode alternative care vă permit să descompuneti rapid întregi mici în factori primi folosind criterii de divizibilitate și tabelul de înmulțire. Navigare prin pagină. În primul rând, să ne dăm seama care sunt factorii primi. Este clar, deoarece cuvântul „factori” este prezent în această frază, atunci există un produs al unor numere, iar cuvântul care se califică „simplu” înseamnă că fiecare factor este un număr prim. De exemplu, într-un produs al formei 2 · 7 · 7 · 23 există patru factori primi: 2, 7, 7 și 23. Ce înseamnă să factorizezi un număr în factori primi? Acest lucru înseamnă că acest număr trebuie reprezentat ca un produs al factorilor primi, iar valoarea acestui produs trebuie să fie egală cu numărul inițial. Ca exemplu, luăm în considerare produsul a trei prime 2, 3 și 5, acesta este egal cu 30, deci factorizarea 30 în factori primi este 2 · 3 · 5. De obicei, descompunerea unui număr în factori primi este scrisă ca o egalitate, în exemplul nostru va fi astfel: 30 \u003d 2 · 3 · 5. Subliniem separat că factorii primi în expansiune pot fi repetiți. Acest lucru este ilustrat în mod clar de următorul exemplu: 144 \u003d 2 · 2 · 2 · 2 · 3 · 3. Dar reprezentarea formei 45 \u003d 3 · 15 nu este o factorizare primară, deoarece numărul 15 este compus. Următoarea întrebare: „Ce numere în general pot fi descompuse în factori primi”? În căutarea unui răspuns la acesta, vă prezentăm următoarele raționamente. Prin definiție, numerele prime sunt mai mari decât cele. Având în vedere acest fapt și, se poate afirma că produsul mai multor factori primi este un număr întreg pozitiv mai mare decât unul. Prin urmare, factorizarea primă are loc numai pentru numere întregi pozitive mai mari de 1. Dar toate numerele întregi sunt mai mari decât un factor în factori primi? Este clar că nu există nici o modalitate de a descompune întregi primi în factori primi. Acest lucru se datorează faptului că numerele prime au doar doi divizori pozitivi - unul și ei înșiși, deci nu pot fi reprezentați ca un produs a două sau mai multe numere prime. Dacă numărul întreg z ar putea fi reprezentat ca un produs al numerelor prime a și b, atunci noțiunea de divizibilitate ne-ar permite să concluzionăm că z este divizibil atât prin a și b, ceea ce este imposibil datorită simplității lui z. Cu toate acestea, se crede că orice număr prim în sine este expansiunea sa. Dar numerele compuse? Numerele compuse se descompun în factori primi și toate numerele compuse sunt supuse unei astfel de descompuneri? O serie de întrebări răspund afirmativ prin teorema principală a aritmeticii. Teorema principală a aritmeticii afirmă că orice număr întreg care este mai mare de 1 poate fi descompus în produsul factorilor primi p 1, p 2, ..., pn, iar descompunerea are forma a \u003d p 1 p 2 ... pn, iar aceasta extinderea este unică, dacă ordinea factorilor nu este luată în considerare În extinderea unui număr, factorii primi se pot repeta. Factorii primi duplicat pot fi scrise mai compact folosind. Să presupunem că în expansiunea unui număr un factor prim p 1 apare s de 1 ori, un factor prim p 2 - s de 2 ori și așa mai departe, p n - s n ori. Apoi, factorizarea primă a numărului a poate fi scrisă ca a \u003d p 1 s 1 p 2 s 2 ... p n s n... Această formă de înregistrare este așa-numita factorizare primă canonică. Să dăm un exemplu de descompunere a factorului canonic a unui număr în factori primi. Să cunoaștem descompunerea 609 840 \u003d 2 2 2 2 3 3 5 7 11 11, notația sa canonică este 609 840 \u003d 2 4 3 2 5 7 11 2. Factorizarea canonică a unui număr în factori primi vă permite să găsiți toți divizorii unui număr și numărul de divizori ai unui număr. Pentru a face față cu succes factorului de factorizare a unui număr în factori primi, trebuie să fiți foarte familiarizați cu informațiile din articol despre numere prime și compuse. Esența procesului de descompunere a unui număr întreg pozitiv și mai mare decât un număr a este evidentă din dovada teoremei principale a aritmeticii. Ideea este să găsim secvențial cei mai mici divizori primi p 1, p 2,…, pn de numere a, a 1, a 2,…, a n-1, ceea ce ne permite să obținem o serie de egalități a \u003d p 1 · a 1, unde a 1 \u003d a: p 1, a \u003d p 1 a 1 \u003d p 1 p 2 a 2, unde a 2 \u003d a 1: p 2, ..., a \u003d p 1 p 2 ... pn an, unde an \u003d a n-1: pn. Când obținem un n \u003d 1, atunci egalitatea a \u003d p 1 · p 2 · ... · p n ne va da descompunerea necesară a numărului a în factori primi. Trebuie menționat aici că p 1 ≤p 2 ≤p 3 ≤ ... ≤p n. Rămâne să ne dăm seama cum să găsim cei mai mici factori primi la fiecare pas și vom avea un algoritm pentru factorizarea numărului în factori primi. Tabelul numerelor prime ne va ajuta să găsim factori primi. Să arătăm cum să o utilizăm pentru a obține cel mai mic divizor prim al numărului z. Secvențial luăm primele din tabelul numerelor prime (2, 3, 5, 7, 11 și așa mai departe) și împărțim numărul dat z de ele. Primul număr prim z este divizat cu un număr întreg va fi cel mai mic divizor prim al său. Dacă numărul z este prim, atunci cel mai mic divizor prim va fi numărul z în sine. Aici trebuie amintit că dacă z nu este un număr prim, atunci cel mai mic divizor prim nu depășește numărul, de unde este de la z. Astfel, dacă printre primele care nu depășesc nu a existat un singur divizor al numărului z, atunci putem concluziona că z este un număr prim (pentru mai multe detalii, a se vedea secțiunea de teorie de la titlul acest număr este prim sau compozit). Ca exemplu, vă vom arăta cum puteți găsi cel mai mic divizor prim de 87. Luăm numărul 2. Împărțim 87 la 2, obținem 87: 2 \u003d 43 (rest. 1) (dacă este necesar, vedeți articolul). Adică împărțirea 87 la 2 rezultă în restul de 1, deci 2 nu este divizor de 87. Luăm următorul număr prim din tabelul primelor, care este 3. Împărțim 87 la 3, obținem 87: 3 \u003d 29. Astfel, 87 este divizibil uniform cu 3, deci 3 este cel mai mic divizor prim de 87. Rețineți că, în cazul general, pentru a factoriza un număr a în factori primi, avem nevoie de un tabel de prime până la un număr nu mai puțin de. Va trebui să ne referim la acest tabel la fiecare pas, deci trebuie să îl aveți la îndemână. De exemplu, pentru a factoriza 95 în factori primi, va fi suficient un tabel cu primele până la 10 (deoarece 10 este mai mare decât). Și pentru a descompune numărul 846 653, veți avea deja nevoie de un tabel de prime până la 1.000 (deoarece 1.000 este mai mult decât). Acum avem suficiente informații pentru a scrie algoritmul de factorizare primă... Algoritmul de descompunere pentru numărul a este următorul: Pentru claritate, toate rezultatele obținute la fiecare etapă a algoritmului de descompunere a unui număr în factori primi sunt prezentate sub forma următorului tabel, în care, în stânga liniei verticale, numerele a, a 1, a 2, ..., sunt scrise secvențial într-o coloană, iar în dreapta liniei - cel mai puțin divizori primi corespunzători p 1, p 2,…, pn. Rămâne doar să luăm în considerare câteva exemple de aplicare a algoritmului obținut pentru descompunerea numerelor în factori primi. Acum vom analiza în detaliu exemple de numere de factorizare în factori primi... În descompunere, vom aplica algoritmul din paragraful anterior. Să începem cu cazuri simple și să le complicăm treptat pentru a face față tuturor nuanțelor posibile care apar atunci când factorăm numerele în factori primi. Exemplu. Împărțiți 78 în factori primi. Decizie. Începem să căutăm primul cel mai mic divizor prim p al numărului a \u003d 78. Pentru a face acest lucru, începem să iterăm secvențial peste numerele prime din tabelul numerelor prime. Luăm numărul 2 și îl împărțim pe 78, obținem 78: 2 \u003d 39. Numărul 78 a fost împărțit la 2 fără rest, deci p 1 \u003d 2 este primul divizor principal găsit de 78. În acest caz, a 1 \u003d a: p 1 \u003d 78: 2 \u003d 39. Așadar, ajungem la egalitatea a \u003d p 1 · a 1 având forma 78 \u003d 2 · 39. Evident, un 1 \u003d 39 este diferit de 1, deci trecem la al doilea pas al algoritmului. Acum căutăm cel mai mic divizor prim p 2 al numărului a 1 \u003d 39. Începem să repetăm \u200b\u200bnumerele din tabelul primelor, începând cu p 1 \u003d 2. Împărțim 39 la 2, obținem 39: 2 \u003d 19 (rest. 1). Deoarece 39 nu este divizibil cu 2, 2 nu este divizor al acesteia. Apoi luăm următorul număr din tabelul primelor (numărul 3) și împărțim 39, obținem 39: 3 \u003d 13. Prin urmare, p 2 \u003d 3 este cel mai mic divizor prim de 39, în timp ce a 2 \u003d a 1: p 2 \u003d 39: 3 \u003d 13. Avem egalitatea a \u003d p 1 p 2 a 2 sub forma 78 \u003d 2 3 13. Deoarece un 2 \u003d 13 este diferit de 1, treceți la pasul următor al algoritmului. Aici trebuie să găsim cel mai mic divizor prim al numărului a 2 \u003d 13. În căutarea celui mai mic divizor prim p 3 din 13, vom itera secvențial peste numerele din tabelul primelor, începând cu p 2 \u003d 3. Numărul 13 nu este divizibil cu 3, deoarece 13: 3 \u003d 4 (rest. 1), de asemenea, 13 nu este divizibil cu 5, 7 și 11, deoarece 13: 5 \u003d 2 (restul 3), 13: 7 \u003d 1 (odihnă. 6) și 13:11 \u003d 1 (odihnă. 2). Următorul număr prim este 13 și 13 este divizibil cu acesta fără rest, prin urmare, cel mai mic divizor prim p 3 din 13 este numărul 13 în sine și un 3 \u003d a 2: p 3 \u003d 13: 13 \u003d 1. Deoarece a 3 \u003d 1, atunci această etapă a algoritmului este ultima, iar descompunerea necesară a 78 în factori primi are forma 78 \u003d 2 · 3 · 13 (a \u003d p 1 · p 2 · p 3). Răspuns: 78 \u003d 2 3 13. Exemplu. Prezentați numărul 83,006 ca produs al factorilor primi. Decizie. La prima etapă a algoritmului de descompunere a unui număr în factori primi, găsim p 1 \u003d 2 și a 1 \u003d a: p 1 \u003d 83 006: 2 \u003d 41 503, de unde 83 006 \u003d 2 · 41 503. La a doua etapă, aflăm că 2, 3 și 5 nu sunt divizori primi ai numărului a 1 \u003d 41 503, iar numărul 7 este, deoarece 41 503: 7 \u003d 5 929. Avem p 2 \u003d 7, a 2 \u003d a 1: p 2 \u003d 41 503: 7 \u003d 5 929. Astfel, 83.006 \u003d 2 · 7 · 5.929. Cel mai mic factor prim al unui 2 \u003d 5 929 este 7, deoarece 5 929: 7 \u003d 847. Astfel, p 3 \u003d 7, a 3 \u003d a 2: p 3 \u003d 5 929: 7 \u003d 847, de unde 83 006 \u003d 2 7 7 847. Atunci descoperim că cel mai mic divizor prim p 4 al numărului a 3 \u003d 847 este 7. Atunci a 4 \u003d a 3: p 4 \u003d 847: 7 \u003d 121, deci 83 006 \u003d 2 7 7 7 7 121. Acum găsim cel mai mic divizor prim al numărului a 4 \u003d 121, este numărul p 5 \u003d 11 (deoarece 121 este divizibil cu 11 și nu poate fi divizibil cu 7). Apoi a 5 \u003d a 4: p 5 \u003d 121: 11 \u003d 11, și 83 006 \u003d 2 7 7 7 11 11. În cele din urmă, cel mai mic factor prim al unui 5 \u003d 11 este p 6 \u003d 11. Atunci a 6 \u003d a 5: p 6 \u003d 11: 11 \u003d 1. Deoarece este 6 \u003d 1, această etapă a algoritmului pentru descompunerea unui număr în factori primi este ultima, iar descompunerea necesară are forma 83 006 \u003d 2 · 7 · 7 · 7 · 11 · 11. Rezultatul obținut poate fi scris ca factorizarea canonică a unui număr în factori primi 83 006 \u003d 2 · 7 3 · 11 2. Răspuns: 83 006 \u003d 2 7 7 7 11 11 \u003d 2 7 3 11 2991 este un număr prim. Într-adevăr, nu are un singur divizor prim care să nu depășească (poate fi estimat aproximativ ca, deoarece este evident că 991<40 2
), то есть, наименьшим делителем числа 991
является оно само. Тогда p 3 =991
и a 3 =a 2:p 3 =991:991=1
. Следовательно, искомое разложение числа 897 924 289
на простые множители имеет вид 897 924 289=937·967·991
. Răspuns: 897 924 289 \u003d 937 967 991. În cazuri simple, puteți descompune un număr în factori primi fără a utiliza algoritmul de descompunere din primul paragraf al acestui articol. Dacă numerele nu sunt mari, atunci pentru descompunerea lor în factori primi, este destul de adesea să cunoaștem criteriile de divizibilitate. Iată câteva exemple pentru clarificări. De exemplu, trebuie să factorăm numărul 10 în factori primi. Din tabelul de înmulțire știm că 2 · 5 \u003d 10, iar numerele 2 și 5 sunt evident simple, deci factorizarea primă a lui 10 este 10 \u003d 2 · 5. Alt exemplu. Folosiți tabelul de înmulțire pentru a factoriza 48 în factori primi. Știm că șase opt sunt patruzeci și opt, adică 48 \u003d 6 · 8. Cu toate acestea, nici 6, nici 8 nu sunt numere prime. Dar știm că de două ori trei este șase și de două ori patru este opt, adică 6 \u003d 2 · 3 și 8 \u003d 2 · 4. Atunci 48 \u003d 6 8 \u003d 2 3 2 4. Rămâne să ne amintim că de două ori două este patru, atunci obținem descompunerea necesară în factori primi 48 \u003d 2 · 3 · 2 · 2 · 2. Scriem această descompunere sub formă canonică: 48 \u003d 2 4 · 3. Dar atunci când factorizați numărul 3 400 în factori primi, puteți utiliza criteriile de divizibilitate. Divizibilitatea cu 10, 100 ne permite să afirmăm că 3400 este divizibil cu 100, în timp ce 3400 \u003d 34100, iar 100 este divizibil cu 10, în timp ce 100 \u003d 1010, prin urmare, 3400 \u003d 341010. Și pe baza criteriului divizibilității cu 2, se poate susține că fiecare dintre factorii 34, 10 și 10 este divizibil cu 2, obținem 3 400 \u003d 34 10 10 \u003d 2 17 2 5 2 5... Toți factorii din descompunerea rezultată sunt primi, prin urmare această descompunere este cea dorită. Rămâne doar să rearanjați factorii astfel încât să meargă în ordine crescătoare: 3400 \u003d 2 · 2 · 2 · 5 · 5 · 17. De asemenea, notăm factorizarea canonică a acestui număr în factori primi: 3 400 \u003d 2 3 · 5 2 · 17. La descompunerea unui număr dat în factori primi, puteți utiliza, la rândul său, atât criteriile de divizibilitate, cât și tabelul de înmulțire. Să reprezentăm numărul 75 ca produs al factorilor primi. Divizibilitatea cu 5 ne permite să afirmăm că 75 este divizibil cu 5 și obținem că 75 \u003d 5 15. Și din tabelul de înmulțire știm că 15 \u003d 3 · 5, prin urmare, 75 \u003d 5 · 3 · 5. Aceasta este factorizarea primă necesară de 75. Lista de referinte. Orice număr natural poate fi descompus în produsul factorilor primi. Dacă nu vă place să abordați numere mari precum 5733, aflați cum să le reduceți (în acest caz, 3 x 3 x 7 x 7 x 13). O sarcină similară este deseori întâlnită în criptografie, care tratează probleme de securitate a informațiilor. Dacă încă nu sunteți gata să vă construiți propriul sistem de e-mail securizat, aflați mai întâi cum să factorizați numerele. Partea 1 Începeți cu numărul inițial. Alegeți un număr compus mai mare de 3. Nu are sens să luați un număr prim, deoarece este divizibil doar de la sine și unul singur. Să împărțim acest număr în produsul a doi factori. Găsiți două numere mai mici al căror produs este egal cu numărul inițial. Se poate utiliza orice factor, dar este mai ușor să ia numere prime. O modalitate bună este să încercați să împărțiți numărul inițial întâi la 2, apoi la 3, apoi la 5 și să verificați care dintre aceste prime se împarte fără rest. Începeți să construiți arborele multiplicatorului. Această procedură simplă vă va ajuta să factorizați un număr în factori primi. Pentru început, trageți două „ramuri” în jos de la numărul inițial. La sfârșitul fiecărei ramuri, scrieți factorii găsiți. Factorul următorului rând de numere. Aruncați o privire la cele două numere noi (al doilea rând al arborelui multiplicator). Sunt ambele numere prime? Dacă una dintre ele nu este simplă, de asemenea, factorizați-o în doi factori. Faceți încă două ramuri și scrieți doi factori noi în a treia linie a arborelui. Continuați în jos în copac. Dacă unul dintre noii factori se dovedește a fi un număr prim, trageți o „ramură” din ea și scrieți același număr la sfârșitul său. Numerele prime nu pot fi extinse în factori mai mici, așa că doar mutați-le în jos. Continuați factorizarea numerelor până când veți rămâne doar cu numere prime. Verificați fiecare linie nouă a arborelui. Dacă cel puțin unul dintre noii factori nu este un număr prim, factorizați-l și scrieți o nouă linie. La final, veți rămâne doar cu numere prime. Scrieți ultima linie ca produs al factorilor primi. La final, veți rămâne doar cu numere prime. Când se întâmplă acest lucru, factorizarea primă este completă. Ultima linie este un set de prime, al cărui produs dă numărul inițial. Simplificați răspunsul cu notare exponențială, dacă doriți. Dacă cunoașteți exponențiarea numerelor, puteți scrie răspunsul într-o formă mai simplă. Amintiți-vă că baza este scrisă în partea de jos și numărul superscript indică de câte ori această bază ar trebui înmulțită singură. Partea 2 Găsiți cel mai mare divizor comun cu două numere. Cel mai mare divizor comun al două numere este numărul maxim prin care ambele numere sunt divizibile fără rest. Exemplul de mai jos vă arată cum să utilizați factorizarea primă pentru a găsi cel mai mare divizor comun de 30 și 36. Cu ajutorul GCD, puteți simplifica fracțiile. Dacă bănuiți că o fracțiune poate fi anulată, utilizați cel mai mare factor comun. Găsiți GCD-ul numărătorului și numitorului folosind procedura de mai sus. Apoi împărțiți numărătorul și numitorul fracției la numărul respectiv. Drept urmare, veți obține aceeași fracțiune într-o formă mai simplă. Găsiți cel mai puțin multiplu comun cu două numere. Cel mai puțin multiplu comun (CMM) de două numere este cel mai mic număr care este divizibil uniform de ambele numere. De exemplu, MCM de 2 și 3 este 6, deoarece este cel mai mic număr care poate fi divizibil cu 2 și 3. Mai jos este un exemplu de găsire a MCM folosind factorizarea primă: Utilizați LCM pentru adăugarea fracțiilor. La adăugarea a două fracții, este necesar să le aducem la un numitor comun. Pentru a face acest lucru, găsiți MCM al celor doi numitori. Înmulțiți apoi numărătorul și numitorul fiecărei fracții cu un astfel de număr încât numitorii fracțiilor să fie egali cu CMM. Apoi se pot adăuga fracții.
Decizie... În expansiune (1) înlocuim x cu -x 2, obținem:
, -∞
.
Decizie... Noi avem
Folosind formula (4), putem scrie:
substituind în loc de x în formula -x, obținem:
De aici găsim: ln (1 + x) -ln (1-x) \u003d -
Extinderea parantezelor, rearanjarea termenilor seriei și reducerea termenilor similari, obținem
... Această serie converg în intervalul (-1; 1), deoarece este obținută din două serii, fiecare convergând în acest interval.
Formulele (1) - (5) pot fi de asemenea utilizate pentru a extinde funcțiile corespunzătoare într-o serie Taylor, adică. pentru extinderea funcțiilor în puteri întregi pozitive ( ha). Pentru a face acest lucru, pentru o funcție dată, este necesar să se efectueze astfel de transformări identice pentru a obține una dintre funcțiile (1) - (5), în care în loc de x costuri k ( ha) m, unde k este un număr constant, m este un număr întreg pozitiv. Adesea este convenabil să schimbați variabila t=ha și extindeți funcția rezultată în raport cu t într-o serie Maclaurin.
Decizie. Mai întâi, găsiți 1-x-6x 2 \u003d (1-3x) (1 + 2x) ,. 
în elementar:
cu regiunea de convergență | x |< 1/3.
Decizie... Această problemă poate fi rezolvată, ca și înainte, folosind definiția seriei Taylor, pentru care este necesar să găsiți derivatele funcției și valorile acestora la x\u003d 3. Cu toate acestea, va fi mai ușor să utilizați descompunerea existentă (5):
=
Seria rezultată converge la sau –3
Decizie.
Seria converg la, sau -2< x < 5.
Decizie... Să facem înlocuirea t \u003d x-2:
Folosind expansiunea (3), în care înlocuim π / 4 t în locul lui x, obținem:
Seria rezultată converge la o funcție dată la -∞< π / 4 t<+∞, т.е. при (-∞
, (-∞Calcule aproximative folosind serii de putere
Seriile de putere sunt utilizate pe scară largă în calculele aproximative. Cu ajutorul lor, cu o precizie dată, puteți calcula valorile rădăcinilor, funcțiilor trigonometrice, logaritmele numerelor, integrale definite. Seriile sunt de asemenea utilizate la integrarea ecuațiilor diferențiale.
Luați în considerare extinderea unei funcții într-o serie de putere:
Pentru a calcula valoarea aproximativă a funcției la un moment dat xaparținând regiunii de convergență a seriei indicate, prima n membri ( n - un număr finit), iar termenii rămași sunt aruncați:
Pentru a estima eroarea valorii aproximative obținute, este necesar să se estimeze restul eliminat r n (x). Pentru aceasta se folosesc următoarele tehnici:
Decizie... Să folosim expansiunea, unde x \u003d 1/2 (a se vedea exemplul 5 din subiectul precedent):
Să verificăm dacă putem elimina restul după primii trei termeni ai expansiunii, pentru aceasta îl estimăm folosind suma unei progresii geometrice în continuă scădere:
Deci putem renunța la acest rest și obținem
Decizie... Să folosim seria binomială. Deoarece 5 3 este cel mai apropiat cub al unui număr întreg cu 130, este recomandabil să se reprezinte numărul 130 ca 130 \u003d 5 3 +5. 
deoarece deja al patrulea termen al seriei alternative obținute care satisface criteriul Leibniz este mai mic decât exactitatea necesară:
Prin urmare, acesta și membrii care îl urmează pot fi aruncați.
Multe integrale definite sau improprii practic necesare nu pot fi calculate folosind formula Newton-Leibniz, deoarece aplicarea sa este asociată cu găsirea unui antiderivativ, care adesea nu are o expresie în funcțiile elementare. De asemenea, se întâmplă că găsirea antiderivativului este posibilă, dar inutil de laborioasă. Cu toate acestea, dacă integrandul poate fi extins într-o serie de putere și limitele integrării aparțin intervalului de convergență al acestei serii, atunci este posibil un calcul aproximativ al integralei cu o precizie predeterminată.
Decizie... Integrala nedeterminată corespunzătoare nu poate fi exprimată în funcții elementare, adică. este o „integrală de neîntrerupt”. Este imposibil să aplici formula Newton-Leibniz aici. Să calculăm integrală aproximativ.
Împărțind seria pentru păcat x pe x , primim: 
Integrarea acestei serii termen după termen (acest lucru este posibil, deoarece limitele integrării aparțin intervalului de convergență al acestei serii), obținem:
Întrucât seria rezultată satisface condițiile lui Leibniz, este suficient să luăm suma primilor doi termeni pentru a obține valoarea dorită cu o precizie dată.
Astfel, găsim 
.
Decizie.
... Să verificăm dacă putem elimina restul după al doilea termen al seriei rezultate.
0,0001<0.001. Следовательно, 
.
.
pentru p\u003d 0,1,2, ... și pentru orice x,
la x(–,+).
la x(–,+);
, la x
(–1;1).
, primim
variabil x pe exprimare 
și integrăm, obținem
presupunând 
înlocuind xpe exprimare 
și integrând, obținem
.
de unde 
, apoi regiunea de convergență 
.
în seria Taylor din vecinătatea punctului x 0
=1.
de unde 
.
.
la o serie de putere la punct 
.
,
presupunând t=
2x,
și funcții 
presupunând t \u003d –X:
.
.
.
.
și 
, primim
are un domeniu de convergență t
(-1; 1], prin urmare, expansiunea rezultată este valabilă pentru 
de unde 
,
.
la 
.
a 6 + c 1 a 5 b + c 2 a 4 b 2 + c 3 a 3 b 3 + c 4 a 2 b 4 + c 5 ab 5 + b 6.
Dar cum putem determina valoarea fiecărui coeficient, c i? Putem face acest lucru în două moduri. Prima metodă implică scrierea coeficienților într-un triunghi așa cum se arată mai jos. Aceasta este cunoscută sub numele de Triunghiul lui Pascal
:
Există multe caracteristici în triunghi. Găsiți cât puteți.
Este posibil să fi găsit o modalitate de a scrie următoarea linie de numere folosind numerele din linia de mai sus. Unitățile sunt întotdeauna pe laturi. Fiecare număr rămas este suma celor două numere deasupra acestui număr. Să încercăm să găsim sensul expresiei (a + b) 6 adăugând următoarea linie folosind caracteristicile pe care le-am găsit: 
Vedem asta pe ultima linie
al doilea număr este 1 + 5 sau 6
;
al treilea număr este 5 + 10 sau 15
;
al patrulea număr este 10 + 10 sau 20
;
a cincea este de 10 + 5 sau 15
; și
al șaselea număr este 5 + 1 sau 6
.
(a + b) 6 \u003d 1
un 6 + 6
a 5 b + 15
a 4 b 2 + 20
a 3 b 3 + 15
a 2 b 4 + 6
ab 5 + 1
b 6.
Apoi
(a + b) 8 \u003d a 8 + 8a 7 b + 28a 6 b 2 + 56a 5 b 3 + 70a 4 b 4 + 56a 3 b 5 + 28a 2 b 6 + 8ab 7 + b 8.Binomul lui Newton folosind triunghiul lui Pascal
(a + b) n \u003d c 0 a n b 0 + c 1 a n-1 b 1 + c 2 a n-2 b 2 + .... + c n-1 a 1 b n-1 + c n a 0 b n,
unde numerele c 0, c 1, c 2, ...., c n-1, c n sunt luate din seria (n + 1) a triunghiului lui Pascal.
1 5 10 10 5 1
Atunci noi avem
(u - v) 5 \u003d 5 \u003d 1
(u) 5 + 5
(u) 4 (-v) 1 + 10
(u) 3 (-v) 2 + 10
(u) 2 (-v) 3 + 5
(u) (- v) 4 + 1
(-v) 5 \u003d u 5 - 5u 4 v + 10u 3 v 2 - 10u 2 v 3 + 5uv 4 - v 5.
Rețineți că semnul membrilor variază între + și -. Când gradul -v este ciudat, semnul este -.
1 4 6 4 1
Atunci noi avem Descompunerea binomială folosind valori factoriale
Putem formula binomul lui Newton după cum urmează.Binomial Newton folosind notație factorială
.
În cele din urmă, (x 2 - 2y) 5 \u003d x 10 - 10x 8 y + 40x 6 y 2 - 80x 4 y 3 + 80x 2 y 4 - 35y 5.
În cele din urmă (2 / x + 3√x) 4 \u003d 16 / x 4 + 96 / x 5/2 + 216 / x + 216x 1/2 + 81x 2.Găsirea unui membru specific
Găsirea termenului (k + 1)
Numărul total de subseturi
.
Acum să ne uităm la exponențiere (1 + 1) n: 
.
Asa de. numărul total de subseturi este (1 + 1) n sau 2 n. Am dovedit următoarele.Numărul total de subseturi
{ketchup, muștar, maioneză, roșii, salată, ceapă, ciuperci, măsline, brânză}.
Câte tipuri diferite de hamburgeri trebuie să ofere Wendy, exclusiv dimensiunea sau cantitatea hamburgerilor?
... Astfel, Wendy poate oferi 512 hamburgeri diferiți.Ce înseamnă să factorizezi un număr în factori primi?
Factorizare primă canonică
Algoritmul pentru factorizarea unui număr în factori primi
Exemple de factorizare primă
Utilizarea criteriilor de divizibilitate pentru factorizarea primă
paşi
