În numerologie (știința conexiunilor numerelor cu viața oamenilor) numere impare (1, 3, 5, 7, 9, 11 și așa mai departe) sunt considerati purtatori de cuvant masculin, care în filozofia estică se numește - yang. Ele sunt, de asemenea, numite solare, pentru că ele transportă energia luminii noastre. Aceste numere reflectă căutarea, dorința de ceva nou.

Chiar numere (care pot fi divizibile cu 2 fără rest) vorbește despre natura feminină (în filozofia estică - yin) și energia lunii. Esența lor este că inițial gravitează spre cei doi, deoarece sunt împărțiți de ea. Aceste cifre indică dorința de reguli logice pentru afișarea realității și lipsa de voință de a trece dincolo de ele.

Cu alte cuvinte: chiar și numerele sunt mai corecte, dar, în același timp, mai limitate și mai simple. Iar cele ciudate vă pot ajuta să ieșiți dintr-o viață plictisitoare și gri.

Există mai multe numere impare (zero în numerologie are sens propriu și nu este considerat un număr egal) - cinci (1, 3, 5, 7, 9) față de patru (2,4,6,8). Energia lor mai puternică este exprimată prin faptul că atunci când li se adaugă numere pare, se obține din nou un număr impar.

Opoziția numerelor impare și impare este inclusă în sistem comun opuse (unul - mulți, bărbat - femeie, zi - noapte, dreapta - stânga, bine - rău etc.). În acest caz, primele concepte sunt asociate cu numere impare, iar cel de-al doilea cu numere impare.

Astfel, orice număr ciudat are caracteristici masculine: imperiozitatea, ascuțimea, capacitatea de a percepe ceva nou și orice este dotat cu proprietăți feminine: pasivitate, dorința de a elimina orice conflict.

Semnificațiile cifrelor

Toate numerele din numerologie au anumite semnificații:

• Unitate poartă în sine activitate, intenție, inițiativă.
• Egalitate de puncte - susceptibilitate, slăbiciune, dorință de ascultare.
• troică - distracție, artă, noroc.
• patru - munca grea, monotonie, plictiseală, obscuritate, înfrângere.
• Cinci - spirit antreprenorial, succes în dragoste, mișcare către obiectiv.
• Şase - simplitate, calm, gravitație spre confortul casei.
• Șapte - misticism, mister.
• Opt - bunuri materiale.
• Nouă - excelență intelectuală și spirituală, realizări înalte.

După cum puteți vedea ciudat numerele au proprietăți mult mai izbitoare. Conform învățăturilor celebrului matematician grec antic Pitagora, ei au fost personificarea binelui, a vieții și a luminii și a simbolizat și partea dreaptă a unei persoane - latura norocului.

Chiar numerele erau asociate cu o parte stângă nefericită, rău, întuneric și moarte. Aceste păreri ale pitagoreilor au fost ulterior reflectate în unele semne (de exemplu, că este imposibil pentru o persoană în viață să dea un număr egal de flori sau că ridicarea de pe piciorul stâng este o zi proastă), deși diferite națiuni ele pot fi diferite.

Impactul numerelor impare și impare asupra vieții noastre

Încă de pe vremea lui Pitagora, s-a acceptat, în general, că numerele „feminine” sunt asociate cu răul, deoarece se împart ușor în două jumătăți, ceea ce înseamnă că putem spune că în interiorul lor există spațiu gol, haos primitiv. Și un număr impar nu poate fi împărțit în părți egale fără un rest, prin urmare, conține ceva întreg și chiar sacru în sine (în Evul Mediu, unii filosofi-teologi au susținut că Dumnezeu trăiește în numere impare).

În numerologia modernă, se obișnuiește să se țină seama de multe dintre numerele din jurul nostru - de exemplu, numere de telefon sau apartamente, date de naștere și evenimente semnificative, numere de nume și prenume etc.

Cel mai important pentru viața noastră este așa-numitul număr al soartei, care este calculat după data nașterii. Este necesar să adăugați toate cifrele acestei date și să le „ridicați” la un număr prim.

Să zicem că te-ai născut pe 28 septembrie 1968 (28/09/1968). Adăugați numerele: 2 + 8 + 0 + 9 + 1 + 9 + 6 -I- 8 \u003d 43; 4 + 3 \u003d 7. Prin urmare, numărul destinului tău este 7 (după cum am menționat mai sus, numărul de misticism și mister).

În același mod, puteți analiza datele evenimentelor importante pentru dvs. În acest sens, soarta celebrului Napoleon este foarte indicativă. S-a născut pe 15 august 1769 (15.08.1769), prin urmare, numărul soartei sale este egal cu unul:

1 + 5 + 0 + 8 + 1 + 7 + 6 + 9 = 37; 3 + 7 = 10; 1 + 0 = 1.

Acest număr ciudat, conform numerologiei moderne, poartă cu el activitate, dăruire, inițiativă - calități, datorită cărora Napoleon s-a arătat. A devenit împăratul francez la 2 decembrie 1804 (2 decembrie 1804), numărul acestei date este de nouă ( 0 + 2+1 + 2 + 1 + 8 + 0 + 4 = 18; 1 + 8 = 9 ), care este numărul de realizări ridicate. A murit la 5 mai 1821 (05/05/1821), numărul acestei zile fiind de patru ( 0 + 5 + 0 + 5 + 1+ 8 + 2 + 1 = 22; 2 + 2 = 4 ), ceea ce înseamnă obscuritate și înfrângere.

Oamenii antici au spus cu bună știință că numerele stăpânesc lumea. Folosind cunoștințele de numerologie, puteți calcula cu ușurință ce evenimente promite această sau această dată - și în ce cazuri ar trebui să vă abțineți de la acțiuni inutile.

Există perechi de opuse în univers, care sunt un factor important în structura sa. Principalele proprietăți pe care numerologii le atribuie numerelor par (1, 3, 5, 7, 9) și impare (2, 4, 6, 8) ca perechi de opuse sunt următoarele:

1 - activ, intenționat, dominator, apucat, conducător, proactiv;
2 - pasiv, receptiv, slab, simpatic, subordonat;
3 - succes strălucitor, vesel, artistic, reușind cu ușurință;
4 - harnic, plictisitor, lipsă de inițiativă, muncă nefericită, muncă grea și înfrângere frecventă;
5 - agil, aventuros, nervos, nesigur, sexy;
6 - simplu, calm, acasă, aranjat; iubirea mamei;
7 - părăsirea lumii, misticism, secrete;
8 - viață lumească; noroc sau esec material;
9 - excelență intelectuală și spirituală.

Numerele ciudate au proprietăți mult mai marcante. Alături de energia „1”, strălucirea și norocul „3”, mobilitatea aventuroasă și versatilitatea „5”, înțelepciunea „7” și perfecțiunea „9”, chiar și numerele nu arată atât de strălucitoare. Există 10 perechi principale de opuse care există în univers. Printre aceste perechi: par - ciudat, unul - multe, dreapta - stânga, masculin - feminin, bun - rău. Unul, corect, masculin și bun a fost asociat cu numere impare; mulți, stângați, feminini și răi - cu alții.

Numerele impare au o anumită medie productivă, în timp ce în orice număr egal există o gaură de percepere, așa cum a fost, un decalaj în sine. Proprietățile masculine ale numerelor impare falice rezultă din faptul că sunt mai puternice decât unele. Dacă un număr egal este împărțit în jumătate, atunci, în afară de goliciune, nimic nu va rămâne la mijloc. Nu este ușor să împărțiți un număr impar, deoarece un punct rămâne la mijloc. Dacă puneți laolaltă un număr par și un impar, cel ciudat câștigă, deoarece rezultatul va fi mereu impar. De aceea, numerele ciudate sunt masculine, puternice și dure, iar numerele chiar sunt feminine, pasive și perceptive.

Există numere impare de numere impare: sunt cinci. Chiar și numerele sunt chiar numărul - patru.

Numerele impare sunt solare, electrice, acide și dinamice. Sunt adaosuri; li se adaugă ceva. Chiar și numerele sunt lunare, magnetice, alcaline și statice. Sunt scăzute și reduse. Rămân nemișcați, deoarece au chiar grupuri de perechi (2 și 4; 6 și 8).

Dacă grupăm numere impare, un număr va rămâne mereu fără perechea sa (1 și 3; 5 și 7; 9). Acest lucru le face dinamice. Două numere similare (două numere impare sau două numere pare) nu sunt favorabile.

even + even \u003d even (static) 2 + 2 \u003d 4
par + impar \u003d impar (dinamic) 3 + 2 \u003d 5
impar + impar \u003d impar (static) 3 + 3 \u003d 6

Unele numere sunt prietenoase, altele sunt opuse unul altuia. Relația numerelor este determinată de relația dintre planetele care le guvernează (detalii în secțiunea „Compatibilitatea numerelor”). Când două numere prietenoase ating, colaborarea lor nu este foarte productivă. La fel ca prietenii, se relaxează - și nu se întâmplă nimic. Dar când există numere ostile într-o combinație, ei se fac reciproc în alertă și să inducă acțiune activă; astfel, aceste două persoane lucrează mult mai mult. În acest caz, numere ostile se dovedesc a fi de fapt prieteni, iar prietenii sunt adevărați dușmani, care împiedică progresul. Numerele neutre rămân inactive. Ele nu oferă sprijin, nu induc sau nu suprimă activitatea.

În secțiunea din întrebare este zero - un număr par sau impar? dat de autor Androbolo cel mai bun răspuns este Deoarece numerele impare și impare merg unul după altul, la rândul său, și 1 este un număr impar, înseamnă că 0 este egal: -) :-) :-)

Răspuns din Soare[Guru]
Nici unul, nici celălalt

Răspuns din Igor Orlov[Guru]
Onorat !!

Răspuns din Jurnalist, V. Semyonov[Guru]
În funcție de ce parte adăugați unitatea!

Răspuns din Oleg Sysoev[maestru]
Chiar. Asta e sigur. Pentru că este divizibil cu două. La fel ca orice alt număr. vezi pentru tine: 9 7 5 3 1, 8 6 4 2 0. Totul converg.

Răspuns din Evgeny Golikov[activ]
Mi se pare că este încă egal, pentru că dacă 10 8 6 4 2 sunt egal, atunci după 1 cifră va exista o altă egalitate, adică 0 -2 -4 -6 -8 -10. Gândește-te pentru tine și vei înțelege.

Răspuns din Yergey Bobkov[Guru]
Paritatea în teoria numerelor este o caracteristică a unui număr întreg care determină capacitatea sa de a fi uniform divizibil cu două. Dacă un număr întreg este divizibil cu două, se numește echivalent (exemple: 2, 28, -8, 40), dacă nu - ciudat (exemple: 1.3, 75, -19). Zero contează număr par.
Un număr egal este un număr întreg divizibil cu 2 fără rest: ... −4, -2,0,2,4,6,8 ...
Un număr impar este un număr întreg care nu poate fi divizibil cu 2 fără rest: ... −3, −1,1,3,5,7,9 ...
Sursă:

Răspuns din Nouvelle[Guru]
Înțelegi doar sensul zero? Nu crezi că este aer, goliciune?
Razand)

Răspuns din Bulat 1[Guru]
Chiar și pentru că este divizibil cu 2

Răspuns din Mikhail Barmin[Guru]
Chiar

Definiții

• Număr par este un număr întreg care acțiuni fără restul cu 2: ..., −4, 2, 0, 2, 4, 6, 8, ...
• Numar impar este un număr întreg care nu împărtășește fără restul cu 2: ..., −3, −1, 1, 3, 5, 7, 9, ...

Conform acestei definiții, zero este un număr egal.

În cazul în care un m este egal, atunci este reprezentabil în formă și, dacă este ciudat, atunci în formă, unde.

În diferite țări, există tradiții legate de numărul de flori date.

În Rusia și țările CSI, se obișnuiește aducerea unui număr egal de flori la înmormântarea morților. Cu toate acestea, în cazurile în care există multe flori în buchet (de obicei mai multe), uniformitatea sau ciudățimea numărului lor nu mai joacă niciun rol.

De exemplu, este perfect acceptabil să oferiți unei tinere un buchet de 12 sau 14 flori sau tăieturi ale unei flori de tufiș, dacă au multe muguri, în care ele, în principiu, nu pot fi numărate.
Mai mult, acest lucru se aplică unui număr mare de flori (tăieturi) date în alte cazuri.

notițe

Fundația Wikimedia 2010.

• Maardu
• supraconductibilitate

Vedeți ce sunt „Numere par și impare” în alte dicționare:

Numere impare

Chiar și numere - Paritatea în teoria numerelor este o caracteristică a unui număr întreg care determină capacitatea sa de a fi divizibil cu două. Dacă un număr întreg este divizibil cu două fără rest, se numește echivalent (exemple: 2, 28, −8, 40), dacă nu, ciudat (exemple: 1, 3, 75, −19) ... Wikipedia

Ciudat - Paritatea în teoria numerelor este o caracteristică a unui număr întreg care determină capacitatea sa de a fi divizibil cu două. Dacă un număr întreg este divizibil cu două fără rest, se numește echivalent (exemple: 2, 28, −8, 40), dacă nu, ciudat (exemple: 1, 3, 75, −19) ... Wikipedia

Numar impar - Paritatea în teoria numerelor este o caracteristică a unui număr întreg care determină capacitatea sa de a fi divizibil cu două. Dacă un număr întreg este divizibil cu două fără rest, se numește echivalent (exemple: 2, 28, −8, 40), dacă nu, ciudat (exemple: 1, 3, 75, −19) ... Wikipedia

Numere impare - Paritatea în teoria numerelor este o caracteristică a unui număr întreg care determină capacitatea sa de a fi divizibil cu două. Dacă un număr întreg este divizibil cu două fără rest, se numește echivalent (exemple: 2, 28, −8, 40), dacă nu, ciudat (exemple: 1, 3, 75, −19) ... Wikipedia

Numere par și impare - Paritatea în teoria numerelor este o caracteristică a unui număr întreg care determină capacitatea sa de a fi divizibil cu două. Dacă un număr întreg este divizibil cu două fără rest, se numește echivalent (exemple: 2, 28, −8, 40), dacă nu, ciudat (exemple: 1, 3, 75, −19) ... Wikipedia

Chiar și numere - Paritatea în teoria numerelor este o caracteristică a unui număr întreg care determină capacitatea sa de a fi divizibil cu două. Dacă un număr întreg este divizibil cu două fără rest, se numește echivalent (exemple: 2, 28, −8, 40), dacă nu, ciudat (exemple: 1, 3, 75, −19) ... Wikipedia

Numere ușor redundante - Un număr ușor în exces, sau un număr cvasi perfect, un număr în exces, suma divizorilor săi corespunzătoare este una mai mare decât numărul în sine. Până în prezent, nu a fost găsit niciun singur număr ușor redundant. Dar de pe vremea lui Pitagora, ... ... Wikipedia

Numere perfecte - numere întregi pozitive egale cu suma tuturor divizorilor lor corecți (adică mai mici decât acest număr). De exemplu, numerele 6 \u003d 1 + 2 + 3 și 28 \u003d 1 + 2 + 4 + 7 + 14 sunt perfecte. În ceea ce privește Euclidul (secolul al III-lea î.Hr.), sa subliniat că chiar și numerele pot fi ...

Numerele cuantice - numere întregi (0, 1, 2, ...) sau jumătate întregi (1/2, 3/2, 5/2, ...), care determină posibile valori discrete ale cantităților fizice care caracterizează sistemele cuantice (nucleu atomic, atom , moleculă) și particule elementare individuale ... ... Marea enciclopedie sovietică

Cărți

• Labirinturi și puzzle-uri matematice, 20 de cărți, Barchan Tatiana Alexandrovna, Samodelko Anna. Într-un set: 10 puzzle-uri și 10 labirinturi matematice pe următoarele subiecte: - Seria numerelor; - Numere par și impare; - Compoziția numărului; - numărare în perechi; - Exerciții de adunare și scădere. Setul include 20 ...

Paritate zero - întrebarea dacă zero este considerat un număr par sau impar. Zero este un număr egal. Cu toate acestea, paritatea zero ridică îndoieli în rândul persoanelor care nu sunt suficient de familiarizate cu matematica. Majoritatea oamenilor își iau mult timp să se gândească la identificarea 0 ca un număr egal, în comparație cu identificarea numerelor obișnuite precum 2, 4, 6 sau 8. Unii studenți de matematică și chiar unii profesori consideră greșit zero ca fiind un număr impar sau par și impar în același timp. sau nu o categorizați.

Prin definiție, un număr egal este un număr întreg care poate fi divizibil fără rest. Zero are toate proprietățile care sunt inerente numerelor pare, de exemplu, 0 pe ambele părți se limitează la numere impare, fiecare număr întreg zecimal are aceeași paritate ca și ultima cifră a acestui număr, prin urmare, deoarece 10 este egal, atunci 0 va fi egal. În cazul în care un y (\\ displaystyle y) este un număr egal atunci y + x (\\ displaystyle y + x) are o asemenea paritate încât are x (\\ displaystyle x), și x (\\ displaystyle x) și 0 + x (\\ displaystyle 0 + x) au întotdeauna aceeași paritate.

De asemenea, zero corespunde modelelor pe care le formează alte numere pare. Reguli de paritate în aritmetică cum ar fi even - even \u003d even, presupunem că 0 trebuie să fie și un număr egal. Zero este un element neutru aditiv al grupului de numere pare și este originea de la care sunt definite recursiv și alte numere naturale. Aplicarea acestei recursiuni în teoria graficului geometriei computationale se bazează pe faptul că zero este egal. Zero este divizibil nu numai cu 2, ci este divizibil după toate puterile a două. În acest sens, 0 este numărul „cel mai egal” dintre toate numerele.

De ce este zero egal

Pentru a dovedi că zero este egal, se poate folosi direct definiția standard a „numărului egal”. Un număr este numit chiar dacă este multiplu de 2. De exemplu, motivul 10 este egal este pentru că este 5 × 2. În același timp, zero este de asemenea un multiplu întreg cu 2, adică 0 × 2, deci zero este egal.

De asemenea, poate explica de ce zero este chiar fără a aplica definiții formale.

Explicații simple

Numerele pot fi reprezentate folosind puncte pe axa numerică. Dacă puneți numere impare și impare, modelul lor general devine evident, mai ales dacă adăugați și numere negative:

Numerele impare și impare alternează între ele. Nu există niciun motiv să ratăm numărul zero.

Contextul matematic

Rezultatele numerice ale teoriei se referă la teorema de bază a aritmeticii și a proprietăților algebice ale numerelor, deci convenția de mai sus are implicații de anvergură. De exemplu, faptul că numerele pozitive au o factorizare unică înseamnă că pentru un anumit număr este posibil să se stabilească dacă are un număr par sau impar de distinct factori primi... Deoarece 1 nu este un număr prim și, de asemenea, nu are factori primi, este produsul gol al primelor; deoarece 0 este un număr egal, 1 are un număr egal de factori primi. De aici rezultă că funcția Möbius ia valoarea μ (1) \u003d 1, care este necesară pentru ca aceasta să fie o funcție multiplicativă și să funcționeze formula de rotație Möbius.

In educatie

Întrebarea dacă zero este un număr egal a fost ridicată în sistemul școlar din Marea Britanie. Numeroase sondaje de opinie au fost realizate în rândul elevilor din școli pe această temă. S-a dovedit că studenții evaluează paritatea zero în moduri diferite: unii o consideră echivalentă, unii - ciudat, alții cred că este un număr special - amândoi în același timp, sau niciunul. Mai mult, elevii din clasa a cincea dau răspunsul corect mai des decât elevii din clasa a șasea.

Studiile au arătat că nici măcar profesorii din școli și universități nu sunt suficient de conștienți de paritatea zero. De exemplu, aproximativ 2/3 dintre cadrele didactice de la Universitatea din Florida de Sud au răspuns „nu” la întrebarea „Este zero un număr egal?” ...

notițe

Literatură

• Anderson, Ian (2001), Un prim curs de matematică discretă, Londra: Springer, ISBN 1-85233-236-0
• Anderson, Marlow & Feil, Todd (2005), Un prim curs în algebră abstractă: inele, grupuri și câmpuri, Londra: CRC Press, ISBN 1-58488-515-7
• Andrews, Edna (1990), Teoria marcajului: uniunea asimetriei și semiozei în limbaj, Durham: Duke University Press, ISBN 0-8223-0959-9
• Arnold, C. L. (ianuarie 1919), „Numărul zero”, Ohio Educational lunar T. 68 (1): 21–22 , ... Preluat 11 aprilie 2010.
• Arsham, Hossein (ianuarie 2002), Zero în patru dimensiuni: perspective istorice, psihologice, culturale și logice, ... Preluat 24 septembrie 2007. Arhivat 25 septembrie 2007 la mașina Wayback
• Ball, Deborah Loewenberg; Hill, Heather C. & Bass, Hyman (2005), "Cunoașterea matematicii pentru predare: cine știe suficient de bine matematica pentru a preda clasa a treia și cum putem decide?" Educator american, ... Preluat la 16 septembrie 2007.
• Ball, Deborah Loewenberg; Lewis, Jennifer & Thames, Mark Hoover (2008), „Crearea lucrărilor matematice în școală”, Jurnal pentru cercetare în educația matematicii T. M14: 13–44 și 195–200 , ... Preluat la 4 martie 2010.
• Barbeau, Edward Joseph (2003), Polinomiale, Springer, ISBN 0-387-40627-1
• Baroody, Arthur & Coslick, Ronald (1998), Promovarea puterii matematice a copiilor: o abordare investigativă a K-8, Lawrence Erlbaum Associates, ISBN 0-8058-3105-3
• Berlinghoff, William P .; Grant, Kerry E. și Skrien, Dale (2001), A Sampler Mathematics: Topics for the Liberal Arts (Ediția a 5-a rev.), Rowman & Littlefield, ISBN 0-7425-0202-3
• Border, Kim C. (1985), Teoreme cu punct fix cu aplicații la economie și teoria jocului, Cambridge University Press, ISBN 0-521-38808-2
• Brisman, Andrew (2004), Ghid Mensa pentru jocurile de noroc din cazinouri: modalități câștigătoare, Sterling, ISBN 1-4027-1300-2
• Bunch, Bryan H. (1982), Erorile și paradoxurile matematice, Van Nostrand Reinhold, ISBN 0-442-24905-5
• Caldwell, Chris K. și Xiong, Yeng (27 decembrie 2012), "Care este cel mai mic prim?" Journal of Integer Sequences Vol. 15 (9) ,
• Cititorii coloanei 8 (10 martie 2006a), Coloana 8 (Prima ediție), p. 18, Factiva SMHH000020060309e23a00049
• Cititorii coloanei 8 (16 martie 2006b), Coloana 8 (Prima ediție), p. 20, Factiva SMHH000020060315e23g0004z
• Crumpacker, Iepurasul (2007), Cifre perfecte: Multa numerelor și modul în care am învățat să numărăm, Macmillan, ISBN 0-312-36005-3
• Cutler, Thomas J. (2008), Manualul Bluejacket: Navy United States (Ed. Centennial), Naval Institute Press, ISBN 1-55750-221-8
• Dehaene, Stanislas; Bossini, Serge & Giraux, Pascal (1993), „Reprezentarea mentală a parității și a mărimii numerice” Journal of Experimental Psychology: General T. 122 (3): 371–396, doi: 10.1037 / 0096-3445.122.3.371 , ... Preluat 13 septembrie 2007.
• Devlin, Keith (aprilie 1985), „Epoca de aur a matematicii”, Noul om de știință T. 106 (1452)
• Grup de diagrame (1983), Enciclopedia oficială mondială a sporturilor și jocurilor, Paddington Press, ISBN 0-448-22202-7
• Dickerson, David S & Pitman, Damien J (iulie 2012), Tai-Yih Tso, ed., „Clasificarea și utilizarea definițiilor matematice ale studenților la nivel universitar avansat”. Lucrările celei de-a 36-a Conferințe a Grupului internațional pentru psihologia educației în matematică T. 2: 187-195 ,
• Dummit, David S. și Foote, Richard M. (1999), Algebra abstractă (2e ed.), New York: Wiley, ISBN 0-471-36857-1
• Serviciul de testare educațională (2009), Convenții matematice pentru măsurarea motivării cantitative a testului general revizuit GRE®, Serviciul de testare educațională , ... Preluat pe 6 septembrie 2011.
• Freudenthal, H. (1983), Fenomenologia didactică a structurilor matematice, Dordrecht, Olanda: Reidel
• Frobisher, Len (1999), Anthony Orton, ed., Cunoștințele copiilor din școlile primare despre numere impare și par, Londra: Cassell, p. 31-48
• Gouvêa, Fernando Quadros (1997), p -numereadice: o introducere (Ediția a II-a), Springer-Verlag, ISBN 3-540-62911-4
• Gowers, Timothy (2002), Matematică: o introducere foarte scurtă, Oxford University Press, ISBN 978-0-19-285361-5
• Consiliul de admitere pentru managementul absolvenților (septembrie 2005), Ghidul oficial pentru revizuirea GMAT (Ediția a 11-a), McLean, VA: Consiliul de admitere pentru managementul absolvenților, ISBN 0-9765709-0-4
• Grimes, Joseph E. (1975), Firul discursului, Walter de Gruyter, ISBN 90-279-3164-X
• Hartsfield, Nora & Ringel, Gerhard (2003), Perle în teoria graficului: o introducere cuprinzătoare, Mineola: Curier Dover, ISBN 0-486-43232-7
• Dealul, Heather C .; Blunk, Merrie L .; Charalambous, Charalambos Y. & Lewis, Jennifer M. (2008), "Cunoștințe matematice pentru predare și calitatea matematică a instrucțiunii: un studiu explorator", Cunoașterea și instrucțiunea Vol. 26 (4): 430-511 , DOI 10.1080 / 07370000802177235
• Hohmann, George (25 octombrie 2007), Companiile lasă piața să determine noul nume, din. P1C, Factiva CGAZ000020071027e3ap0001l
• Personalul Kaplan (2004), Kaplan SAT 2400, Ediția 2005, Simon și Schuster, ISBN 0-7432-6035-X
• Keith, Annie (2006), Argument matematic într-o clasă a doua: generarea și justificarea declarațiilor generalizate despre numere impare și impare, IAP, ISBN 1-59311-495-8
• Krantz, Steven George (2001), Dicționar de algebră, aritmetică și trigonometrie, CRC Press, ISBN 1-58488-052-X
• Levenson, Esther; Tsamir, Pessia & Tirosh, Dina (2007), „Nici măcar și nici ciudat: elevii din clasa a șasea„ dileme privind egalitatea zero ”, The Journal of Mathematical Behavior Vol. 26 (2): 83–95 , DOI 10.1016 / j.jmathb.2007.05.004
• Lichtenberg, Betty Plunkett (noiembrie 1972), „Zero este un număr egal”, Profesorul de aritmetică T. 19 (7): 535-538
• Lorentz, Richard J. (1994), Algoritmi recurenti, Intellect Books, ISBN 1-56750-037-4
• Lovas, William & Pfenning, Frank (22 ianuarie 2008), "Un sistem de tip de rafinare bidirecțională pentru LF", Note electronice în informatică teoretică T. 196: 113–128, doi: 10.1016 / j.entcs.2007.09.021 , ... Preluat 16 iunie 2012.
• Lovász, László; Pelikán, József & Vesztergombi, Katalin L. (2003), Matematică discretă: elementară și dincolo, Springer, ISBN 0-387-95585-2
• Morgan, Frank (5 aprilie 2001), Monede vechi, Asociația Matematică din America , ... Preluat 22 august 2009.
• Nipkow, Tobias; Paulson, Lawrence C. și Wenzel, Markus (2002), Isabelle / Hol: Asistent doveditor pentru logica ordinelor superioare, Springer, ISBN 3-540-43376-7
• Nuerk, Hans-Christoph; Iversen, Wiebke & Willmes, Klaus (iulie 2004), "