Cum se face factorizarea primă. factorizare primara

21.06.2020 Lună

Ce înseamnă să factorăm în factori primi? Cum să o facă? Ce poți învăța din factorizarea unui număr în factori primi? Răspunsurile la aceste întrebări sunt ilustrate cu exemple specifice.

Definiții:

Un prim este un număr care are exact doi divizori diferiți.

Compusul este un număr care are mai mult de doi divizori.

Factorizarea unui număr natural înseamnă reprezentarea acestuia ca produs al numerelor naturale.

A descompune un număr natural în factori primi înseamnă a-l reprezenta ca produs al numerelor prime.

Note:

În extinderea unui număr prim, unul dintre factori este egal cu unul, iar celălalt este egal cu același număr.
Nu are sens să vorbim despre unitate factoring.
Un număr compus poate fi descompus în factori, fiecare diferind de 1.

	Factorul 150. De exemplu, 150 este de 15 ori 10. 15 este un număr compus. Poate fi extins în factori primi de 5 și 3. 10 este un număr compus. Poate fi extins în factorii primi 5 și 2. Scriind în loc de 15 și 10 factorizarea lor în factori primi, am obținut factorizarea de 150.
	Numărul 150 poate fi factorizat diferit. De exemplu, 150 este produsul numerelor 5 și 30. 5 este un număr prim. 30 este un număr compus. Poate fi gândit ca fiind produsul din 10 și 3. 10 este un număr compus. Poate fi extins în factorii primi 5 și 2. Am obținut factorizarea a 150 în factori primi într-un mod diferit.
	Rețineți că prima și a doua descompunere sunt aceleași. Ele diferă numai în ordinea înmulțitorilor. Se obișnuiește să se scrie factorii în ordine crescătoare.
Orice număr compus poate fi descompus în mod unic în factori primi până la ordinea factorilor.

Când descompuneți un număr mare în factori primi, utilizați o înregistrare pe coloană:

Cel mai mic prim divizibil cu 216 este 2.

Împărțiți 216 la 2. Obținem 108.

Numărul rezultat 108 este împărțit la 2.

Să facem diviziunea. Rezultatul este 54.

Conform divizibilității cu 2, 54 este divizibil cu 2.

După divizare, obținem 27.

Numărul 27 se termină cu o cifră impare 7. Aceasta

Nu poate fi divizibil cu 2. Următorul număr prim este 3.

Împărțim 27 la 3. Obținem 9. Cea mai mică primă

Numărul care împarte 9 este 3. Trei este el însuși un număr prim, este divizibil de la sine și unu. Să împărțim 3 singuri. Drept urmare, am obținut 1.

Numărul este divizibil numai după acele numere prime care fac parte din descompunerea sa.
Numărul este divizibil numai după acele numere compuse, a căror descompunere în factori primi este complet conținută în el.

Să luăm în considerare câteva exemple:

4900 este divizibil cu numerele prime 2, 5 și 7. (sunt incluse în descompunerea numărului 4900), dar nu, de exemplu, cu 13.

11 550 75. Aceasta este așa, deoarece descompunerea numărului 75 este conținută complet în descompunerea numărului 11550.

Diviziunea va avea ca rezultat produsul factorilor 2, 7 și 11.

11550 nu este divizibil cu 4, deoarece există două în plus în factorizarea a patru.

Găsiți coeficientul de împărțire a numărului a la numărul b, dacă aceste numere sunt descompuse în factori primi după cum urmează: a \u003d 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 3 \u200b\u200b∙ 3 ∙ 3 ∙ 5 ∙ 5 ∙ 19; b \u003d 2 ∙ 2 ∙ 3 \u200b\u200b∙ 3 ∙ 5 ∙ 19

Descompunerea numărului b este cuprinsă complet în descompunerea numărului a.

Rezultatul divizării a cu b este produsul celor trei numere rămase în expansiunea lui a.

Deci răspunsul este 30.

Lista de referinte

Vilenkin N.Ya., Zhokhov V.I., Chesnokov A.S., Shvartsburd S.I. Matematică 6. - Moscova: Mnemosina, 2012.
Merzlyak A.G., Polonsky V.V., Yakir M.S. Matematica clasa a 6-a. - Gimnaziul. 2006.
Depman I. Ya., Vilenkin N. Ya. În spatele paginilor unui manual de matematică. - M .: Educație, 1989.
Rurukin A.N., Ceaikovski I.V. Teme pentru cursul matematică clasa 5-6. - Moscova: ZSH MEPhI, 2011.
Rurukin A.N., Sochilov S.V., Ceaikovski K.G. Matematică 5-6. Manual pentru elevii de clasa a VI-a a școlii de corespondență MEPhI. - Moscova: ZSH MEPhI, 2011.
Șevrin L.N., Gein A.G., Koryakov I.O., Volkov M.V. Matematică: manual de însoțitor pentru clasele 5-6 din liceu. - M .: Educație, Biblioteca profesorului de matematică, 1989.

Portalul internet Matematika-na.ru ().
Portalul de internet Math-portal.ru ().

Teme pentru acasă

Vilenkin N.Ya., Zhokhov V.I., Chesnokov A.S., Shvartsburd S.I. Matematică 6. - M .: Mnemosina, 2012. Nr. 127, nr. 129, nr. 141.
Alte misiuni: nr. 133, nr. 144.

Fiecare număr natural, cu excepția unuia, are doi sau mai mulți divizori. De exemplu, numărul 7 este divizibil cu doar 1 și 7 fără rest, adică are doi divizori. Și numărul 8 are divizori 1, 2, 4, 8, adică câte 4 divizori simultan.

Cât diferă numerele prime și cele compuse

Numerele care au mai mult de doi divizori se numesc numere compuse. Numerele care au doar doi divizori: unul și numărul în sine se numesc numere prime.

Numărul 1 are o singură diviziune, și anume acest număr în sine. Unitatea nu se aplică nici unui număr prim sau compus.

De exemplu, 7 este prim și 8 este compozit.

Primele 10 prime: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29. Numărul 2 este singurul număr egal, toate celelalte prime sunt impare.

Numărul 78 este compus, deoarece pe lângă 1 și el însuși, acesta este, de asemenea, divizibil cu 2. Când se împarte cu 2, obținem 39. Adică 78 \u003d 2 * 39. În astfel de cazuri, se spune că numărul este factorizat 2 și 39.

Orice număr compus poate fi descompus în doi factori, fiecare fiind mai mare decât 1. Cu un număr prim, acest truc nu va funcționa. Deci merge.

Descompunerea unui număr în factori primi

După cum sa menționat mai sus, orice număr compus poate fi descompus în doi factori. Luăm, de exemplu, numărul 210. Acest număr poate fi descompus în doi factori 21 și 10. Dar numerele 21 și 10 sunt de asemenea compozite și le putem descompune în doi factori. Obținem 10 \u003d 2 * 5, 21 \u003d 3 * 7. Ca urmare, numărul 210 s-a descompus deja în 4 factori: 2,3,5,7. Aceste numere sunt deja prime și nu pot fi extinse. Adică am descompus numărul 210 în factori primi.

Atunci când descompun numerele compuse în factori primi, acestea sunt de obicei scrise în ordine crescătoare.

Trebuie amintit că orice număr compus poate fi descompus în factori primi și, în plus, într-un mod unic, până la permutare.

De obicei, atunci când factorizează un număr în factori primi, ei folosesc criterii de divizibilitate.

Să împărțim numărul 378 în factori primi

Vom nota numerele, separându-le cu o bară verticală. Numărul 378 este împărțit la 2, deoarece se termină în 8. La împărțire, obținem numărul 189. Suma cifrelor numărului 189 este împărțită la 3, ceea ce înseamnă că numărul 189 însuși este divizibil cu 3. Drept urmare, obținem 63.

Numărul 63 este divizibil și cu 3, pe baza divizibilității. Obținem 21, numărul 21 poate fi din nou împărțit la 3, obținem 7. Șapte este împărțit doar de la sine, obținem unul. Aceasta completează diviziunea. În dreapta, după linie, există factori primi, în care numărul 378 este descompus.

378|2
189|3
63|3
21|3

Lecție în clasa a VI-a pe această temă

"Descompunerea în factori primi"

Obiectivele lecției:

Educational:

Pentru a vă face o idee despre descompunerea numerelor în factori primi, capacitatea de a utiliza în practică algoritmul adecvat.

Pentru a forma abilitățile și abilitățile de utilizare a semnelor de divizibilitate atunci când descompun numere în factori primi.

În curs de dezvoltare:

Pentru a dezvolta abilități de calcul, capacitatea de a generaliza, analiza, identifica tipare, compara.

Educational:

Pentru a favoriza atenția, o cultură a gândirii matematice, o atitudine serioasă față de munca educativă.

Conținutul lecției:

1. Numărarea verbală.

2. Repetarea materialului trecut.

3. Explicarea noului material.

4. Securizarea materialului.

5. Reflexie.

6. Rezumând lecția.

În timpul cursurilor

Motivație (autodeterminare) pentru activități de învățare.

Introducere:

Buna baieti. Subiectul lecției noastre este „Descompunerea numerelor în factori primi”. Îl cunoașteți deja parțial. Și pentru a stabili mai bine obiectivul lecției, vom lucra puțin cu dvs. oral.

Urmați pașii (verbal) .

Calculati:

1,15 x (325-325) + 236x1 - 30: 1 206

2.207 - (0 x4376 -0: 585) + 315: 315 208

3. (60 - 0:60) + (150: 1 -48x0) 210

4. (707: 707 + 211x1): 1 -0: 123 212

Repetarea materialului învățat

Continuați rândul rezultat pentru 3 numere

(206; 208;210; 212;214;216;218)

Alegeți dintre ele numerele divizibile

pe: 2 (206; 208; 210; 212; 214; 216; 218)

la 3: (210; 216)

la 9: (216)

pe 5: (210)

până la 4: (208; 212; 216)

Criterii de stat pentru divizibilitate

Întrebări: 1. Ce numere se numesc prime?

2. Ce numere se numesc compozite?

3. Care este numărul 1?

4. Care sunt toate numerele prime din primele două zeci.

5. Câte prime există în total?

6 este 32 prim?

7 este 73 prim?

Explicarea noului material.

Să rezolvăm o problemă foarte interesantă.

Au fost odată probleme și bunica. Au avut un pui Ryaba. Găina poartă fiecare al șaptelea ou de ou, iar fiecare al treilea este de argint. Ar putea fi asta?

(Răspuns: nu, din moment ce 21 de ouă pot fi de aur și argint) De ce?

Ce ar trebui să învățăm în clasă astăzi? (Se descompun numerele în factori primi)

Ce crezi, de ce avem nevoie? (pentru a rezolva exemple mai complexe, precum și pentru a reduce fracțiile)

Astăzi subiectul lecției noastre ne va ajuta să înțelegem și să rezolvăm mai bine astfel de probleme.

Rezolvați problema: trebuie să selectați o bucată dreptunghiulară cu o suprafață de 18 mp. m., Care pot fi dimensiunile acestui site, dacă ar trebui să fie exprimate în număr natural?

Soluție: 1,18 \u003d 1 x 18 \u003d 2 x3 x3

2,18 \u003d 2 x 9 \u003d 2x3x3

3,18 \u003d 3 x 6 \u003d 3 x2x 3

Lucrați în perechi.

Ce am făcut? (Prezentat ca produs sau factorizat). Este posibil să continuăm descompunerea? Dar ca? Ce ai primit?

Întrebarea este, ce se întâmplă cu acești multiplicatori?

Toți factorii sunt numere prime.

Deschide tutorialul Ce să faci? Cine îmi poate explica cum se face asta? (Discuție în perechi)

Folosind exemplul analizat, descompunem numărul 84 în factori primi (algoritmul de descompunere):

84 2 756 2 - profesorul arată pe tablă.

42 2 378 2

21 3 189 3 84 \u003d 2x2 ∙ 3 \u200b\u200b∙ 7 \u003d 2 2 ∙ 3 \u200b\u200b∙ 7

7 7 63 3

1 21 3 756 \u003d 2х2х3х3х3х3

Împărțiți 756 în factori primi. Comparați cu soluția mea. Ce ai observat?

La pagina 194, găsiți răspunsul la următoarea întrebare?

Orice număr poate fi extins într-un produs al factorilor primi

mod unic.

Consolidarea materialului studiat .

1. Descompune numărul în factori primi: 20; 188; 254.

sa verificam Slide 12

20 2 188 2 254 2

10 2 94 2 127 127

5 5 47 47 1 1

1 1 1

№ 1. 20 = 2 2 ∙ 5; 188 \u003d 2² ∙ 47; 254 \u003d 2 ∙ 127.

Fiecare este oferit cărți. Elevii rezolvă și verifică cu originalul de pe biroul profesorului. Dacă ați făcut corect, puneți-vă un semn în plus în tabelul pivot. (Rezolvați cu 3)

Numărul cardului 2. Numere de factor: 30; 136; 438.

Numărul cardului 3. Numărul factorului: 40; 125; 326.

Numărul cardului 4. Se descompune numărul în factori primi: 50; 78; 285.

Numărul cardului 5. Se descompune numărul în factori primi: 60; 654; 99.

Numărul cardului 6. Numere de factor: 70; 65; 136.

După finalizarea lucrării, vom face o verificare.

№ 2. 30 = 2∙3∙5; 136 = 2 3 ∙17; 438 =2∙3∙73.

№3. 40 = 2 3 ∙5; 125 = 5 3 ; 326 = 2 ∙163

№4. 50 \u003d 2 ∙ 5²; 78 \u003d 2 ∙ 3 \u200b\u200b∙ 13; 285 \u003d 3 ∙ 5 ∙ 9.

№ 5,60 \u003d 2² ∙ 3 ∙ 5; 654 \u003d 2 ∙ 3 \u200b\u200b∙ 109; 99 \u003d 3² ∙ 11

№ 6. 70 = 2∙5∙7; 65 = 5∙13; 136 = 2 3 ∙17.

Linia de jos.

Ce înseamnă să factorizezi un număr în factori primi?

(A factoriza un număr natural în factori primi înseamnă a reprezenta numărul ca produs al numerelor prime.)

2) Factorizarea primă a unui număr natural este unică?

(Orice metodă este folosită pentru a descompune un număr natural în factori primi, obținem singura sa descompunere, ordinea factorilor nu este luată în considerare.)

Teme pentru acasă.

descompun orice 4 numere în factori primi.

Factorizarea unui număr mare nu este o sarcină ușoară. Majoritatea oamenilor le este greu să se descurce cu numere de patru sau cinci cifre. Pentru a simplifica procesul, scrieți numărul de deasupra celor două coloane.

Factor 6552.

Împărțiți numărul dat la cel mai mic divizor prim (cu excepția 1) la care numărul dat este divizibil fără rest. Scrieți acest divizor în coloana din stânga, iar în coloana din dreapta scrieți rezultatul diviziunii. După cum sa menționat mai sus, numerele pot fi descompuse ușor, deoarece cel mai mic factor primar va fi întotdeauna 2 (numerele impare au diferiți factori primi mai mici).

În exemplul nostru, numărul 6552 este egal, deci 2 este cel mai mic factor prim. 6552 ÷ 2 \u003d 3276. În coloana din stânga scrieți 2, iar în dreapta - 3276.

Apoi divizați numărul din coloana din dreapta la cel mai mic divizor prim (cu excepția 1), prin care numărul dat este uniform divizibil. Notează acest divizor în coloana din stânga, iar în coloana din dreapta notează rezultatul diviziunii (continuați acest proces până când rămâne 1 în coloana din dreapta).

În exemplul nostru: 3276 ÷ 2 \u003d 1638. În coloana din stânga scrieți 2, iar în dreapta - 1638. În continuare: 1638 ÷ 2 \u003d 819. În coloana din stânga scrieți 2, iar în dreapta - 819.

Ai un număr ciudat; pentru astfel de numere, găsirea celui mai mic divizor prim este mai dificilă. Dacă obțineți un număr impar, încercați să îl împărțiți după cele mai mici numere impare: 3, 5, 7, 11.

În exemplul nostru, primiți un număr impar 819. Împărțiți-l la 3: 819 ÷ 3 \u003d 273. În coloana din stânga scrieți 3, iar în dreapta - 273.
Când căutați divizori, încercați toate primele până la rădăcina pătrată a celui mai mare divizor pe care îl puteți găsi. Dacă niciunul dintre divizori nu împarte numărul complet, atunci cel mai probabil aveți un număr prim și puteți opri calculul.

Continuați procesul de împărțire a numerelor după factori primi până când există 1 în coloana din dreapta (dacă aveți o primă în coloana din dreapta, împărțiți-o singură pentru a obține 1).

Să continuăm calculele în exemplul nostru:
- Împărțiți la 3: 273 ÷ 3 \u003d 91. Nu există rest. Scrieți 3 în coloana din stânga și 91 în coloana din dreapta.
- Împărțiți la 3. 91 este împărțit la 3 cu restul, deci împărțiți la 5. 91 este împărțit la 5 cu restul, deci împărțiți la 7: 91: 7 \u003d 13. Nu există rest. Scrieți 7 în coloana din stânga și 13 în coloana din dreapta.
- Împărțiți la 7. 13 este divizibil la 7 cu restul, deci împărțiți la 11. 13 se împarte la 11 cu restul, deci se împarte la 13: 13: 13 \u003d 1. Nu există rest. În coloana din stânga, scrieți 13, iar în dreapta - 1. Calculele dvs. sunt complete.

Coloana din stânga arată factorii primi ai numărului inițial. Cu alte cuvinte, când înmulțiți toate numerele din coloana din stânga, obțineți numărul scris deasupra coloanelor. Dacă același factor apare de mai multe ori în lista de multiplicatori, folosiți exponanți pentru a-l indica. În exemplul nostru, 2 apare de 4 ori în lista de multiplicatori; scrieți acești factori ca 2 4, nu 2 * 2 * 2 * 2.

În exemplul nostru, 6552 \u003d 2 3 × 3 2 × 7 × 13. Ați factorizat 6552 în factori primi (ordinea factorilor din această notație nu contează).

Ați întâlnit termeni precum „numere prime” sau „factori primi”, dar nu știți care sunt? De asemenea, numerele primare sunt foarte populare în industria cinematografică, astfel încât acestea pot fi deseori întâlnite în filme și emisiuni TV. Să vedem ce sunt primele în acest articol!

numere prime Este un număr întreg pozitiv (natural) care poate fi împărțit doar la unul și la el însuși. Numerele care au mai mult de doi divizori naturali sunt numere compuse.

Exemplul 1: un număr prim 7 poate fi împărțit numai la 1 și 7.
Exemplul 2: numărul compus 6 poate fi împărțit la 1, 2, 3, 6.

Numere prime până la 100: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97

Numerele prime sunt un subiect foarte popular în matematică, cu o mare varietate de probleme, teoreme etc. asociate cu aceasta.

Factorii primi - aceștia sunt factori (elemente ale produsului), care sunt numere prime. Există mai multe misiuni școlare asociate cu factori primari care pot cauza probleme chiar și pentru generația mai în vârstă.

Anulați numerele ...

O problemă populară în matematică. Cele mai comune exemple sunt:

Extindeți factorii primi ai 27, 54, 56, 65, 99, 162, 625, 1000. În primul rând, trebuie spus că cea mai frecventă greșeală la rezolvarea acestei probleme este că numărul de multiplicatori nu este indicat, nu sunt neapărat 2 dintre ei! Dacă ați făcut această greșeală, puteți încerca să rezolvați singur problema.

Răspunsuri: