Любое составное число можно разложить на простые множители. Способов разложения может быть несколько. При любом способе получается один и тот же результат.

Как разложить число на простые множители наиболее удобным способом? Рассмотрим, как это лучше сделать, на конкретных примерах.

Примеры. 1) Разложить число 1400 на простые множители.

1400 делится на 2. 2 — простое число, раскладывать его на множители не нужно. Получаем 700. Делим его на 2. Получаем 350. 350 тоже делим на 2. Полученное число 175 можно разделить на 5. Результат — з5 — еще раз делим на 5. Итого — 7. Его можно разделить только на 7. Получили 1, деление окончено.

Это же число можно разложить на простые множители иначе:

1400 удобно разделить на 10. 10 не является простым числом, поэтому его нужно разложить на простые множители: 10=2∙5. Результат — 140. Его снова делим на 10=2∙5. Получаем 14. Если 14 разделить на 14, то его тоже следует разложить на произведение простых множителей: 14=2∙7.

Таким образом, снова пришли к такому же, как и в первом случае, разложению, но быстрее.

Вывод: не обязательно при разложении числа делить его только на простые делители. Делим на то, что удобнее, например, на 10. Надо только составные делители не забыть разложить на простые множители.

2) Разложить число 1620 на простые множители.

Число 1620 удобнее всего разделить на 10. Поскольку 10 простым числом не является, представляем его в виде произведения простых множителей: 10=2∙5. Получили 162. Его удобно разделить на 2. Результат — 81. Число 81 можно разделить на 3, но на 9 — удобнее. Так как 9 — не простое число, раскладываем его как 9=3∙3. Получили 9. Его также делим на 9 и раскладываем на произведение простых множителей.

Разложение числа на простые множители – это часто встречающаяся задача, которую нужно уметь решать. Разложение на простые множители может потребоваться при нахождении НОД (наибольший общий делитель) и НОК (наименьшее общее кратное), а также при проверке, являются ли числа взаимно простыми.

Все числа можно разделить на два основных типа:

• Простое число – это число, которое делится только на само себя и на 1.
• Составное число – это число, которое имеет другие делители, кроме самого себя и 1.

Чтобы проверить, является ли число простым или составным, можно воспользоваться специальной таблицей простых чисел.

Таблица простых чисел

Для удобства вычислений все простые числа были собраны в таблицу. Ниже приведена таблица простых чисел из диапазона от 1 до 1000.

Разложение на простые множители

Для разложения числа на простые множители можно использовать таблицу простых чисел и признаки делимости чисел . До тех пор, пока число не станет равно 1, нужно подбирать простое число, на которое делится текущее, и выполнять деление. Если не удалось подобрать ни одного множителя, не равного 1 и самому числу, то число простое. Рассмотрим, как это делается на примере.

Разложить на простые множители число 63140.

Чтобы не потерять множители, будем записывать их в столбик, как показано на картинке. Такое решение является достаточно компактным и удобным. Рассмотрим его подробнее.

Любое натуральное число можно разложить на произведение простых множителей. Если вы не любите иметь дело с большими числами, такими как 5733, научитесь раскладывать их на простые множители (в данном случае это 3 x 3 x 7 x 7 x 13). Подобная задача часто встречается в криптографии, которая занимается проблемами информационной безопасности. Если вы еще не готовы создать собственную систему безопасной электронной почты, для начала научитесь раскладывать числа на простые множители.

Шаги

Часть 1

1. Начните с исходного числа. Выберите составное число больше 3. Нет смысла брать простое число, так как оно делится лишь на само себя и единицу.

   • Пример: разложим на произведение простых чисел число 24.

2. Разложим данное число на произведение двух множителей. Найдем два меньших числа, произведение которых равно исходному числу. Можно использовать любые множители, но проще взять простые числа. Один из хороших способов состоит в том, чтобы попробовать поделить исходное число сначала на 2, затем на 3, потом на 5 и проверить, на какие из этих простых чисел оно делится без остатка.

   • Пример: если вы не знаете множителей для числа 24, попробуйте поделить его на малые простые числа. Так вы обнаружите, что данное число делится на 2: 24 = 2 x 12 . Это хорошее начало.
   • Поскольку 2 является простым числом, его хорошо использовать при разложении четных чисел.

3. Начните строить дерево множителей. Эта простая процедура поможет вам разложить число на простые множители. Для начала проведите от исходного числа две "ветки" вниз. На конце каждой ветки напишите найденные множители.

   • Пример:

4. Разложите на множители следующую строку чисел. Взгляните на два новых числа (вторая строка дерева множителей). Оба ли они относятся к простым числам? Если одно из них не является простым, также разложите его на два множителя. Проведите еще две ветки и напишите два новых множителя в третьей строке дерева.

   • Пример: 12 не является простым числом, поэтому его следует разложить на множители. Используем разложение 12 = 2 x 6 и запишем его в третьей строке дерева:
   • 2 x 6

5. Продолжайте двигаться вниз по дереву. Если один из новых множителей окажется простым числом, проводите от него одну "ветку" и пишите на ее конце это же число. Простые числа не раскладываются на меньшие множители, поэтому просто переносите их на уровень ниже.

   • Пример: 2 является простым числом. Просто перенесите 2 из второй в третью строку:
   • 2 2 6

6. Продолжайте раскладывать числа на множители, пока у вас не останутся одни простые числа. Проверяйте каждую новую строку дерева. Если хоть один из новых множителей не является простым числом, разложите его на множители и запишите новую строку. В конце концов у вас останутся одни простые числа.

   • Пример: 6 не является простым числом, поэтому его также следует разложить на множители. В то же время 2 представляет собой простое число, и мы переносим две двойки на следующий уровень:
   • 2 2 6
   • / / /\
   • 2 2 2 3

7. Запишите последнюю строку в виде произведения простых множителей. В конце концов у вас останутся одни простые числа. Когда это случится, разложение на простые множители завершено. Последняя строка представляет собой набор простых чисел, произведение которых дает исходное число.

   • Проверьте ответ: перемножьте стоящие в последней строке числа. В результате должно получиться исходное число.
   • Пример: в последней строке дерева множителей содержатся числа 2 и 3. Оба этих числа являются простыми, поэтому разложение завершено. Таким образом, разложение числа 24 на простые множители имеет следующий вид: 24 = 2 x 2 x 2 x 3 .
   • Порядок множителей не имеет значения. Разложение можно записать также в виде 2 x 3 x 2 x 2.

8. При желании упростите ответ с помощью степенной записи. Если вы знакомы с возведением чисел в степень, можно записать полученный ответ в более простом виде. Помните, что внизу записывается основание, а надстрочное число показывает, сколько раз это основание следует умножить на само себя.

   • Пример: сколько раз встречается число 2 в найденном разложении 2 x 2 x 2 x 3? Три раза, поэтому выражение 2 x 2 x 2 можно записать в виде 2 3 . В упрощенной записи получаем 2 3 x 3.

   Часть 2

   Использование разложения на простые множители

   1. Найдите наибольший общий делитель двух чисел. Наибольшим общим делителем (НОД) двух чисел называется максимальное число, на которое оба числа делятся без остатка. В приведенном ниже примере показано, как с помощью разложения на простые множители найти наибольший общий делитель чисел 30 и 36.

      • Разложим оба числа на простые множители. Для числа 30 разложение имеет вид 2 x 3 x 5. Число 36 раскладывается на простые множители следующим образом: 2 x 2 x 3 x 3.
      • Найдем число, которое встречается в обоих разложениях. Перечеркнем это число в обоих списках и напишем его с новой строки. Например, 2 встречается в двух разложениях, поэтому запишем 2 в новой строке. После этого у нас остается 30 = 2 x 3 x 5 и 36 = 2 x 2 x 3 x 3.
      • Повторяйте это действие, пока в разложениях не останется общих множителей. В оба списка входит также число 3, поэтому в новой строке можно записать 2 и 3 . После этого вновь сравните разложения: 30 = 2 x 3 x 5 и 36 = 2 x 2 x 3 x 3. Как видно, в них не осталось общих множителей.
      • Чтобы найти наибольший общий делитель, следует найти произведение всех общих множителей. В нашем примере это 2 и 3, поэтому НОД равен 2 x 3 = 6 . Это наибольшее число, на которое делятся без остатка числа 30 и 36.

   2. С помощью НОД можно упрощать дроби. Если вы подозреваете, что какую-то дробь можно сократить, используйте наибольший общий делитель. По описанной выше процедуре найдите НОД числителя и знаменателя. После этого поделите числитель и знаменатель дроби на это число. В результате вы получите ту же дробь в более простом виде.

      • К примеру, упростим дробь 30 / 36 . Как мы установили выше, для 30 и 36 НОД равен 6, поэтому поделим числитель и знаменатель на 6:
      • 30 ÷ 6 = 5
      • 36 ÷ 6 = 6
      • 30 / 36 = 5 / 6

   3. Найдем наименьшее общее кратное двух чисел. Наименьшее общее кратное (НОК) двух чисел - это наименьшее число, которое делится без остатка на оба данных числа. Например, НОК 2 и 3 является 6, поскольку это наименьшее число, которое делится на 2 и 3. Ниже приведен пример нахождения НОК с помощью разложения на простые множители:

      • Начнем с двух разложений на простые множители. Например, для числа 126 разложение можно записать как 2 x 3 x 3 x 7. Число 84 раскладывается на простые множители в виде 2 x 2 x 3 x 7.
      • Сравним, сколько раз каждый множитель встречается в разложениях. Выберите тот список, где множитель встречается максимальное число раз, и обведите это место. Например, число 2 встречается один раз в разложении для числа 126 и дважды в списке для 84, поэтому следует обвести 2 x 2 во втором списке множителей.
      • Повторите это действие для каждого множителя. Например, 3 встречается чаще в первом разложении, поэтому следует обвести в нем 3 x 3 . Число 7 встречается по одному разу в обоих списках, так что обводим 7 (неважно в каком списке, если данный множитель встречается в обоих списках одинаковое число раз).
      • Чтобы найти НОК, перемножьте все обведенные числа. В нашем примере наименьшим общим кратным чисел 126 и 84 является 2 x 2 x 3 x 3 x 7 = 252 . Это наименьшее число, которое делится на 126 и 84 без остатка.

   4. Используйте НОК для сложения дробей. При сложении двух дробей необходимо привести их к общему знаменателю. Для этого найдите НОК двух знаменателей. Затем умножьте числитель и знаменатель каждой дроби на такое число, чтобы знаменатели дробей стали равны НОК. После этого можно сложить дроби.

      • Например, необходимо найти сумму 1 / 6 + 4 / 21 .
      • С помощью приведенного выше метода можно найти НОК для 6 и 21. Оно равно 42.
      • Преобразуем дробь 1 / 6 так, чтобы ее знаменатель равнялся 42. Для этого необходимо поделить 42 на 6: 42 ÷ 6 = 7. Теперь умножим числитель и знаменатель дроби на 7: 1 / 6 x 7 / 7 = 7 / 42 .
      • Чтобы привести вторую дробь к знаменателю 42, поделим 42 на 21: 42 ÷ 21 = 2. Умножим числитель и знаменатель дроби на 2: 4 / 21 x 2 / 2 = 8 / 42 .
      • После того как дроби приведены к одинаковому знаменателю, их можно легко сложить: 7 / 42 + 8 / 42 = 15 / 42 .

Что значит разложить на простые множители? Как это сделать? Что можно узнать по разложению числа на простые множители? Ответы на эти вопросы иллюстрируются конкретными примерами.

Определения:

Простым называют число, которое имеет ровно два различных делителя.

Составным называют число, которое имеет более двух делителей.

Разложить натуральное число на множители - значит представить его в виде произведения натуральных чисел.

Разложить натуральное число на простые множители - значит представить его в виде произведения простых чисел.

Замечания:

• В разложении простого числа один из множителей равен единице, а другой - самому этому числу.
• Говорить о разложении единицы на множители не имеет смысла.
• Составное число можно разложить на множители, каждый из которых отличен от 1.

При разложении больших чисел на простые множители используют запись в столбик:

	Наименьшее простое число, на которое делится 216 - это 2. Разделим 216 на 2. Получим 108.
	Полученное число 108 делится на 2. Выполним деление. Получим в результате 54.
	Согласно признаку делимости на 2 число 54 делится на 2. Выполнив деление, получим 27.
	Число 27 заканчивается на нечетную цифру 7 . Оно Не делится на 2. Следующее простое число - это 3. Разделим 27 на 3. Получим 9. Наименьшее простое Число, на которое делится 9, - это 3. Три - само является простым числом, оно делится на себя и на единицу. Разделим 3 на себя. В итоге мы получили 1.

• Число делится лишь на те простые числа, которые входят в состав его разложения.
• Число делится лишь на те составные числа, разложение которых на простые множители полностью в нем содержится.

Рассмотрим примеры:

Найти частное от деления числа a на число b, если эти числа раскладываются на простые множители следующим образом a=2∙2∙2∙3∙3∙3∙5∙5∙19; b=2∙2∙3∙3∙5∙19

Список литературы

1. Виленкин Н.Я., Жохов В.И., Чесноков А.С., Шварцбурд С.И. Математика 6. - М.: Мнемозина, 2012.
2. Мерзляк А.Г., Полонский В.В., Якир М.С. Математика 6 класс. - Гимназия. 2006.
3. Депман И.Я., Виленкин Н.Я. За страницами учебника математики. - М.: Просвещение, 1989.
4. Рурукин А.Н., Чайковский И.В. Задания по курсу математика 5-6 класс. - М.: ЗШ МИФИ, 2011.
5. Рурукин А.Н., Сочилов С.В., Чайковский К.Г. Математика 5-6. Пособие для учащихся 6-х классов заочной школы МИФИ. - М.: ЗШ МИФИ, 2011.
6. Шеврин Л.Н., Гейн А.Г., Коряков И.О., Волков М.В. Математика: Учебник-собеседник для 5-6 классов средней школы. - М.: Просвещение, Библиотека учителя математики, 1989.

1. Интернет-портал Matematika-na.ru ().
2. Интернет-портал Math-portal.ru ().

Домашнее задание

1. Виленкин Н.Я., Жохов В.И., Чесноков А.С., Шварцбурд С.И. Математика 6. - М.: Мнемозина, 2012. № 127, № 129, № 141.
2. Другие задания: № 133, № 144.

Встречали такой термин, как «простые числа» или «простые множители», но не знаете, что это такое? Также простые числа очень популярны в киноиндустрии, поэтому не редко их можно встретить в фильмах и сериалах. Давайте разберёмся, что такое простые числа в данной статье!

Простые числа – это целое положительное (натуральное) число, которое может быть разделено лишь на единицу и самого себя. Числа, которые имеют более двух натуральных делителей являются составными.

• Пример 1: простое число 7 может быть разделено лишь на 1 и на 7.
• Пример 2: составное число 6 может быть разделено на 1, 2, 3, 6.

Простые числа до 100: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97

Простые числа – очень популярная тема в математике, с ней связано огромное множество задач, теорем и т.д.

Простые множители – это множители (элементы произведения), являющиеся простыми числами. С простыми множителями связано несколько школьных заданий, которые могут вызвать проблемы даже у старшего поколения.

Разложите на простые множители числа…

Довольно популярная в математике задача. Наиболее распространённые примеры:

Разложите не простые множители числа 27, 54, 56, 65, 99, 162, 625, 1000. В первую очередь следует сказать, что самая распространённая ошибка при решении данной задачи – количество множителей не указано, их не обязательно именно 2! Если Вы совершили данную ошибку – можете попробовать решить задание самостоятельно.

Ответы:

• 27 = 3 х 3 х 3
• 54 = 2 х 3 х 3 х 3
• 56 = 2 х 2 х 2 х7
• 65 = 5 х 13
• 99 = 3 х 3 х 11
• 162 = 2 х 3 х 3 х 3 х 3
• 625 = 5 х 5 х 5 х 5
• 1000 = 2 х 2 х 2 х 5 х 5 х 5