Întregi sunt foarte familiare și naturale pentru noi. Și acest lucru nu este surprinzător, deoarece cunoașterea cu ei începe din primii ani de viață la nivel intuitiv.

Informațiile din acest articol creează o înțelegere de bază a numerelor naturale, își dezvăluie scopul, insuflă abilitățile de a scrie și citi numerele naturale. Pentru o mai bună asimilare a materialului, sunt prezentate exemplele și ilustrațiile necesare.

Navigare prin pagină.

Numerele naturale sunt o idee generală.

Următoarea opinie nu este lipsită de logică sonoră: apariția sarcinii de numărare a obiectelor (primul, al doilea, al treilea obiect etc.) și sarcina de a indica numărul de obiecte (unul, două, trei obiecte etc.) au dus la crearea unui instrument de rezolvare a acestuia instrument au fost numere întregi.

Această propoziție arată principalul scop al numerelor naturale - să poarte în sine informații despre numărul de articole sau numărul de serie al acestui articol în setul de articole considerat.

Pentru ca o persoană să poată folosi numere naturale, acestea trebuie să fie disponibile într-un fel atât pentru percepție, cât și pentru reproducere. Dacă sună fiecare număr natural, atunci acesta va deveni audibil, iar dacă descrii un număr natural, îl poți vedea. Acestea sunt cele mai naturale metode de a transmite și percepe numere naturale.

Așadar, să începem să dobândim abilitățile de imagine (scriere) și abilitățile de a suna (citi) numere naturale, în timp ce învățăm sensul lor.

Notarea zecimală a unui număr natural.

În primul rând, trebuie să decideți de la ce vom începe când scriem numere naturale.

Să ne amintim de imaginile următoarelor semne (arată-le separate prin virgule): 0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9 ... Imaginile prezentate reprezintă o înregistrare a așa-numitelor cifre... Să acceptăm imediat să nu flipăm, să înclinăm sau să distorsionăm numerele la scriere.

Acum să fim de acord că pot fi prezente doar numerele indicate în înregistrarea oricărui număr natural și nu pot fi prezente alte simboluri. De asemenea, suntem de acord că numerele din înregistrarea unui număr natural au aceeași înălțime, sunt aranjate într-o linie una după alta (cu aproape nicio liniuță), iar în stânga există un număr diferit de numărul 0 .

Iată câteva exemple despre cum se scrie corect numere naturale: 604 , 777 277 , 81 , 4 444 , 1 001 902 203, 5 , 900 000 (notă: liniuțele dintre numere nu sunt întotdeauna aceleași, mai multe despre acestea vor fi discutate după examinare). Din exemplele de mai sus se poate observa că toate cifrele nu sunt neapărat prezente în notația unui număr natural 0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9 ; unele sau toate cifrele implicate în înregistrarea unui număr natural pot fi repetate.

înregistrări 014 , 0005 , 0 , 0209 nu sunt înregistrări ale numerelor naturale, deoarece există o cifră în stânga 0 .

Înregistrarea unui număr natural, făcută ținând cont de toate cerințele descrise în prezentul alineat, este apelată notație zecimală numar natural.

Mai departe, nu vom face distincția între numerele naturale și înregistrarea lor. Să explicăm acest lucru: mai departe, în text, expresii precum „este dat un număr natural 582 », Ceea ce va însemna că este dat un număr natural, a cărui înregistrare are forma 582 .

Numere naturale în sensul numărului de obiecte.

Este timpul să abordăm sensul cantitativ pe care îl poartă numărul natural notat. Semnificația numerelor naturale în ceea ce privește numerotarea obiectelor este discutată în articolul de comparare a numerelor naturale.

Să începem cu numere naturale, ale căror intrări coincid cu intrările de numere, adică cu numere 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 și 9 .

Să ne imaginăm că am deschis ochii și am văzut ceva obiect, de exemplu, ca acesta. În acest caz, putem scrie ceea ce vedem 1 lucru. Numărul natural 1 scrie „ unu"(Declinarea numeralului„ unu ", precum și a altor cifre, vom da în alin.), Pentru numărul 1 un alt nume a fost adoptat - " unitate».

Cu toate acestea, termenul „unitate” este ambiguu, cu excepția unui număr natural 1 , se referă la ceva considerat în ansamblu. De exemplu, orice element din setul lor poate fi numit unitate. De exemplu, orice măr din multe mere este o unitate, orice turmă de păsări din multe turme de păsări este de asemenea o unitate etc.

Acum deschidem ochii și vedem:. Adică, vedem un obiect și încă un obiect. În acest caz, putem scrie ceea ce vedem 2 subiect. Numar natural 2 , citește „ două».

În mod similar, - 3 subiect (citeste " trei"Subiect), - 4 (« patru") Subiect, - 5 (« cinci»), - 6 (« şase»), - 7 (« Șapte»), - 8 (« opt»), - 9 (« nouă") Articole.

Deci, din poziția considerată, numerele naturale 1 , 2 , 3 , …, 9 indica cantitate articole.

Un număr a cărui intrare se potrivește cu intrarea unei cifre 0 , numit " zero“. Numărul zero NU este un număr natural, cu toate acestea, de obicei este considerat împreună cu numere naturale. Amintiți-vă: zero înseamnă absența a ceva. De exemplu, zero articole nu sunt un singur articol.

În alineatele următoare ale articolului, vom dezvălui în continuare semnificația numerelor naturale în ceea ce privește indicarea cantității.

Numere naturale cu o singură cifră.

Evident, scrie fiecare dintre numerele naturale 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9 constă dintr-un caracter - o cifră.

Definiție.

Numere naturale cu o singură cifră - acestea sunt numere naturale, a căror înregistrare constă dintr-un caracter - o cifră.

Să enumerăm toate numerele naturale cu o singură cifră: 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9 ... În total, există nouă numere naturale cu o singură cifră.

Numere naturale de două cifre și trei cifre.

Mai întâi, dăm definiția numerelor naturale din două cifre.

Definiție.

Numere naturale din două cifre - acestea sunt numere naturale, a căror înregistrare este formată din două caractere - două numere (diferite sau aceleași).

De exemplu, un număr natural 45 - numere de două cifre 10 , 77 , 82 sunt de asemenea cu două cifre și 5 490 , 832 , 90 037 - nu cifre duble.

Să ne dăm seama care este semnificația numerelor din două cifre, în timp ce vom porni de la semnificația cantitativă deja cunoscută a numerelor naturale cu o singură cifră.

Pentru început, introducem conceptul zece.

Imaginează-ți această situație - am deschis ochii și am văzut un set format din nouă obiecte și încă un obiect. În acest caz, vorbesc despre 1 zece (unu zece) articole. Dacă iau în considerare împreună o duzină și încă o duzină, atunci vorbesc despre 2 zeci (două zeci). Dacă adăugăm alte două zeci la două duzini, atunci vom avea trei duzini. Continuând acest proces, vom primi patru zeci, cinci zeci, șase duzini, șapte zeci, opt duzine și, în sfârșit, nouă duzini.

Acum putem ajunge la esența numerelor naturale din două cifre.

Pentru a face acest lucru, să ne uităm la un număr format din două cifre ca două numere cu o singură cifră - unul este în stânga în intrare număr de două cifre, celălalt este în dreapta. Numărul din stânga indică numărul de zeci, iar numărul din dreapta indică numărul de unități. Mai mult, dacă în dreapta înregistrării unui număr din două cifre există o cifră 0 atunci aceasta înseamnă absența unităților. Acesta este punctul complet al numerelor naturale din două cifre în ceea ce privește indicarea sumei.

De exemplu, un număr natural format din două cifre 72 corespunde 7 zeci și 2 unități (adică 72 mere este un set de șapte zeci de mere și încă două mere), și numărul 30 răspunsuri 3 zeci și 0 unități, adică unități care nu sunt combinate în zeci, nu.

Să răspundem la întrebarea: „Câte numere naturale cu două cifre există”? Răspuns: lor 90 .

Trecem la definiția numerelor naturale din trei cifre.

Definiție.

Numere naturale, a căror înregistrare constă 3 semne - 3 se numesc cifre (diferite sau care se repetă) trei cifre.

Exemple de numere naturale de trei cifre sunt 372 , 990 , 717 , 222 ... Întregi 7 390 , 10 011 , 987 654 321 234 567 nu sunt de trei cifre.

Pentru a înțelege sensul inerent al numerelor naturale din trei cifre, avem nevoie de concept sute.

Mulți din zece zeci sunt 1 o sută (o sută). O sută și o sută sunt 2 sute. Două sute și o sută mai sunt trei sute. Și așa mai departe, avem patru sute, cinci sute, șase sute, șapte sute, opt sute și, în sfârșit, nouă sute.

Acum să ne uităm la un număr natural format din trei cifre ca trei numere naturale dintr-o singură cifră care se urmăresc între ele de la dreapta la stânga în nota unui număr natural de trei cifre. Numărul din dreapta indică numărul de unități, următorul număr indică numărul de zeci, următorul număr indică numărul de sute. numere 0 într-un număr de trei cifre notare înseamnă absența a zeci și (sau) unități.

Astfel, un număr natural de trei cifre 812 corespunde 8 sute, 1 top zece și 2 unități; număr 305 - trei sute ( 0 zeci, adică zeci care nu sunt combinate în sute, nu) și 5 unități; număr 470 - patru sute șapte zeci (unități nu sunt combinate în zeci, nu); număr 500 - cinci sute (zeci, nu sunt combinate în sute și unități nu sunt combinate în zeci, nu).

În mod similar, puteți da definiții de patru cifre, cinci cifre, șase cifre etc. numere naturale.

Numere naturale cu mai multe cifre.

Deci, trecem la definiția numerelor naturale multivalente.

Definiție.

Numere naturale multiple - acestea sunt numere naturale, a căror înregistrare este formată din două sau trei sau patru etc. semne. Cu alte cuvinte, numerele naturale cu mai multe cifre sunt format din două cifre, trei cifre, patru cifre etc. numere.

Să spunem imediat că un set format din zece sute este o mie, o mie de mii este un milion, o mie de milioane este un miliard, o mie de miliarde este un trilion... O mie de trilioane, o mie de mii de trilioane și așa mai departe, puteți să vă dați și nume proprii, dar nu este nevoie specială de acest lucru.

Deci, care este sensul din spatele numerelor naturale ambigue?

Să privim un număr natural multivalat ca unul după altul, de la dreapta la stânga numere naturale cu o singură cifră. Numărul din dreapta indică numărul de unități, următorul număr este numărul de zeci, următorul este numărul de sute, mai departe - numărul de mii, mai departe - numărul de zeci de mii, mai departe - sute de mii, în continuare - numărul de milioane, în continuare - numărul de zeci de milioane, mai departe - sute de milioane, în continuare - numărul de miliarde, apoi - numărul de zeci de miliarde, apoi - sute de miliarde, apoi - trilioane, apoi - zeci de trilioane, apoi - sute de trilioane și așa mai departe.

De exemplu, un număr natural multivalat 7 580 521 corespunde 1 unitate, 2 zeci, 5 sute, 0 mii, 8 zeci de mii, 5 sute de mii și 7 milioane.

Astfel, am învățat să grupăm unități în zeci, zeci în sute, sute în mii, mii în zeci de mii și așa mai departe, și am aflat că numerele din notația unui număr natural polidigital indică numărul corespunzător al grupurilor de mai sus.

Citind numere naturale, clase.

Am menționat deja cum se citesc numerele naturale cu o singură cifră. Să învățăm cu conținut conținutul următoarelor tabele.

Cum se citesc numerele rămase din două cifre?

Să ne explicăm cu un exemplu. Să citim un număr natural 74 ... După cum am aflat mai sus, acest număr corespunde 7 zeci și 4 unități, adică 70 și 4 ... Ne întoarcem la tabelele tocmai înregistrate și la numărul 74 citim astfel: „Șaptezeci și patru” (nu pronunțăm conjuncția ”și”). Dacă trebuie să citiți un număr 74 în propoziția: „Nu 74 mere ”(genitiv), atunci va suna astfel:„ Nu există șaptezeci și patru de mere ”. Alt exemplu. Număr 88 - aceasta este 80 și 8 de aceea citim: „Optzeci și opt”. Și iată o frază de exemplu: „Se gândește la optzeci și opt de ruble”.

Să trecem la citirea numerelor naturale din trei cifre.

Pentru a face acest lucru, va trebui să învățăm încă câteva cuvinte noi.

Rămâne să arătăm cum se citesc celelalte numere naturale de trei cifre. În acest caz, vom folosi abilitățile deja dobândite de citire a numerelor cu două și două cifre.

Să ne uităm la un exemplu. Să citim numărul 107 ... Acest număr corespunde 1 sute și 7 unități, adică 100 și 7 ... Referindu-ne la tabele, citim: „O sută șapte”. Acum să spunem numărul 217 ... Acest număr este 200 și 17 prin urmare, citim: „Două sute șaptesprezece”. În mod similar, 888 - aceasta este 800 (opt sute) și 88 (optzeci și opt), citim: „Opt sute optzeci și opt”.

Să trecem la citirea numerelor cu mai multe cifre.

Pentru citire, intrarea unui număr natural multivalat este împărțită, începând de la dreapta, în grupuri de trei cifre, în timp ce cel din stânga un astfel de grup poate conține fie 1 sau 2 sau 3 numere. Aceste grupuri sunt numite clase... Clasa din dreapta este numită clasa de unități... Se numește clasa care o urmărește (de la dreapta la stânga) clasa de mii, următoarea clasă este clasa de milioane, următorul este clasa de miliardeurmat de clasa de trilioane... Puteți da numele următoarelor clase, dar numere naturale, din care este înregistrată 16 , 17 , 18 etc. semnele nu sunt citite, de obicei, deoarece sunt foarte greu de perceput prin ureche.

Uitați-vă la exemple de împărțire a numerelor cu mai multe cifre în clase (pentru claritate, clasele sunt separate unele de altele printr-o mică liniuță): 489 002 , 10 000 501 , 1 789 090 221 214 .

Să introducem numerele naturale înregistrate în tabel, prin care este ușor să înveți cum să le citești.

Pentru a citi un număr natural, numim numerele sale constitutive pe clase de la stânga la dreapta și adăugăm numele clasei. În același timp, nu pronunțăm numele clasei de unități și nu omitem și acele clase care formează trei cifre 0 ... Dacă în înregistrarea clasei există o cifră din stânga 0 sau două cifre 0 , atunci ignorăm aceste numere 0 și citiți numărul obținut prin eliminarea acestor cifre 0 ... De exemplu, 002 citiți ca „doi” și 025 - ca „douăzeci și cinci”.

Să citim numărul 489 002 conform regulilor date.

Citim de la stânga la dreapta,

• citeste numarul 489 reprezentând clasa a mii - „patru sute optzeci și nouă”;
• adăugăm numele clasei, obținem „patru sute optzeci și nouă de mii”;
• mai departe în clasa de unități pe care le vedem 002 , există zerouri în stânga, le ignorăm, deci 002 citiți ca „doi”;
• nu trebuie adăugat numele clasei de unități;
• în final avem 489 002 - „patru sute optzeci și nouă de mii doi”.

Să începem să citim numărul 10 000 501 .

• În stânga, în clasa de milioane, vedem numărul 10 , citim „zece”;
• adăugați numele clasei, avem „zece milioane”;
• atunci vedem intrarea 000 din clasa mii, deoarece toate cele trei cifre sunt cifre 0 , apoi sărim peste această clasă și trecem la următoarea;
• clasa de unitate reprezintă un număr 501 , pe care am citit-o „cinci sute și unu”;
• prin urmare, 10 000 501 - zece milioane cinci sute și unu.

Să o facem fără explicații detaliate: 1 789 090 221 214 - „un trilion șapte sute optzeci și nouă miliarde nouăzeci și două milioane două sute douăzeci și una de mii două sute paisprezece”.

Așadar, abilitatea de a citi numere naturale cu mai multe cifre se bazează pe capacitatea de a împărți numere cu mai multe cifre în clase, cunoașterea numelor de clase și capacitatea de a citi numere de trei cifre.

Numere naturale, cifră.

În înregistrarea unui număr natural, sensul fiecărei cifre depinde de poziția sa. De exemplu, un număr natural 539 corespunde 5 sute, 3 zeci și 9 unități, așadar, cifra 5 în nota de număr 539 definește numărul de sute, cifră 3 - numărul zecilor și numărul 9 - Număr de unități. În același timp, ei spun că cifra 9 stă în rangul celor și numărul 9 este un valoarea cifrei unităților, cifră 3 stă în rang de zeci și numărul 3 este un valoarea zecilorși numărul 5 - în rang de sute și numărul 5 este un valoarea sutelor.

Prin urmare, descărcare - aceasta este, pe de o parte, poziția cifrei în înregistrarea unui număr natural, iar pe de altă parte, valoarea acestei cifre, determinată de poziția sa.

Categoriile sunt denumite. Dacă priviți numerele din înregistrarea unui număr natural de la dreapta la stânga, atunci le vor corespunde următoarele categorii: unități, zeci, sute, mii, zeci de mii, sute de mii, milioane, zeci de milioane și așa mai departe.

Este convenabil să vă amintiți numele categoriilor atunci când sunt prezentate sub forma unui tabel. Să scriem un tabel care conține numele a 15 cifre.

Rețineți că numărul de cifre ale unui număr natural dat este egal cu numărul de caractere implicate în înregistrarea acestui număr. Astfel, tabelul înregistrat conține numele cifrelor tuturor numerelor naturale, a căror înregistrare conține până la 15 caractere. Următoarele categorii au și nume proprii, dar sunt foarte rar utilizate, astfel încât nu are sens să le menționezi.

Folosind tabelul de cifre, este convenabil să se determine cifrele unui număr natural dat. Pentru a face acest lucru, trebuie să notați numărul natural dat în acest tabel, astfel încât să existe o cifră în fiecare cifră, iar cifra din dreapta să fie într-o singură cifră.

Să dăm un exemplu. Notăm un număr natural 67 922 003 942 în tabel, în același timp, cifrele și valorile acestor cifre vor deveni vizibile în mod clar.

În înregistrarea acestui număr, cifra 2 stă la locul unu, cifră 4 - în locul zecilor, cifră 9 - în categoria sutelor etc. Atenție la numere 0 , situat în cifrele a zeci de mii și sute de mii. numere 0 în aceste cifre înseamnă absența de unități de date de cifre.

De asemenea, este necesar să menționăm așa-numita categorie cea mai mică (cea mai mică) și cea mai mare (cea mai mare) a unui număr natural polidigital. Cel mai mic (cel mai puțin semnificativ) bit orice număr natural format din mai multe cifre este acela. Cea mai mare cifră (cea mai semnificativă) a unui număr natural este cifra corespunzătoare celei mai drepte cifre din înregistrarea acestui număr. De exemplu, cel mai puțin semnificativ bit dintr-un număr natural 23 004 este locul acela, iar cel mai semnificativ este locul zeci de mii. Dacă în înregistrarea unui număr natural ne deplasăm prin cifre de la stânga la dreapta, atunci fiecare cifră ulterioară mai mic (mai tânăr) cel precedent. De exemplu, categoria de mii este mai mică decât categoria de zeci de mii, în special categoria de mii mai mică decât categoria de sute de mii, milioane, zeci de milioane etc. Dacă, în înregistrarea unui număr natural, treceți prin cifre de la dreapta la stânga, atunci fiecare cifră următoare mai mare (mai vechi) cel precedent. De exemplu, rangul de sute este mai vechi decât rangul a zeci și, cu atât mai mult, mai vechi decât rangul celor.

În unele cazuri (de exemplu, atunci când efectuați adunarea sau scăderea), nu se utilizează numărul natural în sine, ci suma termenilor de biți ai acestui număr natural.

Pe scurt despre sistemul de numere zecimale.

Astfel, am făcut cunoștință cu numerele naturale, cu semnificația inerentă lor și cu modul de a scrie numere naturale folosind zece cifre.

În general, se numește metoda de scriere a numerelor folosind semne sistem de numere... Semnificația unei cifre dintr-o înregistrare a numărului poate depinde de poziția sa sau poate să nu depindă de poziția sa. Sistemele numerice în care sensul unei cifre dintr-o înregistrare a numărului depinde de poziția sa pozitional.

Astfel, numerele naturale pe care le-am avut în vedere și metoda de scriere a acestora indică faptul că folosim un sistem de numere poziționale. Trebuie menționat că un loc special în acest sistem de numere are numărul 10 ... Într-adevăr, zeci sunt numărați: zece unități sunt combinate în zeci, zeci de zeci sunt combinate într-o sută, zece sute - într-o mie și așa mai departe. Număr 10 denumit bază din acest sistem de numere și se numește sistemul de numere în sine zecimal.

În plus față de sistemul de numere zecimale, există și altele, de exemplu, în informatică, se folosește sistemul numeric pozițional binar, iar noi ne confruntăm cu sistemul sexagesimal când este vorba despre măsurarea timpului.

Lista de referinte.

• Matematica. Orice manuale pentru 5 clase ale instituțiilor de învățământ general.

Definiție

Numere naturale sunt numerele care sunt utilizate la numărare sau pentru a indica numărul ordinal al unui obiect printre obiecte similare.

De exemplu. Numerele naturale vor fi: 2.37.145.1059.24411 $

Numerele naturale scrise în ordine crescătoare formează o serie numerică. Începe cu cel mai mic număr natural 1. Setul tuturor numerelor naturale este notat cu $ N \u003d \\ (1,2,3, \\ puncte n, \\ ldots \\) \u200b\u200b$. Este infinit, deoarece nu există un număr natural cel mai mare. Dacă adăugăm unul la orice număr natural, atunci obținem un număr natural în urma numărului dat.

Exemplu

Sarcina. Care dintre următoarele numere sunt naturale?

$$ - 89; 7; \\ frac (4) (3); 34; 2; unsprezece; 3.2; \\ sqrt (129); \\ sqrt (5) $$

Răspuns. $7 ; 34 ; 2 ; 11$

Pe setul de numere naturale sunt introduse două operații de bază aritmetice - adăugarea și înmulțirea. Simbolurile sunt utilizate pentru a indica aceste operațiuni. " + " și " " (sau " × " ).

Adăugarea numerelor naturale

Fiecare pereche de numere naturale $ n $ și $ m $ este asociată cu un număr natural $ s $, numit sumă. Suma $ s $ constă în câte unități există în numerele $ n $ și $ m $. Se spune că numărul $ s $ se obține adăugând numerele $ n $ și $ m $, iar acestea scriu

Numerele $ n $ și $ m $ sunt numite aici termeni. Operația de adăugare a numerelor naturale are următoarele proprietăți:

1. Comutativitate: $ n + m \u003d m + n $
2. Asociativitate: $ (n + m) + k \u003d n + (m + k) $

Citiți mai multe despre adăugarea numerelor aici.

Exemplu

Sarcina. Găsiți suma numerelor:

13 $ + 9 \\ quad $ și $ \\ quad 27+ (3 + 72) $

Decizie. $13+9=22$

Pentru a calcula a doua sumă, pentru a simplifica calculele, mai întâi îi aplicăm proprietatea de asociere adițională:

$$27+(3+72)=(27+3)+72=30+72=102$$

Răspuns. 13 $ + 9 \u003d 22 \\ quad; \\ quad 27+ (3 + 72) \u003d 102 $

Înmulțirea numerelor naturale

Fiecare pereche ordonată de numere naturale $ n $ și $ m $ este asociată cu un număr natural $ r $, numit produsul lor. Produsul $ r $ conține atât de multe în $ n $, luate de câte ori există altele în $ m $. Se spune că numărul r $ este obținut prin înmulțirea numerelor $ n $ și $ m $, iar acestea scriu

$ n \\ cdot m \u003d r \\ quad $ sau $ \\ quad n \\ times m \u003d r $

Numerele $ n $ și $ m $ sunt numite factori sau factori.

Operația de înmulțire a numerelor naturale are următoarele proprietăți:

1. Comutativitate: $ n \\ cdot m \u003d m \\ cdot n $
2. Asociativitate: $ (n \\ cdot m) \\ cdot k \u003d n \\ cdot (m \\ cdot k) $

Citiți mai multe despre înmulțirea numerelor aici.

Exemplu

Sarcina. Găsiți produsul cu numere:

12 $ \\ cdot 3 \\ quad $ și $ \\ quad 7 \\ cdot 25 \\ cdot 4 $

Decizie. Prin definiția unei operații de multiplicare:

$$ 12 \\ cdot 3 \u003d 12 + 12 + 12 \u003d 36 $$

Aplicăm proprietatea de asociere de multiplicare la al doilea produs:

$$ 7 \\ cdot 25 \\ cdot 4 \u003d 7 \\ cdot (25 \\ cdot 4) \u003d 7 \\ cdot 100 \u003d 700 $$

Răspuns. 12 $ \\ cdot 3 \u003d 36 \\ quad; \\ quad 7 \\ cdot 25 \\ cdot 4 \u003d 700 $

Operațiunea de adăugare și înmulțire a numerelor naturale este legată de legea distributivității înmulțirii cu privire la adăugare:

$$ (n + m) \\ cdot k \u003d n \\ cdot k + m \\ cdot k $$

Suma și produsul oricărui două numere naturale este întotdeauna un număr natural, prin urmare setul tuturor numerelor naturale este închis sub operațiunile de adăugare și înmulțire.

De asemenea, pe setul de numere naturale, puteți introduce operațiunile de scădere și divizare, ca operațiuni invers invers, respectiv operațiilor de adunare și înmulțire. Dar aceste operațiuni nu vor fi definite în mod unic pentru nicio pereche de numere naturale.

Proprietatea de asociere a înmulțirii numerelor naturale ne permite să introducem conceptul de putere naturală a unui număr natural: puterea $ n $ - a unui număr natural $ m $ este un număr natural $ k $ obținut ca urmare a înmulțirii numărului $ m $ de la sine $ n $ ori:

Pentru a denota puterea $ n $ -a a numărului $ m $, notatia este de obicei folosita: $ m ^ (n) $, în care se numește numărul $ m $ gradul de bază, iar numărul $ n $ este exponent.

Exemplu

Sarcina. Găsiți valoarea expresiei $ 2 ^ (5) $

Decizie. Prin definiția puterii naturale a unui număr natural, această expresie poate fi scrisă după cum urmează

$$ 2 ^ (5) \u003d 2 \\ cdot 2 \\ cdot 2 \\ cdot 2 \\ cdot 2 \u003d 32 $$

Numerele naturale sunt unul dintre cele mai vechi concepte matematice.

În trecutul îndepărtat, oamenii nu știau numerele și atunci când aveau nevoie să numere obiecte (animale, pești etc.), o făceau altfel decât noi acum.

Numărul de obiecte a fost comparat cu părți ale corpului, de exemplu, cu degetele pe o mână și au spus: „Am atâtea piulițe cât degetele pe mână”.

De-a lungul timpului, oamenii și-au dat seama că cinci nuci, cinci capre și cinci iepuri au o proprietate comună - numărul lor este de cinci.

Tine minte!

Întregi - acestea sunt numere, începând cu 1, obținute prin numărarea elementelor.

1, 2, 3, 4, 5…

Cel mai mic număr natural — 1 .

Cel mai mare număr natural nu exista.

Numărul zero nu este folosit pentru numărare. Prin urmare, zero nu este considerat un număr natural.

Oamenii au învățat să scrie numere mult mai târziu decât să numere. În primul rând, au început să înfățișeze o unitate cu un singur stick, apoi cu două bețe - numărul 2, cu trei - numărul 3.

| — 1, || — 2, ||| — 3, ||||| — 5 …

Apoi a venit și semne speciale pentru numere - predecesorii numerelor moderne. Numerele pe care le folosim pentru a scrie numere s-au născut în India acum aproximativ 1.500 de ani. Au fost aduși în Europa de arabi, așa că sunt numiți numere arabe.

În total sunt zece cifre: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Folosind aceste numere, puteți scrie orice număr natural.

Tine minte!

Gama naturală Este o secvență a tuturor numerelor naturale:

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12 …

Într-un rând natural, fiecare număr este mai mare decât precedentul cu 1.

Numărul natural este infinit, cel mai mare număr natural nu există în el.

Sistemul de numărare pe care îl folosim se numește pozițional zecimal.

Zecimal, deoarece 10 unități din fiecare cifră formează 1 unitate din cea mai semnificativă cifră. Poziționată, deoarece valoarea unei cifre depinde de locul ei în înregistrarea numărului, adică de cifra în care este scrisă.

Important!

Clasele care urmează miliardului sunt numite în funcție de numele latine ale numerelor. Fiecare unitate următoare conține o mie de anterioare.

• 1.000 de miliarde \u003d 1.000.000.000.000 \u003d 1 trilion („trei” este latină pentru „trei”)
• 1.000 trilioane \u003d 1.000.000.000.000.000 \u003d 1 sfert de miliard („quadra” este latină pentru „patru”)
• 1.000 cvadrilete \u003d 1.000.000.000.000.000.000 \u003d 1 chintillion („quint” este latină pentru „cinci”)

Cu toate acestea, fizicienii au găsit un număr care depășește numărul tuturor atomilor (cele mai mici particule de materie) din întregul univers.

Acest număr a primit un nume special - googol... Googol este un număr cu 100 de zerouri.

Care sunt numerele naturale și nefirești? Cum să explici unui copil sau poate nu unui copil, care sunt diferențele dintre ei? Să ne dăm seama. Din câte știm, numerele naturale și naturale sunt predate în clasa a 5-a, iar scopul nostru este să le explicăm elevilor, astfel încât să înțeleagă și să învețe ce și cum.

Istorie

Numerele naturale sunt unul dintre cele mai vechi concepte. Cu mult timp în urmă, când oamenii încă nu știau să numere și nu aveau idee despre numere, când trebuiau să numere ceva, de exemplu, pești, animale, au bătut diverse subiecte puncte sau liniuțe, așa cum a fost aflat ulterior de arheologi. În acea perioadă le-a fost foarte greu să trăiască, dar civilizația s-a dezvoltat mai întâi la sistemul de numere romane, apoi la sistemul de numere zecimale. Acum aproape toată lumea folosește numere arabe

Tot despre numere naturale

Numerele naturale sunt numere prime pe care le folosim în viața noastră de zi cu zi pentru a număra obiecte pentru a determina numărul și ordinea. În prezent folosim notația zecimală pentru a scrie numere. Pentru a scrie orice număr, folosim zece cifre - de la zero la nouă.

Numerele naturale sunt acele numere pe care le folosim la numărarea obiectelor sau la indicarea numărului de serie a ceva. Exemplu: 5, 368, 99, 3684.

O serie de numere sunt numere naturale care sunt aranjate în ordine crescătoare, adică de la unul la infinit. O astfel de serie începe cu cel mai mic număr - 1, și cel mai mare număr natural nu există, deoarece numărul de numere este pur și simplu infinit.

În general, zero nu este considerat un număr natural, deoarece înseamnă absența a ceva și nu există, de asemenea, nici un număr de articole

Sistemul de cifre arabe este un sistem modern pe care îl folosim în fiecare zi. Este o variantă a indianului (zecimal).

Acest sistem de numere a devenit modern din cauza numărului 0, pe care arabii l-au inventat. Înainte de aceasta, ea lipsea în sistemul indian.

Numere nenaturale. Ce este?

Numerele naturale nu includ numere negative și non-întregi. Deci sunt - numere nenaturale

Mai jos sunt exemple.

Numerele nefirești sunt:

• Numere negative, de exemplu: -1, -5, -36 .. și așa mai departe.
• Numere raționale, care sunt exprimate în fracții zecimale: 4,5, -67, 44,6.
• Ca fracție simplă: 1/2, 40 2/7 etc.

Numere iraționale, cum ar fi e \u003d 2.71828, √2 \u003d 1.41421 și altele asemenea.

Sperăm că v-am ajutat foarte mult în tratarea numerelor non-naturale și naturale. Acum îți va deveni mai ușor să explici acest subiect copilului tău, iar el îl va stăpâni la fel de bine ca pe marii matematicieni!

Numerele naturale sunt unul dintre cele mai vechi concepte matematice.

În trecutul îndepărtat, oamenii nu știau numerele și atunci când aveau nevoie să numere obiecte (animale, pești etc.), o făceau altfel decât noi acum.

Numărul de obiecte a fost comparat cu părți ale corpului, de exemplu, cu degetele pe o mână și au spus: „Am atâtea piulițe cât degetele pe mână”.

De-a lungul timpului, oamenii și-au dat seama că cinci nuci, cinci capre și cinci iepuri au o proprietate comună - numărul lor este de cinci.

Tine minte!

Întregi - acestea sunt numere, începând cu 1, obținute prin numărarea elementelor.

1, 2, 3, 4, 5…

Cel mai mic număr natural — 1 .

Cel mai mare număr natural nu exista.

Numărul zero nu este folosit pentru numărare. Prin urmare, zero nu este considerat un număr natural.

Oamenii au învățat să scrie numere mult mai târziu decât să numere. În primul rând, au început să înfățișeze o unitate cu un singur stick, apoi cu două bețe - numărul 2, cu trei - numărul 3.

| — 1, || — 2, ||| — 3, ||||| — 5 …

Apoi au existat semne speciale pentru desemnarea numerelor - predecesorii numerelor moderne. Numerele pe care le folosim pentru a scrie numere s-au născut în India acum aproximativ 1.500 de ani. Au fost aduși în Europa de arabi, așa că sunt numiți numere arabe.

În total sunt zece cifre: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Folosind aceste numere, puteți scrie orice număr natural.

Tine minte!

Gama naturală Este o secvență a tuturor numerelor naturale:

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12 …

Într-un rând natural, fiecare număr este mai mare decât precedentul cu 1.

Numărul natural este infinit, cel mai mare număr natural nu există în el.

Sistemul de numărare pe care îl folosim se numește pozițional zecimal.

Zecimal, deoarece 10 unități din fiecare cifră formează 1 unitate din cea mai semnificativă cifră. Poziționată, deoarece valoarea unei cifre depinde de locul ei în înregistrarea numărului, adică de cifra în care este scrisă.

Important!

Clasele care urmează miliardului sunt numite în funcție de numele latine ale numerelor. Fiecare unitate următoare conține o mie de anterioare.

• 1.000 de miliarde \u003d 1.000.000.000.000 \u003d 1 trilion („trei” este latină pentru „trei”)
• 1.000 trilioane \u003d 1.000.000.000.000.000 \u003d 1 sfert de miliard („quadra” este latină pentru „patru”)
• 1.000 cvadrilete \u003d 1.000.000.000.000.000.000 \u003d 1 chintillion („quint” este latină pentru „cinci”)

Cu toate acestea, fizicienii au găsit un număr care depășește numărul tuturor atomilor (cele mai mici particule de materie) din întregul univers.

Acest număr a primit un nume special - googol... Googol este un număr cu 100 de zerouri.