Sistemul de numere octale când și unde a fost folosit. Sistem de numere binar octal hexazecimal
Sistemul numeric pozițional de bază 8, care utilizează cifrele 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 și 7 pentru a scrie numere. Vezi și: Numerele poziționale Vocabular financiar Finam ... Vocabular financiar
SISTEMUL NUMERELOR OPPT- (notație octală) Un sistem de numere care utilizează opt cifre de la 0 la 7 pentru a exprima numere. Astfel, numărul zecimal 26 în sistemul octal va fi scris ca 32. Nefiind la fel de popular ca sistemul de numere hexazecimal (hexazecimal... ... Glosar de afaceri
sistem de numere octale- - Subiecte telecomunicații, concepte de bază EN notație octală ... Ghidul tehnic al traducătorului
sistem de numere octale
sistem octal- aštuonetainė sistema statusas T sritis automatika atitikmenys: angl. notație octală; sistem de numere octale; sistem octal; notație octonară vok. Achtersystem, n; oktale Zahlsystem, n; Oktalschreibweise, f; Oktalsystem, n rus. sistem octal ... Automatikos terminų žodynas
Notaţie
Sistem de numere din 12 cifre
Sistemul numeric- Sistem numeric duozecimal Sistem numeric pozițional cu bază întreagă 12. Cifrele sunt folosite 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B. Există un alt sistem de notație, în care pentru cifrele lipsă, nu se folosește A și B și t din ... ... Wikipedia
SISTEM DE NUMERE HEX- (notație hexazecimală) Un sistem numeric care utilizează zece cifre de la 0 la 9 și litere de la A la F pentru a exprima numere. De exemplu, zecimala 26 este scrisă în acest sistem ca 1A. Numerele sistemului sexagesimal sunt utilizate pe scară largă în ...... Glosar de afaceri
Sistemul numeric pozițional- Sisteme numerice în cultură Sistem numeric indo arabă arabă indiană tamilă birmană khmer laos mongolă thailandeză sisteme numerice din Asia de Est Chineză japoneză Suzhou coreeană vietnameză Numărătoare ... ... Wikipedia
Sistem de numere octale găsește aplicație în tehnologie în principal ca mijloc de înregistrare compactă a numerelor binare. În trecut, a fost destul de popular, dar recent a fost înlocuit practic de sistemul hexazecimal, deoarece acesta din urmă se potrivește mai bine arhitecturii dispozitivelor digitale moderne.
Deci, baza sistemului este numărul opt 8 sau în sistem octal 10 8 - asta înseamnă că opt cifre sunt folosite pentru a reprezenta numere (0,1,2,3,4,5,6,7). În continuare, un număr mic în colțul din dreapta jos al înregistrării principale a numărului va indica baza sistemului numeric. Nu vom indica baza pentru sistemul zecimal.
Zero - 0
;
unu - 1
;
Două - 2
;
...
etc…
...
Şase - 6
;
Șapte - 7
;
Ce să facă în continuare? Toate numerele s-au terminat. Cum descrii numărul opt? În sistemul zecimal, într-o situație similară (când se epuizează numerele), am introdus conceptul de zece, aici introducem conceptul de „opt” și spunem că opt este unul opt și zero uni. Și acest lucru poate fi deja notat - „10 8”.
Asa de, Opt - 10
8 (unul opt, zero unul)
Nouă - 11
8 (unul opt, unul unul)
...
etc…
...
Cincisprezece - 17
8 (unul opt, șapte unii)
Şaisprezece - 20
8 (două opt, zero unu)
Şaptesprezece - 21
8 (doi opt, unul unul)
...
etc…
...
Saizeci si trei - 77
8 (șapte opt, șapte unii)
Șaizeci și patru - 100
8 (un „Șaizeci și patru”, zero opt, zero unu)
Saizeci si cinci - 101
8 (un „Șaizeci și patru”, zero opt, unul unu)
Șaizeci și șase - 102
8 (un „Șaizeci și patru”, zero opt, doi unu)
...
etc...
...
Ori de câte ori am epuizat un set de cifre pentru a afișa următorul număr, introducem unități de cont mai mari (adică numărăm ca opt, șaizeci și patru etc.) și notăm numărul cu o cifră alungită.
Luați în considerare numărul 5372 8 scris cu notație octală. Putem spune despre el că conține: cinci până la cinci sute doisprezece, trei până la șaizeci și patru, șapte opt și doi unu. Și îi puteți obține valoarea prin numerele incluse în el, după cum urmează.
5372 8 = 5 *512+3 *64+7 *8+2 * 1, în continuare semnul * (asterisc) înseamnă înmulțire.
Dar seria numerelor 512, 64, 8, 1 nu este altceva decât puteri întregi de opt (baza sistemului numeric) și, prin urmare, puteți scrie:
5372 8 = 5 *8 3 +3 *8 2 +7 *8 1 +2 *8 0
În mod similar, pentru o fracție octală (număr fracțional), de exemplu: 0.572 8 (O sută cincizeci și șapte cinci sute a douăsprezece), despre el putem spune că conține: cinci optimi, șapte șaizeci și patru și două cinci sute douăsprezece. Și valoarea sa poate fi calculată după cum urmează:
0.572 8 = 5 *(1/8) + 7 *(1/64) + 2 *(1/512)
Și iată o serie de numere 1/8; 1/64 și 1/512 nu sunt altceva decât puteri întregi ale lui opt și mai putem scrie:
0.572 8 = 5 *8 -1 + 7 *8 -2 + 2 *8 -3
Pentru numărul mixt 752.159, putem scrie în același mod:
752.364 = 7 *8 2 +5 *8 1 +2 *8 0 +1 *8 -1 +5 *8 -2 +9 *8 -3
Acum, dacă numerotăm cifrele părții întregi a oricărui număr, de la dreapta la stânga, ca 0,1,2 ... n (numerotarea începe de la zero!). Și cifrele părții fracționale, de la stânga la dreapta, cum ar fi -1, -2, -3 ... -m, atunci valoarea oricărui număr octal arbitrar poate fi calculată prin formula:
N = dn 8 n + d n-1 8 n-1 +… + d 1 8 1 + d 0 8 0 + d -1 8 -1 + d -2 8 -2 +… + d - (m-1) 8 - (m-1) + d -m 8 -m
Unde: n- numărul de cifre din partea întreagă a numărului minus unu;
m- numărul de cifre din partea fracționată a numărului
d i- numărul în i-clasa a-a
Această formulă se numește formulă de descompunere octală, adică un număr scris cu notație octală. Dar dacă în această formulă numărul opt este înlocuit cu un număr natural q, apoi obținem formula de expansiune pentru numărul exprimat în sistemul numeric cu baza q:
N = dnqn + d n-1 q n-1 +… + d 1 q 1 + d 0 q 0 + d -1 q -1 + d -2 q -2 +… + d - (m-1) q - (m-1) + d -mq -m
Folosind această formulă, putem calcula întotdeauna valoarea unui număr scris nu numai în sistemul de numere octale, ci și în orice alt sistem pozițional. Puteți citi despre alte sisteme de numere pe site-ul nostru la următoarele link-uri.
Introducere
O persoană modernă în viața de zi cu zi se confruntă în mod constant cu numere: ne amintim numerele de autobuze și telefoane, în magazin
calculăm costul achizițiilor, ne păstrăm bugetul familiei în ruble și copeici (sutimi de rublă), etc. Cifre, numere. Ei sunt cu noi peste tot.
Conceptul de număr este un concept fundamental atât în matematică, cât și în informatică. Astăzi, la sfârșitul secolului al XX-lea, omenirea folosește în principal sistemul numeric zecimal pentru a scrie numere. Ce este un sistem numeric?
Un sistem numeric este o modalitate de înregistrare (afișare) a numerelor.
Diferitele sisteme de numere care existau înainte și sunt folosite astăzi sunt împărțite în două grupe: pozițional și nepozițional. Cele mai perfecte sunt sistemele numerice poziționale, adică. sisteme de înregistrare a numerelor, în care contribuția fiecărei cifre la valoarea numărului depinde de poziția (poziția) acesteia în succesiunea cifrelor reprezentând numărul. De exemplu, sistemul nostru zecimal obișnuit este pozițional: în numărul 34, numărul 3 denotă numărul de zeci și „aduce” în valoarea numărului 30, iar în numărul 304, același număr 3 denotă numărul de sute și „aduce” în valoarea numărului 300.
Sistemele numerice în care fiecărei cifre îi corespunde o valoare care nu depinde de locul ei în înregistrarea numerelor se numesc nepoziționale.
Sistemele de numere poziționale sunt rezultatul unei lungi dezvoltări istorice a sistemelor de numere non-poziționale.
1.Istoria sistemelor numerice
- Sistem de numere de unitate
Nevoia de a scrie numere a apărut în vremuri foarte străvechi, de îndată ce oamenii au început să numere. Numărul de obiecte, de exemplu, oile, era reprezentat prin trasarea unor linii sau serif pe o suprafață tare: piatră, lut, lemn (înainte de inventarea hârtiei era încă foarte, foarte departe). Fiecare oaie dintr-o astfel de înregistrare corespunde unui rând. Arheologii au găsit astfel de „înregistrări” în timpul săpăturilor de straturi culturale datând din perioada paleolitică (10-11 mii de ani î.Hr.).
Oamenii de știință au numit acest mod de scriere a numerelor drept sistem de numere unitar („stick”). În ea, se folosea un singur tip de semne pentru a scrie numere - „băț”. Fiecare număr dintr-un astfel de sistem de numere a fost desemnat folosind un șir format din bețe, al cărui număr era egal cu numărul desemnat.
Inconvenientele unui astfel de sistem de scriere a numerelor și limitările utilizării lui sunt evidente: cu cât numărul pe care trebuie să îl scrieți este mai mare, cu atât șirul de bețe este mai lung. Și atunci când înregistrați un număr mare, este ușor să greșiți, aplicând un număr suplimentar de bețișoare sau, dimpotrivă, neadăugându-le.
Se poate sugera că, pentru a facilita numărarea, oamenii au început să grupeze obiectele în 3, 5, 10 bucăți. Iar la înregistrare au folosit semne corespunzătoare unui grup de mai multe obiecte. În mod firesc, degetele au fost folosite la numărare, astfel încât primele semne au apărut pentru a desemna un grup de obiecte de 5 și 10 bucăți (unități). Astfel, au apărut sisteme mai convenabile pentru notarea numerelor.
- Sistemul de numere nepozițional zecimal egiptean antic
În sistemul de numere egiptean antic, care a apărut în a doua jumătate a mileniului al treilea î.Hr., numerele speciale au fost folosite pentru a desemna numerele 1, 10, 10. 2 , 10 3 , 10 4 , 10 5 , 10 6 , 10 7 ... Numerele din sistemul de numere egiptean au fost scrise ca combinații ale acestor numere, în care fiecare dintre ele a fost repetat de cel mult nouă ori.
Exemplu. Vechii egipteni au notat numărul 345 după cum urmează:
Figura 1 Înregistrarea unui număr în sistemul de numere egiptean antic
Desemnarea numerelor în sistemul de numere egiptean antic non-pozițional:
Figura 2 Unitatea
Figura 3 Zeci
Figura 4 Sute
Figura 5 Mii
Figura 6 Zeci de mii
Figura 7 Sute de mii
În centrul atât a bastonului, cât și a sistemului de numere egiptean antic era principiul simplu al adunării, conform căruiavaloarea numărului este egală cu suma valorilor cifrelor implicate în înregistrarea acestuia. Oamenii de știință atribuie sistemul de numere egiptean antic unei zecimale non-poziționale.
- Sistemul numeric babilonian (sexagezimal).
Numerele din acest sistem de numere erau compuse din două tipuri de semne: o pană dreaptă (Figura 8) a servit la desemnarea unităților, o pană înclinată (Figura 9) - pentru a desemna zeci.
Figura 8 Pană dreaptă
Figura 9 Pena reclinabilă
Astfel, numărul 32 a fost scris astfel:
Figura 10 Înregistrarea numărului 32 în sistemul numeric sexagesimal babilonian
Numărul 60 a fost din nou notat cu același semn (Figura 8) ca 1. Același semn a indicat numerele 3600 = 60 2 , 216000 = 60 3 iar toate celelalte grade 60. Prin urmare, sistemul numeric babilonian a fost numit sixagesimal.
Pentru a determina valoarea numărului, a fost necesar să împărțiți imaginea numărului în cifre de la dreapta la stânga. Alternarea grupurilor de caractere identice („numerele”) corespundea alternanței cifrelor:
Figura 11 Împărțirea unui număr în cifre
Valoarea numărului a fost determinată de valorile „cifrelor” sale constitutive, dar ținând cont de faptul că „cifrele” din fiecare cifră ulterioară însemnau de 60 de ori mai mult decât aceleași „cifre” din cifra anterioară.
Babilonienii au înregistrat toate numerele de la 1 la 59 în sistemul zecimal non-pozițional, iar numărul întreg în sistemul pozițional cu baza 60.
Registrul babilonian al numărului era ambiguu, deoarece nu exista un „număr” care să desemneze zero. Înregistrarea numărului 92 ar putea însemna nu numai 92 = 60 + 32, ci și 3632 = 3600 + 32 = 602 + 32 etc. Pentru determinarevaloarea absolută a număruluiau fost necesare informații suplimentare. Ulterior, babilonienii au introdus un simbol special (Figura 12) pentru a indica locul șasegesimal lipsă, care corespunde apariției cifrei 0 în intrarea numărului în sistemul zecimal obișnuit. Dar la sfârșitul numărului, acest simbol nu era de obicei pus, adică acest simbol nu era un zero în înțelegerea noastră.
Figura 12 Simbol pentru a indica o cifră sexagesimală lipsă
Astfel, numărul 3632 trebuia acum scris astfel:
Figura 13 Înregistrarea numărului 3632
Babilonienii nu au memorat niciodată tabla înmulțirii, deoarece era aproape imposibil. În calculele lor, au folosit tabele de înmulțire gata făcute.
Sistemul sexagesimal babilonian este primul sistem numeric cunoscut nouă pe baza principiului pozițional. Sistemul babilonian a jucat un rol important în dezvoltarea matematicii și a astronomiei, urmele sale au supraviețuit până în zilele noastre. Deci, încă împărțim ora la 60 de minute, iar minutul la 60 de secunde. La fel, urmând exemplul babilonienilor, împărțim cercul în 360 de părți (grade).
- Sistemul numeric roman
Un exemplu de sistem numeric non-pozițional care a supraviețuit până în zilele noastre este sistemul numeric folosit în urmă cu mai bine de două mii și jumătate de ani în Roma Antică.
Sistemul numeric roman se bazează pe semnele I (un deget) pentru numărul 1, V (palma deschisă) pentru numărul 5, X (două palme îndoite) pentru 10, precum și semnele speciale pentru numerele 50, 100, 500 și 1000.
Notația pentru ultimele patru numere a suferit modificări semnificative de-a lungul timpului. Oamenii de știință presupun că inițial semnul pentru numărul 100 avea forma unui pachet de trei liniuțe precum litera rusă Ж, iar pentru numărul 50 arăta ca jumătatea superioară a acestei litere, care a fost transformată ulterior în semnul L:
Figura 14 Transformarea numărului 100
Pentru a desemna numerele 100, 500 și 1000, au început să fie folosite primele litere ale cuvintelor latine corespunzătoare (Centum - o sută, Demimille - jumătate de mie, Mille - o mie).
Pentru a scrie un număr, romanii foloseau nu numai adunarea, ci și scăderea numerelor cheie. În acest sens, s-a aplicat următoarea regulă.
Valoarea fiecărui semn mai mic din stânga celui mai mare este scăzută din valoarea semnului mai mare.
De exemplu, IX înseamnă 9, iar XI înseamnă 11. Decimalul 28 este reprezentat după cum urmează:
XXVIII = 10 + 10 + 5 + 1 + 1 + 1.
Numărul zecimal 99 are următoarea reprezentare:
Figura 15 Numărul 99
Faptul că atunci când se scriu numere noi, numerele cheie nu pot fi doar adăugate, ci și scazute, are un dezavantaj semnificativ, scrierea cu cifre romane privează numărul de unicitatea reprezentării. Într-adevăr, conform regulii de mai sus, numărul 1995 poate fi scris, de exemplu, în următoarele moduri:
MCMXCV = 1000 + (1000 - 100) + (100 -10) + 5,
MDCCCCLXXXXV = 1000 + 500 + 100 + 100 + 100 + 100 + 50 + 10 + 10 + 10 + 10 + 5
MVM = 1000 + (1000 - 5),
MDVD = 1000 + 500 + (500 - 5) și așa mai departe.
Încă nu există reguli uniforme pentru scrierea numerelor romane, dar există propuneri de adoptare a unui standard internațional pentru acestea.
În prezent, se propune să scrieți oricare dintre cifrele romane într-un număr de cel mult trei ori la rând. Pe baza acestui fapt, a fost construit un tabel, care este convenabil de utilizat pentru a desemna numere în cifre romane:
|
Unități |
Zeci |
sute |
Mii |
|
10 X |
100 C |
1000 M |
|
|
2 II |
20 XX |
200 CC |
2000 MM |
|
3 III |
30 XXX |
300 CCC |
3000 MMM |
|
4 IV |
40 XL |
400 CD |
|
|
50 L |
500 D |
||
|
6 VI |
60 LX |
600 DC |
|
|
7 VII |
70 LXX |
700 DCC |
|
|
8 VIII |
80 LXXX |
800 DCCC |
|
|
9 IX |
90 XC |
900 CM |
Tabelul 1 Tabelul cifrelor romane
Cifrele romane au fost folosite foarte mult timp. Chiar și acum 200 de ani, în documentele de afaceri, numerele trebuiau notate cu cifre romane (se credea că cifrele arabe obișnuite erau ușor de falsificat).
În prezent, sistemul numeric roman nu este utilizat, cu câteva excepții:
- Denumirile secolelor (secolul al XV-lea etc.), anii A.D. NS. (MCMLXXVII etc.) și luni când se specifică datele (de exemplu, 1. V.1975).
- Desemnarea numerelor ordinale.
- Notația pentru derivate de ordine mici, mai mari de trei: yIV, yV etc.
- Desemnarea valenței elementelor chimice.
- Sistem de numere slav
Această numerotare a fost creată împreună cu sistemul alfabetic slav pentru corespondența cărților sacre pentru slavi de către călugării greci frații Chiril (Constantin) și Metodie în secolul al IX-lea. Această formă de notare a numerelor a devenit larg răspândită datorită faptului că avea o asemănare completă cu notația greacă a numerelor.
|
Unități |
Zeci |
sute |
|||
Tabelul 2 Sistemul numeric slav
Dacă te uiți cu atenție, vom vedea că după „a” vine litera „c”, și nu „b” după cum urmează în alfabetul slav, adică se folosesc doar literele care sunt în alfabetul grec. Până în secolul al XVII-lea, această formă de înregistrare a numerelor a fost oficială pe teritoriul Rusiei moderne, Belarusului, Ucrainei, Bulgariei, Ungariei, Serbiei și Croației. Până acum, această numerotare este folosită în cărțile bisericești ortodoxe.
- Sistemul numeric mayaș
Acest sistem a fost folosit pentru calculele calendaristice. În viața de zi cu zi, mayașii au folosit un sistem non-pozițional similar cu vechiul egiptean. Numerele mayașe în sine dau o idee despre acest sistem, care poate fi interpretat ca înregistrarea primelor 19 numere naturale într-un sistem numeric de cinci ori non-pozițional. Un principiu similar al cifrelor compuse este folosit în sistemul numeric sexagesimal babilonian.
Numerele Maya constau din zero (semnul cochiliei) și 19 numere compuse. Aceste numere au fost construite din semnul unic (punct) și semnul cinci (bara orizontală). De exemplu, numărul 19 a fost scris ca patru puncte într-un rând orizontal deasupra a trei linii orizontale.
Figura 16 Sistemul numeric mayaș
Numerele peste 19 au fost scrise conform principiului pozițional de jos în sus în puteri de 20. De exemplu:
32 a fost scris ca (1) (12) = 1 × 20 + 12
429 ca (1) (1) (9) = 1 × 400 + 1 × 20 + 9
4805 ca (12) (0) (5) = 12 × 400 + 0 × 20 + 5
Imaginile zeităților au fost uneori folosite și pentru a scrie numerele de la 1 la 19. Astfel de figuri au fost folosite extrem de rar, supraviețuind doar pe câteva stele monumentale.
Sistemul numeric pozițional necesită utilizarea zero pentru a indica cifrele goale. Prima dată care a ajuns până la noi cu zero (pe stela 2 din Chiapa de Corso, Chiapas) este datată 36 î.Hr. NS. Primul sistem de numere poziționale din Eurasia, creat în Babilonul antic în 2000 î.Hr. e., inițial nu avea zero, iar ulterior semnul zero a fost folosit doar în cifrele intermediare ale numărului, ceea ce a dus la o notare ambiguă a numerelor. Sistemele de numerație non-poziționale ale popoarelor antice, de regulă, nu aveau zero.
În „numărătoarea lungă” a calendarului mayaș, se folosea un fel de sistem de numere de 20 de ari, în care a doua cifră putea conține doar numere de la 0 la 17, după care se adăuga un unu la a treia cifră. Astfel, unitatea din a treia categorie nu însemna 400, ci 18 × 20 = 360, ceea ce se apropie de numărul de zile dintr-un an solar.
- Istoria numerelor arabe
Aceasta este cea mai comună numerotare astăzi. Numele „Arab” nu este în întregime corect pentru ea, pentru că, deși a fost adusă în Europa din țări arabe, nici ea nu era originară de acolo. Adevărata patrie a acestei numerotări este India.
Au existat diverse sisteme de numerotare în diferite regiuni ale Indiei, dar la un moment dat unul dintre ele s-a remarcat. În ea, numerele erau sub forma literelor inițiale ale numerelor corespunzătoare în limba veche indiană - sanscrită, folosind alfabetul Devanagari.
Inițial, aceste semne reprezentau numerele 1, 2, 3, ... 9, 10, 20, 30, ..., 90, 100, 1000; cu ajutorul lor au fost înregistrate alte numere. Dar mai târziu a fost introdus un semn special - un punct aldine, sau un cerc, pentru a indica o cifră goală; iar numerotarea Devanagari a devenit sistemul zecimal local. Cum și când a avut loc o astfel de tranziție este încă necunoscut. Până la mijlocul secolului al VIII-lea, sistemul de numerotare pozițională câștigă o utilizare pe scară largă. În același timp, pătrunde în țările vecine: Indochina, China, Tibet, Asia Centrală.
Un rol decisiv în răspândirea numerotării indiene în țările arabe l-a jucat ghidul întocmit la începutul secolului al IX-lea de Muhammad Al Khorezmi. A fost tradusă în latină în Europa de Vest în secolul al XII-lea. În secolul al XIII-lea, numerotarea indiană a devenit dominantă în Italia. În alte țări, se extinde până în secolul al XVI-lea. Europenii, după ce au împrumutat numerotarea de la arabi, au numit-o „arabă”. Acest nume incorect din punct de vedere istoric este păstrat până astăzi.
Cuvântul „cifră” (în arabă „syfr”) este, de asemenea, împrumutat din limba arabă, adică literalmente „spațiu gol” (traducere a cuvântului sanscrit „sunya”, care are același sens). Acest cuvânt a fost folosit pentru a denumi semnul categoriei goale, iar acest sens s-a păstrat până în secolul al XVIII-lea, deși termenul latin „zero” (nullum – nimic) a apărut în secolul al XV-lea.
Forma numerelor indiene a suferit multe modificări. Forma pe care o folosim acum a fost stabilită în secolul al XVI-lea.
- Povestea lui zero
Zero este diferit. În primul rând, zero este o cifră care este folosită pentru a reprezenta un spațiu liber; în al doilea rând, zero este un număr neobișnuit, deoarece nu poți împărți cu zero, iar atunci când este înmulțit cu zero, orice număr devine zero; în al treilea rând, este necesar zero pentru scădere și adunare, în caz contrar, cât va fi dacă 5 se scade din 5?
Zero a apărut pentru prima dată în vechiul sistem numeric babilonian, a fost folosit pentru a desemna cifrele lipsă în numere, dar numere precum 1 și 60 au fost scrise în același mod, deoarece nu puneau zero la sfârșitul numărului. În sistemul lor, zero a acționat ca un spațiu în text.
Marele astronom grec Ptolemeu poate fi considerat inventatorul formei zero, deoarece în textele sale litera greacă omicron stă în locul semnului spațiului, amintește foarte mult de semnul zero modern. Dar Ptolemeu folosește zero în același sens ca și babilonienii.
Pe o inscripție de perete din India în secolul al IX-lea d.Hr. este prima dată când un zero apare la sfârșitul unui număr. Aceasta este prima desemnare general acceptată pentru semnul zero modern. Matematicienii indieni au inventat zero în toate cele trei sensuri. De exemplu, matematicianul indian Brahmagupta din secolul al VII-lea d.Hr. a început în mod activ să folosească numere negative și acțiuni cu zero. Dar el a susținut că numărul împărțit la zero este zero, ceea ce este cu siguranță o greșeală, dar o adevărată îndrăzneală matematică, care a dus la o altă descoperire remarcabilă a matematicienilor indieni. Și în secolul al XII-lea, un alt matematician indian Bhaskara face o altă încercare de a înțelege ce se va întâmpla atunci când împărțim la zero. El scrie: "O cantitate împărțită la zero devine o fracție, al cărei numitor este zero. Această fracție se numește infinit."
Leonardo Fibonacci, în „Liber abaci” (1202), numește semnul 0 în arabă zephirum. Cuvântul zephirum este cuvântul arab as-sifr, care provine de la cuvântul indian sunya, adică gol, care a servit drept nume pentru zero. Din cuvântul zephirum provine cuvântul francez zero (zero) și cuvântul italian zero. Pe de altă parte, cuvântul rusesc digit provine din cuvântul arab as-sifr. Până la mijlocul secolului al XVII-lea, acest cuvânt a fost folosit special pentru a desemna zero. Cuvântul latin nullus (nu) a intrat în uz pentru a desemna zero în secolul al XVI-lea.
Zero este un semn unic. Zero este un concept pur abstract, una dintre cele mai mari realizări umane. Nu este în natura din jurul nostru. Puteți face în siguranță fără zero în numărarea orală, dar este imposibil să faceți fără înregistrarea cu precizie a numerelor. În plus, zero este în opoziție cu toate celelalte numere și simbolizează lumea fără sfârșit. Și dacă „totul este număr”, atunci nimic este totul!
- Dezavantajele unui sistem numeric non-pozițional
Sistemele de numere non-poziționale au o serie de dezavantaje semnificative:
1. Există o nevoie constantă de introducere de noi caractere pentru înregistrarea numerelor mari.
2. Este imposibil de reprezentat numere fracționale și negative.
3. Este dificil să se efectueze operații aritmetice, deoarece nu există algoritmi pentru executarea lor. În special, toate popoarele, împreună cu sistemele de numere, aveau metode de numărare a degetelor, iar grecii aveau o tablă de numărare a abac - ceva ca conturile noastre.
Dar încă folosim elemente ale sistemului numeric non-pozițional în vorbirea de zi cu zi, în special, spunem o sută, nu zece zeci, mii, milioane, miliarde, trilioane.
2. Sistem de numere binar.
În acest sistem, există doar două cifre - 0 și 1. Un rol special îl joacă aici numărul 2 și puterile sale: 2, 4, 8 etc. Cifra din dreapta a unui număr arată numărul de unități, următoarea cifră este numărul de doi, următoarea este numărul de patru etc. Sistemul de numere binare vă permite să codificați orice număr natural - să-l reprezentați ca o secvență de zerouri și unu. În formă binară, puteți reprezenta nu numai numere, ci și orice alte informații: texte, imagini, filme și înregistrări audio. Inginerii sunt atrași de codarea binară, deoarece este ușor de implementat din punct de vedere tehnic. Cele mai simple din punct de vedere al implementării tehnice sunt elementele cu două poziții, de exemplu, un releu electromagnetic, un comutator cu tranzistor.
- Istoria sistemului de numere binar
Inginerii și matematicienii și-au bazat căutările pe două poziții binare - natura elementelor tehnologiei computerului.
Luați, de exemplu, un dispozitiv electronic cu doi poli - o diodă. Poate fi în doar două stări: fie conduce curentul electric - „deschis”, fie nu îl conduce - „blocat”. Dar declanșatorul? Are și două stări stabile. Elementele de memorie funcționează pe același principiu.
Atunci de ce să nu folosiți sistemul de numere binar? La urma urmei, conține doar două cifre: 0 și 1. Și acest lucru este convenabil pentru a lucra la o mașină electronică. Și noile mașini au început să numere cu 0 și 1.
Să nu credeți că sistemul binar este contemporanul mașinilor electronice. Nu, e mult mai în vârstă. Oamenii sunt interesați de binar de mult timp. Îl îndrăgeau în mod deosebit de la sfârșitul secolului al XVI-lea până la începutul secolului al XIX-lea.
Leibniz a considerat că sistemul binar este simplu, convenabil și frumos. El a spus că „calculul cu ajutorul doi... este fundamental pentru știință și generează noi descoperiri... Când numerele sunt reduse la cele mai simple principii, care sunt 0 și 1, o ordine minunată apare peste tot”.
La cererea omului de știință, a fost bătută o medalie în onoarea „sistemului diadic” - așa cum era numit atunci sistemul binar. Înfățișa un tabel cu numere și cele mai simple operații cu acestea. Pe marginea medaliei era o panglică cu inscripția: „Pentru a scoate totul din nesemnificație, este de ajuns doar una”.
Formula 1 Cantitatea de informații în biți
- Conversie binar în zecimal
Sarcina de a converti numerele dintr-un sistem de numere binar în zecimal apare cel mai adesea atunci când se convertesc valorile calculate sau procesate de computer în cifre zecimale mai ușor de înțeles pentru utilizator. Algoritmul pentru conversia numerelor binare în numere zecimale este destul de simplu (uneori este numit algoritm de înlocuire):
Pentru a converti un număr binar în zecimal, este necesar să reprezentați acest număr ca suma produselor puterilor bazei sistemului de numere binar cu cifrele corespunzătoare din cifrele numărului binar.
De exemplu, doriți să convertiți numărul binar 10110110 în zecimal. Acest număr are 8 cifre și 8 cifre (cifrele sunt numărate începând de la zero, care corespunde bitului cel mai puțin semnificativ). În conformitate cu regula deja cunoscută nouă, o reprezentăm ca o sumă de grade cu baza 2:
10110110 2 = (1 2 7) + (0 2 6) + (1 2 5) + (1 2 4) + (0 2 3) + (1 2 2) + (1 2 1 ) + (0 2 0) = 128 + 32 + 16 + 4 + 2 = 182 10
În electronică, se numește un dispozitiv care efectuează o conversie similară decodor (decodor).
Decodor - acesta este un circuit care convertește un cod binar furnizat intrărilor într-un semnal la una dintre ieșiri, adică decodorul decriptează un număr binar, reprezentându-l ca o unitate logică la ieșire, al cărui număr corespunde unui numar decimal.
- Conversie binar în hexazecimal
Fiecare cifră a unui număr hexazecimal conține 4 biți de informații.
Astfel, pentru a converti un număr binar întreg în hexazecimal, acesta trebuie împărțit în grupuri de patru cifre (tetrade), începând din dreapta, iar, dacă ultimul grup din stânga conține mai puțin de patru cifre, completați-l cu zerouri din stânga. Pentru a converti un număr binar fracționar (fracție corectă) în hexazecimal, este necesar să îl împărțiți în tetrade de la stânga la dreapta, iar dacă există mai puțin de patru cifre în ultimul grup din dreapta, atunci este necesar să îl completați cu zerouri pe dreapta.
Apoi, trebuie să convertiți fiecare grup într-o cifră hexazecimală, folosind un tabel de corespondență compilat anterior între tetradele binare și cifrele hexazecimale.
|
Shestnad- teric număr |
||||||||||||||||
|
Binar tetradă |
Tabelul 3 Tabelul cifrelor hexazecimale și al tetradelor binare
- Sistem de numere binar până la octal
Convertirea unui număr binar în sistemul octal este destul de simplă, pentru aceasta aveți nevoie de:
- Împărțiți un număr binar în triade (grupuri de 3 cifre binare), începând cu cifrele cele mai puțin semnificative. Dacă ultima triada (cele mai semnificative cifre) conține mai puțin de trei cifre, atunci o completăm cu trei zerouri în stânga.
- Sub fiecare triadă a unui număr binar, scrieți cifra corespunzătoare a numărului octal din următorul tabel.
|
Octal număr |
||||||||
|
Triada binară |
Tabelul 4 Tabelul numerelor octale și triadelor binare
3. Sistem de numere octale
Sistemul numeric octal este un sistem numeric pozițional cu baza 8. Pentru a scrie numere în sistem octal, sunt folosite 8 cifre de la zero la șapte (0,1,2,3,4,5,6,7).
Aplicație: sistemul octal, împreună cu sistemul binar și hexazecimal, este folosit în electronica digitală și tehnologia computerelor, dar acum este rar folosit (anterior era folosit în programarea de nivel scăzut, înlocuit cu hexazecimal).
Utilizarea pe scară largă a sistemului octal în calculul electronic se datorează faptului că acesta se caracterizează printr-o traducere ușoară în binar și invers folosind un tabel simplu în care toate cifrele octale de la 0 la 7 sunt reprezentate ca triplete binare (Tabelul 4) .
- Istoria sistemului de numere octale
Istorie: apariția sistemului octal este asociată cu o astfel de tehnică de numărare pe degete, când nu au fost numărate degetele, ci intervalele dintre ele (sunt doar opt).
În 1716, regele Carol al XII-lea al Suediei i-a propus celebrului filozof suedez Emanuel Swedenborg să dezvolte un sistem de numere bazat pe 64 în loc de 10. Totuși, Swedenborg credea că pentru oamenii cu mai puțină inteligență decât regele, ar fi prea dificil să opereze cu un astfel de sistem de numere și a sugerat numărul ca bază 8. Sistemul a fost dezvoltat, dar moartea lui Carol al XII-lea în 1718 a împiedicat introducerea lui, așa cum este general acceptat, această lucrare a lui Swedenborg nu a fost publicată.
- Conversia de la octal la zecimal
Pentru a converti un număr octal în zecimal, este necesar să se reprezinte acest număr ca suma produselor puterilor bazei sistemului de numere octale cu cifrele corespunzătoare din cifrele numărului octal. [ 24]
De exemplu, doriți să convertiți numărul octal 2357 în zecimal. Acest număr are 4 cifre și 4 cifre (cifrele sunt numărate începând de la zero, care corespunde bitului cel mai puțin semnificativ). În conformitate cu regula deja cunoscută nouă, o reprezentăm ca o sumă de grade cu baza 8:
23578 = (2 83) + (3 82) + (5 81) + (7 80) = 2 512 + 3 64 + 5 8 + 7 1 = 126310
- Conversia de la octal la binar
Pentru a converti de la octal la binar, fiecare cifră a numărului trebuie convertită într-un grup de trei cifre binare, o triadă (Tabelul 4).
- Conversia din sistemul de numere octal în hexazecimal
Pentru a converti de la hexazecimal la binar, fiecare cifră a numărului trebuie convertită într-un grup de trei cifre binare într-o tetradă (Tabelul 3).
3 sistem de numere hexazecimale
Notație pozițională în bază 16 întreagă.
De obicei, cifrele zecimale de la 0 la 9 și literele latine de la A la F sunt folosite ca cifre hexazecimale pentru a desemna cifre de la 1010 la 1510, adică (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F).
Este utilizat pe scară largă în programarea de nivel scăzut și documentarea computerului, deoarece în computerele moderne unitatea minimă de memorie este un octet de 8 biți, ale cărui valori sunt scrise convenabil în două cifre hexazecimale.
În standardul Unicode, se obișnuiește să scrieți numărul caracterului în formă hexazecimală, folosind cel puțin 4 cifre (dacă este necesar, cu zerouri înainte).
Culoare hexazecimală - scrierea celor trei componente de culoare (R, G și B) în notație hexazecimală.
- Istoricul sistemului numeric hexazecimal
Sistemul de numere hexazecimale a fost introdus de corporația americană IBM. Este utilizat pe scară largă în programarea computerelor compatibile IBM. Unitatea minimă de informație adresabilă (trimisă între componentele computerului) este un octet, de obicei format din 8 biți (bit englezesc - cifră binară - o cifră binară, o cifră binară) și doi octeți, adică 16 biți, alcătuiesc un cuvânt mașină (comandă). Astfel, este convenabil să folosiți un sistem radix 16 pentru a scrie comenzi.
- Conversia din hexazecimal în binar
Algoritmul de conversie a numerelor din sistemul numeric hexazecimal în binar este extrem de simplu. Este necesar doar să înlocuiți fiecare cifră a unui număr hexazecimal cu echivalentul său binar (în cazul numerelor pozitive). Menționăm doar că fiecare număr hexazecimal ar trebui înlocuit cu unul binar, completându-l cu 4 cifre (spre cei mai semnificativi biți).
- Conversie hexazecimală în zecimală
Pentru a converti un număr hexazecimal în zecimal, acest număr trebuie reprezentat ca suma produselor puterilor bazei sistemului numeric hexazecimal cu cifrele corespunzătoare din cifrele numărului hexazecimal.
De exemplu, doriți să convertiți numărul hexazecimal F45ED23C în zecimal. Acest număr are 8 cifre și 8 cifre (rețineți că cifrele sunt numărate începând de la zero, ceea ce corespunde bitului cel mai puțin semnificativ). În conformitate cu regula de mai sus, o reprezentăm ca o sumă de grade cu o bază 16:
F45ED23C 16 = (15 16 7) + (4 16 6) + (5 16 5) + (14 16 4) + (13 16 3) + (2 16 2) + (3 16 1 ) + (12 16 0) = 4099854908 10
- Conversie hexazecimală în octală
De obicei, la conversia numerelor din hexazecimal în octal, numărul hexazecimal este mai întâi convertit în binar, apoi împărțit în triade, începând cu bitul cel mai puțin semnificativ, iar apoi triadele sunt înlocuite cu echivalentele octale corespunzătoare (Tabelul 4).
Concluzie
Acum, în majoritatea țărilor lumii, în ciuda faptului că vorbesc limbi diferite, ei consideră la fel, „în arabă”.
Dar nu a fost întotdeauna așa. Cu vreo cinci sute de ani în urmă, nu exista nimic de acest fel chiar și în Europa iluminată, ca să nu mai vorbim de Africa sau America.
Dar, cu toate acestea, oamenii au notat cumva numerele. Fiecare națiune avea propriul său sistem de notare a numerelor sau împrumutat de la un vecin. Unii au folosit litere, alții au folosit insigne, iar alții au folosit squiggles. Cineva sa dovedit mai convenabil, cineva nu foarte bine.
În momentul de față folosim sisteme de numere diferite ale diferitelor națiuni, în ciuda faptului că sistemul numeric zecimal are o serie de avantaje față de celelalte.
Sistemul numeric sexagesimal babilonian este folosit și astăzi în astronomie. Urma ei a supraviețuit până în zilele noastre. Încă măsuram timpul în șaizeci de secunde, șaizeci de minute în ore și este, de asemenea, folosit în geometrie pentru a măsura unghiurile.
Sistemul numeric nepozițional roman este folosit de noi pentru a desemna paragrafe, secțiuni și, bineînțeles, în chimie.
Tehnologia informatică folosește un sistem binar. Tocmai din cauza utilizării a doar două numere 0 și 1 stă la baza funcționării unui computer, deoarece are două stări stabile: tensiune joasă sau înaltă, există curent sau nu există curent, magnetizat sau nemagnetizat.Pentru oameni, sistemul de numere binare nu este convenabil de la - pentru greoaie de scriere a codului, dar nu este atât de convenabil să convertești numerele din binar în zecimal și invers, așa că au început să folosească sisteme de numere octale și hexazecimale.
lista figurilor
Lista de mese
Formule
Referințe și surse
- Berman N.G. „Număr și număr”. OGIZ Gostekhizdat Moscova 1947.
- Brugsch G. Totul despre Egipt - M :. Asociația Unității Spirituale „Epoca de Aur”, 2000. - 627 p.
- Vygodsky M. Ya.Aritmetică și algebră în lumea antică - Moscova: Nauka, 1967.
- Știința Van der Waerden se trezește. Matematica Egiptului Antic, Babilonului și Greciei / Per. cu goll. I. N. Veselovsky. - M., 1959 .-- 456 p.
- G.I. Glazer. Istoria matematicii la scoala. M .: Educaţie, 1964, 376 p.
- Bosova L. L. Informatica: Manual pentru clasa a VI-a
- Fomin S.V. Sisteme numerice, Moscova: Nauka, 2010
- Toate tipurile de sisteme de numerotare și numere (http://www.megalink.ru/~agb/n/numerat.htm)
- Dicționar enciclopedic matematic. - M .: „Sov. enciclopedie”, 1988. - P. 847
- Talakh V.N., Kuprienko S.A. America este originală. Surse despre istoria mayașă, știință (astec) și incași
- Talakh V.M. O introducere în scrisul hieroglific mayaș
- A.P. Yushkevich, Istoria matematicii, volumul 1, 1970
- I. Ya.Depman, Istoria aritmeticii, 1965
- L.Z.Shautsukova, „Fundamentals of Informatics in Questions and Answers”, Centrul de editură „El-Fa”, Nalchik, 1994
- A. Kostinsky, V. Gubailovsky, Triune zero(http://www.svoboda.org/programs/sc/2004/sc.011304.asp)
- 2007-2014 „Istoria computerului” (http://chernykh.net/content/view/50/105/)
- Informatică. Curs de bază. / Ed. S.V. Simonovici. - SPb., 2000
- Zaretskaya I.T., Kolodyazhny B.G., Gurzhiy A.N., Sokolov A.Yu. Informatica: Manual pentru clasele 10 - 11. scoala secundara. - K .: Forum, 2001 .-- 496 p.
- GlavStrav 2009–2014 ( http://edu.glavsprav.ru/info/nepozicionnyje-sistemy-schisleniya/)
- Informatică. Tehnologia calculatoarelor. Tehnologii computerizate. / Un ghid, ed. O. I. Pushkarya. - Centrul de editare „Academia”, Kiev, - 2001
- Manual „Basele aritmetice ale calculatoarelor și sistemelor”. Partea 1. Sisteme numerice
- O. Efimova, V. Morozova, N. Ugrinovich Manual „Curs de tehnologie computerizată” pentru clasele superioare
- Kagan B.M. Calculatoare și sisteme electronice - M.: Energoatomizdat, 1985
- Mayorov S.A., Kirillov V.V., Pribluda A.A., Introduction to microcomputer, L.: Mashinostroenie, 1988.
- Fomin S.V. Sisteme numerice, Moscova: Nauka, 1987
- Vygodsky M. Ya. Manual de matematică elementară, Moscova: Editura de stat de literatură tehnică și teoretică, 1956.
- Enciclopedia de matematică. M: „Enciclopedia Sovietică” 1985.
- Shauman A.M. Fundamentele aritmeticii mașinilor. Leningrad, Editura Universității din Leningrad. 1979
- Voroshchuk A.N. Fundamentele calculatoarelor digitale și programării. M: „Știință” 1978
- Rolich Ch. N. - De la 2 la 16, Minsk, „Liceu”, 1981.
Studiind codificările, mi-am dat seama că nu înțelegeam suficient de bine sistemele de numere. Cu toate acestea, a folosit adesea sistemele 2, 8, 10, 16, traduse unul în altul, dar totul a fost făcut „automat”. După ce am citit multe publicații, am rămas surprins de lipsa unui singur articol, scris într-un limbaj simplu, despre un astfel de material de bază. De aceea m-am hotărât să-l scriu pe al meu, în care am încercat să explic elementele de bază ale sistemelor de numere într-o manieră accesibilă și ordonată.
Introducere
Notaţie este un mod de a scrie (reprezenta) numere.Ce inseamna asta? De exemplu, vezi mai mulți copaci în fața ta. Sarcina ta este să le numeri. Pentru a face acest lucru, puteți - îndoiți degetele, faceți crestături pe piatră (un copac - un deget / crestătură) sau potriviți 10 copaci cu un obiect, de exemplu, o piatră, iar pentru o singură copie - un băț și așezați-i. pe pământ pe măsură ce numărați. În primul caz, numărul este reprezentat ca o linie de degete îndoite sau crestături, în al doilea - o compoziție de pietre și bastoane, unde pietrele sunt în stânga și bastoane în dreapta.
Sistemele numerice sunt împărțite în poziționale și nepoziționale, iar poziționale, la rândul lor, în omogene și mixte.
Nonpozițional- cea mai veche, în ea fiecare cifră a unui număr are o valoare care nu depinde de poziția (rangul) acestuia. Adică, dacă aveți 5 liniuțe, atunci și numărul este 5, deoarece fiecare liniuță, indiferent de locul ei în linie, corespunde doar unui singur obiect.
Sistem pozițional- semnificația fiecărei cifre depinde de poziția (cifra) acesteia în număr. De exemplu, al 10-lea sistem de numere cunoscut nouă este pozițional. Luați în considerare numărul 453. Numărul 4 denotă numărul de sute și corespunde numărului 400, 5 - numărul de zece și este similar cu valoarea 50, iar 3 - unități și valoarea 3. După cum puteți vedea, cu cât este mai mare cifra, cu atât valoarea este mai mare. Numărul final poate fi reprezentat ca suma 400 + 50 + 3 = 453.
Sistem omogen- pentru toate cifrele (pozițiile) numărului, setul de simboluri (numerele) permise este același. Să luăm ca exemplu sistemul menționat anterior 10. Când scrieți un număr într-un al 10-lea sistem omogen, puteți utiliza o singură cifră de la 0 la 9 în fiecare cifră, astfel încât numărul 450 este permis (prima cifră - 0, a 2-a - 5, a 3-a - 4), iar 4F5 nu este, deoarece caracterul F nu face parte din setul de cifre de la 0 la 9.
Sistem mixt- în fiecare cifră (poziție) a numărului, setul de caractere (cifre) valide poate diferi de seturile de alte cifre. Un exemplu izbitor este sistemul de măsurare a timpului. În categoria secunde și minute sunt posibile 60 de caractere diferite (de la „00” la „59”), în categoria ore - 24 de caractere diferite (de la „00” la „23”), în categoria zile - 365 etc.
Sisteme non-poziționale
De îndată ce oamenii au învățat să numere, a apărut nevoia de a scrie numere. La început, totul era simplu - o crestătură sau liniuță pe o suprafață corespundea unui obiect, de exemplu, un fruct. Așa a apărut primul sistem numeric - cel unitar.Sistem de numere de unitate
Un număr din acest sistem numeric este un șir de liniuțe (beți), al căror număr este egal cu valoarea numărului dat. Astfel, o recoltă de 100 de curmale va fi egală cu un număr format din 100 de liniuțe.Dar acest sistem are dezavantaje evidente - cu cât numărul este mai mare, cu atât șirul de bețe este mai lung. În plus, puteți greși cu ușurință când scrieți un număr adăugând accidental un stick suplimentar sau, dimpotrivă, neadăugând-o.
Pentru comoditate, oamenii au început să grupeze bețe în 3, 5, 10 bucăți. În același timp, fiecărui grup îi corespundea un anumit semn sau obiect. Inițial, degetele erau folosite pentru numărare, astfel că primele semne au apărut pentru grupuri de 5 și 10 bucăți (unități). Toate acestea au făcut posibilă crearea unor sisteme mai convenabile pentru înregistrarea numerelor.
Sistemul zecimal egiptean antic
În Egiptul Antic, simbolurile speciale (numerele) erau folosite pentru a desemna numerele 1, 10, 10 2, 10 3, 10 4, 10 5, 10 6, 10 7. Iată câteva dintre ele:De ce se numește zecimală? După cum sa menționat mai sus, oamenii au început să grupeze personaje. În Egipt, au ales gruparea celor 10, lăsând numărul „1” neschimbat. În acest caz, numărul 10 se numește baza sistemului numeric zecimal și fiecare caracter este o reprezentare a numărului 10 într-o oarecare măsură.
Numerele din sistemul de numere egiptean antic au fost scrise ca o combinație a acestora
personaje, fiecare dintre acestea fiind repetat de cel mult nouă ori. Valoarea totală a fost egală cu suma elementelor numărului. Este demn de remarcat faptul că această metodă de obținere a unei valori este inerentă oricărui sistem numeric nepozițional. Un exemplu este numărul 345:
Sistemul sexagesimal babilonian
Spre deosebire de egiptean, în sistemul babilonian au fost folosite doar 2 simboluri: pană „dreaptă” - pentru a desemna unități și „înclinată” - pentru zeci. Pentru a determina valoarea unui număr, este necesar să împărțiți imaginea numărului în cifre de la dreapta la stânga. O nouă descărcare începe cu apariția unei pane drepte după una înclinată. Să luăm ca exemplu numărul 32:
Numărul 60 și toate gradele sale sunt, de asemenea, notate printr-o pană dreaptă drept „1”. Prin urmare, sistemul numeric babilonian a fost numit sixagesimal.
Toate numerele de la 1 la 59 au fost înregistrate de babilonieni în sistemul zecimal non-pozițional, iar valorile mari - în sistemul pozițional cu baza 60. Numărul 92:
Înregistrarea numărului a fost ambiguă, deoarece nu exista nicio cifră care să desemneze zero. Reprezentarea numărului 92 ar putea însemna nu numai 92 = 60 + 32, ci și, de exemplu, 3632 = 3600 + 32. Pentru a determina valoarea absolută a numărului, a fost introdus un caracter special pentru a desemna cifra șasegezimală lipsă, care corespunde apariției cifrei 0 în notația zecimală:
Acum, numărul 3632 ar trebui să fie scris ca:
Sistemul sexagesimal babilonian a fost primul sistem numeric bazat parțial pe principiul pozițional. Acest sistem de numerotare este folosit astăzi, de exemplu, la determinarea timpului - o oră este formată din 60 de minute, iar un minut este format din 60 de secunde.
sistemul roman
Sistemul roman nu este foarte diferit de cel egiptean. Folosește literele mari I, V, X, L, C, D și M pentru a reprezenta numerele 1, 5, 10, 50, 100, 500 și, respectiv, 1000. Un număr din sistemul numeric roman este un set de numere consecutive.Metode pentru determinarea valorii unui număr:
- Valoarea unui număr este egală cu suma valorilor cifrelor sale. De exemplu, numărul 32 din sistemul numeric roman este XXXII = (X + X + X) + (I + I) = 30 + 2 = 32
- Dacă în stânga cifrei mai mari se află cea mai mică, atunci valoarea este egală cu diferența dintre cifrele mai mari și cele mai mici. În acest caz, cifra din stânga poate fi mai mică decât cea dreaptă cu cel mult un ordin de mărime: deci, înainte de L (50) și C (100) ale celor „inferioare”, doar X (10) poate sta, înainte de D (500) și M (1000) - numai C (100), înainte de V (5) - numai I (1); numărul 444 din sistemul numeric considerat se va scrie CDXLIV = (D-C) + (L-X) + (V-I) = 400 + 40 + 4 = 444.
- Valoarea este egală cu suma valorilor grupelor și numerelor care nu se încadrează sub 1 și 2 puncte.
1) Slavă
2) greacă (ionică)
Sisteme numerice poziționale
După cum am menționat mai sus, primele condiții prealabile pentru apariția unui sistem pozițional au apărut în Babilonul antic. În India, sistemul a luat forma unei numerotări zecimale poziționale folosind zero, iar de la indieni acest sistem de numere a fost împrumutat de arabi, de la care a fost adoptat de europeni. Din anumite motive, în Europa denumirea „arabă” s-a lipit de acest sistem.Sistem de numere zecimale
Acesta este unul dintre cele mai comune sisteme numerice. Acesta este ceea ce folosim atunci când numim prețul unui produs și pronunțăm numărul autobuzului. În fiecare cifră (poziție) poate fi utilizată o singură cifră din intervalul de la 0 la 9. Baza sistemului este numărul 10.De exemplu, să luăm numărul 503. Dacă acest număr ar fi scris într-un sistem nepozițional, atunci valoarea lui ar fi 5 + 0 + 3 = 8. Dar avem un sistem pozițional și, prin urmare, fiecare cifră a numărului trebuie înmulțită. de baza sistemului, în acest caz numărul „10” ridicat la puterea egală cu numărul de biți. Se pare că valoarea este 5 * 10 2 + 0 * 10 1 + 3 * 10 0 = 500 + 0 + 3 = 503. Pentru a evita confuzia atunci când lucrați cu mai multe sisteme numerice în același timp, baza este specificată ca indicele. Deci 503 = 503 10.
Pe lângă sistemul zecimal, sistemele 2, 8, 16 merită o atenție deosebită.
Sistem de numere binar
Acest sistem este utilizat în principal în calcul. De ce nu au folosit al 10-lea cu care suntem obișnuiți? Prima mașină de calcul a fost creată de Blaise Pascal, care a folosit sistemul zecimal în ea, ceea ce s-a dovedit a fi incomod în mașinile electronice moderne, deoarece trebuia să producă dispozitive capabile să funcționeze în 10 state, ceea ce le-a crescut prețul și finalul. dimensiunea mașinii. Elementele care funcționează în al 2-lea sistem sunt lipsite de aceste neajunsuri. Cu toate acestea, sistemul în cauză a fost creat cu mult înainte de inventarea computerelor și este „înrădăcinat” în civilizația incasă, unde au folosit kipu - țesături și noduri complexe de frânghie.Sistemul de numere binare poziționale are o bază 2 și folosește 2 caractere (cifre) pentru a scrie numărul: 0 și 1. Este permisă doar o cifră în fiecare cifră - fie 0, fie 1.
Un exemplu este numărul 101. Este analog cu numărul 5 în notație zecimală. Pentru a converti de la a 2-a la a 10-a, este necesar să înmulțiți fiecare cifră a numărului binar cu baza „2” ridicată la puterea egală cu cifra. Astfel, numărul 101 2 = 1 * 2 2 + 0 * 2 1 + 1 * 2 0 = 4 + 0 + 1 = 5 10.
Ei bine, pentru mașini sistemul de al 2-lea număr este mai convenabil, dar vedem adesea, folosiți numerele de computer în al 10-lea sistem. Cum, atunci, determină aparatul ce număr introduce utilizatorul? Cum traduce un număr dintr-un sistem în altul, deoarece are doar 2 caractere la dispoziție - 0 și 1?
Pentru ca un computer să funcționeze cu numere binare (coduri), acestea trebuie să fie stocate undeva. Pentru a stoca fiecare cifră individuală, se folosește un declanșator, care este un circuit electronic. Poate fi în 2 stări, dintre care una corespunde cu zero, cealaltă cu una. Pentru a memora un număr separat, se utilizează un registru - un grup de declanșatoare, al căror număr corespunde numărului de cifre dintr-un număr binar. Iar setul de registre este memoria cu acces aleatoriu. Numărul conținut în registru este un cuvânt de mașină. Operațiile aritmetice și logice cu cuvinte sunt efectuate de o unitate logică aritmetică (ALU). Pentru a simplifica accesul la registre, acestea sunt numerotate. Numărul se numește adresa de înregistrare. De exemplu, dacă trebuie să adăugați 2 numere, este suficient să indicați numerele celulelor (registrelor) în care sunt situate, și nu numerele în sine. Adresele sunt scrise în sisteme octal și hexazecimal (vor fi discutate mai jos), deoarece trecerea de la ele la sistemul binar și invers este destul de simplă. Pentru a transfera de la al 2-lea la al 8-lea număr, este necesar să-l împărțiți în grupuri de 3 cifre de la dreapta la stânga și să mergeți la al 16-lea - la 4. Dacă nu există suficiente cifre în grupul de cifre din stânga, atunci sunt umplute cu zerouri în stânga, care se numesc conducător. Să luăm ca exemplu numărul 101100 2. În octal este 101 100 = 54 8, iar în hexazecimal este 0010 1100 = 2C 16. Grozav, dar de ce vedem numere și litere zecimale pe ecran? Când apăsați o tastă, o anumită secvență de impulsuri electrice este transmisă computerului, fiecare simbol corespunzător secvenței sale de impulsuri electrice (zero și unu). Programul driver pentru tastatură și ecran analizează tabelul de coduri de caractere (de exemplu, Unicode, care poate codifica 65536 de caractere), determină cărui caracter îi corespunde codul rezultat și îl afișează pe ecran. Astfel, textele și numerele sunt stocate în memoria computerului în cod binar și sunt convertite programatic în imagini pe ecran.
Sistem de numere octale
Al 8-lea sistem numeric, ca și cel binar, este adesea folosit în tehnologia digitală. Este baza 8 și folosește cifrele de la 0 la 7 pentru a reprezenta numărul.Un exemplu de număr octal: 254. Pentru a converti în al 10-lea sistem, fiecare cifră a numărului inițial trebuie înmulțită cu 8 n, unde n este numărul cifrei. Se pare că 254 8 = 2 * 8 2 + 5 * 8 1 + 4 * 8 0 = 128 + 40 + 4 = 172 10.
Sistem de numere hexazecimale
Sistemul hexazecimal este utilizat pe scară largă în computerele moderne, de exemplu, indică culoarea: #FFFFFF - alb. Sistemul luat în considerare are baza 16 și folosește numere pentru a scrie: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B. C, D, E, F, unde literele sunt 10, 11, 12, 13, 14, respectiv 15.Să luăm ca exemplu numărul 4F5 16. Pentru a converti la sistemul octal - mai întâi convertim numărul hexazecimal în binar, apoi, împărțindu-l în grupuri de 3 cifre, în octal. Pentru a converti un număr în 2, fiecare cifră trebuie reprezentată ca un număr binar de 4 biți. 4F5 16 = (100 1111 101) 2. Dar în grupurile 1 și 3 nu există loc, așa că umplem fiecare cu zerouri de început: 0100 1111 0101. Acum trebuie să împărțiți numărul rezultat în grupuri de 3 cifre de la dreapta la stânga: 0100 1111 0101 = 010 011 110 101. Să traducem fiecare grup binar în sistemul octal, înmulțind fiecare bit cu 2 n, unde n este numărul de biți: (0 * 2 2 + 1 * 2 1 + 0 * 2 0) (0 * 2 2 + 1 * 2 1) + 1 * 2 0) (1 * 2 2 + 1 * 2 1 + 0 * 2 0) (1 * 2 2 + 0 * 2 1 + 1 * 2 0) = 2365 8.
Pe lângă sistemele de numere poziționale considerate, există și altele, de exemplu:
1) Treime
2) Cuaternar
3) Duozecimal
Sistemele poziționale sunt împărțite în omogene și mixte.
Sisteme de numere poziționale omogene
Definiția dată la începutul articolului descrie sisteme omogene destul de complet, deci nu este necesară clarificarea.Sisteme de numere mixte
La definiția deja dată, putem adăuga următoarea teoremă: „dacă P = Q n (P, Q, n sunt numere întregi pozitive, în timp ce P și Q sunt baze), atunci reprezentarea oricărui număr în mixt (PQ) - al-lea sistem de numere coincide în mod identic cu scrierea aceluiași număr în baza Q."Pe baza teoremei, putem formula regulile de transfer de la sistemele P-th la Q-th și invers:
- Pentru a transfera de la Q-th la P-th, este necesar să împărțiți numărul din sistemul Q-th în grupuri de n cifre, începând cu cifra din dreapta și înlocuiți fiecare grup cu o cifră în sistemul P-th.
- Pentru a transfera de la P-th la Q-th, este necesar să traduceți fiecare cifră a unui număr din sistemul P-th în Q-th și să completați cifrele lipsă cu zerouri de început, cu excepția celui din stânga, astfel încât fiecare numărul din sistemul cu baza Q este format din n cifre...
Sistemele de numere mixte sunt, de asemenea, de exemplu:
1) Factorial
2) lui Fibonacci
Traducerea de la un sistem numeric la altul
Uneori este necesară convertirea unui număr dintr-un sistem numeric în altul, așa că vom lua în considerare modalități de traducere între diferite sisteme.Convertirea în zecimală
Există un număr a 1 a 2 a 3 în baza b. Pentru a trece la al 10-lea sistem, este necesar să înmulțiți fiecare cifră a numărului cu b n, unde n este numărul cifrei. Deci (a 1 a 2 a 3) b = (a 1 * b 2 + a 2 * b 1 + a 3 * b 0) 10.Exemplu: 101 2 = 1 * 2 2 + 0 * 2 1 + 1 * 2 0 = 4 + 0 + 1 = 5 10
Conversia de la zecimal la altele
Toata parte:- Împărțim succesiv întreaga parte a numărului zecimal la baza sistemului în care traducem până când numărul zecimal devine zero.
- Resturile obtinute prin impartire sunt cifrele numarului dorit. Numărul din noul sistem este înregistrat începând cu ultimul rest.
- Partea fracțională a numărului zecimal este înmulțită cu baza sistemului în care doriți să traduceți. Separăm toată partea. Continuăm să înmulțim partea fracțională cu baza noului sistem până când este egală cu 0.
- Numerele din noul sistem alcătuiesc părți întregi ale rezultatelor înmulțirii în ordinea corespunzătoare primirii lor.
15 \ 8 = 1, restul 7
1 \ 8 = 0, restul 1
Scriind toate resturile de jos în sus, obținem numărul final 17. Prin urmare, 15 10 = 17 8.
Conversia din binar în octal și hexazecimal
Pentru a converti în octal, împărțim numărul binar în grupuri de 3 cifre de la dreapta la stânga și completăm cifrele extreme lipsă cu zerouri de început. În continuare, transformăm fiecare grup înmulțind secvențial cifrele cu 2 n, unde n este numărul de biți.Ca exemplu, luați numărul 1001 2: 1001 2 = 001 001 = (0 * 2 2 + 0 * 2 1 + 1 * 2 0) (0 * 2 2 + 0 * 2 1 + 1 * 2 0) = ( 0+ 0 + 1) (0 + 0 + 1) = 11 8
Pentru a converti în hexazecimal, împărțim numărul binar în grupuri de 4 cifre de la dreapta la stânga, apoi - similar conversiei de la a 2-a la a 8-a.
Convertiți din sisteme octale și hexazecimale în binar
Conversie de la octal la binar - convertiți fiecare cifră a unui număr octal într-un număr binar de 3 biți prin împărțirea la 2 (pentru mai multe detalii despre împărțire, consultați paragraful „Conversia de la zecimal la altele” de mai sus), completați cifrele extreme lipsă cu zerouri de început.De exemplu, luați în considerare numărul 45 8: 45 = (100) (101) = 100101 2
Conversie de la al 16-lea la al 2-lea - convertim fiecare bit al unui număr hexazecimal într-un număr binar de 4 biți prin împărțirea la 2, completând cifrele extreme lipsă cu zerouri de început.
Convertiți partea fracțională a oricărui sistem numeric în zecimală
Conversia se realizează în același mod ca și pentru părți întregi, cu excepția faptului că cifrele numărului sunt înmulțite cu baza la puterea „-n”, unde n începe de la 1.
Exemplu: 101.011 2 = (1 * 2 2 + 0 * 2 1 + 1 * 2 0), (0 * 2 -1 + 1 * 2 -2 + 1 * 2 -3) = (5), (0 + 0) , 25 + 0,125) = 5,375 10
Convertiți partea fracționară a unui sistem binar în a 8-a și a 16-a
Translația părții fracționale se efectuează în același mod ca și pentru părțile întregi ale unui număr, cu singura excepție că împărțirea în grupuri de 3 și 4 cifre se duce la dreapta punctului zecimal, cifrele lipsă sunt completate. cu zerouri în dreapta.Exemplu: 1001,01 2 = 001 001, 010 = (0 * 2 2 + 0 * 2 1 + 1 * 2 0) (0 * 2 2 + 0 * 2 1 + 1 * 2 0), (0 * 2 2 + 1) * 2 1 + 0 * 2 0) = (0 + 0 + 1) (0 + 0 + 1), (0 + 2 + 0) = 11,2 8
Convertiți partea fracționară a sistemului zecimal în oricare alta
Pentru a traduce partea fracționară a unui număr în alte sisteme numerice, trebuie să transformați partea întreagă la zero și să începeți să înmulțiți numărul rezultat cu baza sistemului în care doriți să îl traduceți. Dacă, ca urmare a înmulțirii, apar din nou părți întregi, acestea trebuie inversate la zero, având în prealabil memorată (scrisă) valoarea părții întregi rezultate. Operația se termină când partea fracțională dispare complet.De exemplu, să convertim 10,625 10 în binar:
0,625*2 = 1,25
0,250*2 = 0,5
0,5*2 = 1,0
Scriind toate resturile de sus în jos, obținem 10,625 10 = (1010), (101) = 1010,101 2
Inapoi inainte
Atenţie! Previzualizările diapozitivelor au doar scop informativ și este posibil să nu reprezinte toate opțiunile de prezentare. Dacă sunteți interesat de această lucrare, vă rugăm să descărcați versiunea completă.
Tip de lecție: o lecție de introducere a materialelor noi în clasa a VIII-a.
Scopul didactic al lecției: familiarizarea elevilor cu sistemul numeric octal, cu translația numerelor din sistemul numeric octal în sistemul numeric zecimal și invers, precum și cu trecerea din sistemul numeric octal în sistemul numeric binar și invers. Exersarea abilităților de traducere de la un sistem numeric la altul.
Dezvoltarea scopului lecției: dezvoltarea capacităţii de a raţiona, compara, trage concluzii. Dezvoltarea memoriei, a atenției, a interesului cognitiv pentru subiect cu utilizarea sarcinilor adecvate.
Educational: formarea autocontrolului la şcolari.
Pașii lecției:
- Organizarea începutului lecției - 2 min.
- Verificarea temelor - 10 min.
- Pregătirea elevilor pentru asimilarea noilor cunoștințe - 5 min.
- Introducerea de material nou - 8 min.
- Fixarea inițială a materialului nou - 5 min.
- Controlul și autoexaminarea cunoștințelor - 10 min.
- Informații despre teme - 3 min.
- Rezumatul lecției - 2 min.
Structura lecției:
- Verificarea temelor.
- Cunoașterea înregistrărilor numerelor octale.
- Conversie octal în zecimal întreg cu validare.
- Conversia unui număr din octal în binar și invers.
- Informații despre teme.
- Rezumând lecția.
Mijloace de educatie:
- Aplicația de sistem de operare Windows XP-Calculator.
- Carnet de student individual.
- Algoritm de lucru în aplicația OS. Windows XP-Calculator.
- Prezentare.
- Card cu o sarcină pentru conversia numerelor din octal în zecimal.
- Card cu sarcini pentru traducerea de la un sistem numeric la altul folosind un tabel binar-octal.
- Card cu o misiune creativă.
În timpul orelor
Etapa 1. Organizarea începutului lecției.
Scopul etapei: pregătirea elevilor pentru lucrul la clasă.
Buna baieti!
Astăzi, în lecție, ne vom familiariza cu sistemul de numere octale și ne vom exersa abilitățile de traducere de la un sistem numeric la altul.
Ei primesc carduri individuale, pe care le semnează și unde vor introduce răspunsurile la sarcini.
| F.I. | ||
| №1 | №2 | №3 |
Etapa 2. Verificarea temelor.
Scopul etapei: stabilirea corectitudinii și conștientizarea temelor de către toți elevii, identificarea lacunelor și corectarea acestora.
Să verificăm temele folosind aplicația standard Windows XP-Calculator.
Temă: convertiți numerele din binar în zecimal și verificați.
Primesc foi cu algoritmul de lucru în aplicația Calculator, își verifică temele pe un computer.
Vom verifica răspunsurile cu ajutorul prezentării pentru lecție.
- 10 2 =2 10
- 11 2 =3 10
- 100 2 =4 10
- 101 2 =5 10
- 110 2 =6 10
- 111 2 =7 10
Etapa 3. Introducerea de material nou.
Scopul etapei: asigurarea percepției, înțelegerii și memorării primare a cunoștințelor și a metodelor de acțiune, a legăturilor și a relațiilor în obiectul de studiu.
Înregistrați subiectul lecției de astăzi: „Sistemul de numere octal” .
Baza: 8
Numerele din alfabet: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7
Luați în considerare conversia unui număr întreg din octal în zecimal și verificați.
Algoritm pentru conversia unui număr întreg din octal în zecimal.
Notați numărul octal extins și calculați valoarea acestuia.
10
21 8 =2*8 1 +1*8 0 =16+1=17 10
Sa verificam.
Algoritm pentru conversia unui număr întreg din zecimal în octal.
- Împărțiți succesiv întregul zecimal original cu 8 până când rezultatul este strict mai mic decât baza sistemului.
- Notați reziduurile rezultate în ordine inversă.
10
71 8 =7*8 1 +1*8 0 =56+1=57 10
Etapa 4. Consolidarea primară a materialului nou.
Scopul etapei: stabilirea corectitudinii și conștientizării asimilării de material educațional nou.
Sarcina numărul 1 pentru consolidarea primară a noului material. Anexa 3
Convertiți un număr din octal în zecimal și verificați.
210
114 8 =1*8 2 +1*8 1 +4*8 0 =64+8+4=76 10
Examinare:
Alegeți răspunsul corect sub litera corespunzătoare și scrieți litera pe cardul individual.
O) 84 10
Y) 76 10
E) 97 10
Etapa 5. Controlul și autoexaminarea cunoștințelor.
Scopul etapei: identificarea calității și nivelului de stăpânire a cunoștințelor și a metodelor de acțiune.
Am învățat cum să traducem numerele dintr-un sistem în altul, iar acum vom lua în considerare metode de traducere care nu necesită calcule de la noi. Pentru a face acest lucru, desenați un tabel cu două coloane într-un caiet. Un număr din al 8-lea sistem numeric corespunde celor trei cifre din sistemul binar de numere. De exemplu, 0 8 = 000 2, 1 8 = 001 2, apoi trecem la temele verificate la începutul lecției. Tabelul este ușor de umplut.
Sistem de numere binar-octal.
| 8 | 2 |
| 0 | 000 |
| 1 | 001 |
| 2 | 010 |
| 3 | 011 |
| 4 | 100 |
| 5 | 101 |
| 6 | 110 |
| 7 | 111 |
Când convertiți un număr octal în binar, înlocuiți fiecare cifră octală cu cele trei cifre corespunzătoare din tabel. Pentru operația inversă, adică pentru a converti din sistem binar în sistem octal, numărul binar este împărțit în triple de cifre, apoi fiecare grup este înlocuit cu o cifră octală.
De exemplu:
714 8 =111 001 100 2
101 110 100 2 =564 8 .
Elevilor li se dau cartonașe cu teme. După rezolvarea acestora, răspunsurile corecte sunt plasate pe fișa individuală a elevului.
Sarcini nr. 2, nr. 3 pentru controlul și autoexaminarea cunoștințelor. Anexa 4
Traduceți numerele dintr-un sistem numeric în altul (folosind un tabel binar-octal).
2. Convertiți un număr din octal în binar.
c) 1101001 2; p) 101 011 010 2; c) 111001100 2;
3. Convertiți din binar în octal.
a) 77 8; o) 64 8; c) 29 8;
Returnați cardurile și fișele individuale. Să verificăm răspunsurile folosind diapozitivul 7 al prezentării lecției.
Raspunsuri corecte:
nr 2 p) 101 011 010 2
Un card individual va lua forma:
| F.I. | ||
| №1 | №2 | №3 |
| Avea | R | A |
Elevii primesc fișe cu sarcini creative. Coordonatele punctelor sunt date în diferite sisteme numerice. Este necesar să traduceți coordonatele în sistemul numeric zecimal, să marcați și să conectați punctele pe planul de coordonate.
Coordonatele punctelor sunt date:
1 (100 2 ,1 2)
2 (100 2 , 110 2)
3 (100 2 , 1000 2)
4 (10 8 ,10 8)
5 (6 8 ,7 8)
6 (10 8 ,6 8)
Convertiți numerele în sistemul numeric zecimal și puneți și conectați toate punctele din planul de coordonate.
Răspuns (în notație zecimală):
| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
| (4,1) | (4,6) | (4,8) | (8,8) | (6,7) | (8,6) |
Poza 1
Etapa 6. Informații despre teme.
Scopul etapei: Oferiți o înțelegere a scopului, conținutului și modalităților de a face temele.
Convertiți numerele din octal în binar, apoi în zecimal.
35 8 → А 2 → А 10
65 8 → А 2 → А 10
215 8 → А 2 → А 10
7 etapă. Rezumând lecția.
Scopul etapei: analiza și evaluarea succesului atingerii scopului.
Dacă ai cuvântul URA în cardul tău individual, atunci ai primit un „5”.
Dacă ați făcut față la 2 sarcini, atunci nota este „4”.
Dacă ați rezolvat prima sarcină, atunci ați primit „3”.
Astăzi, în lecție, ne-am familiarizat cu sistemul de numere octale, luate în considerare diferite moduri de a transfera numere de la un sistem de numere la altul. Unele dintre metode ne impuneau să rezolvăm probleme prin metode matematice, altele cu ajutorul calculatorului, iar altele nu ne necesitau niciun calcul.
Citeste si...
- Joia Mare !!! ce se spala si cum se spala!!! ritualuri si obiceiuri!!!! Cum să vă rugați în Joia Mare: semne, obiceiuri Cum să curățați corect casa în Joia Mare
- Califatul Arab: caracteristici și etape ale dezvoltării societății, sistemului de stat, dreptului Criza socio-economică din Arabia
- Sistem de numere binar octal hexazecimal
- Descărcați cel mai precis horoscop
