• Probabilitatea este gradul (măsură relativă, evaluarea cantitativă) a posibilității apariției unui anumit eveniment. Când motivele pentru care orice eveniment posibil să se întâmple în realitate depășesc motivele opuse, acest eveniment este numit probabil, altfel este puțin probabil sau de necrezut. Preponderența motivelor pozitive față de cele negative și invers, poate fi în grade diferite, ca urmare a cărei probabilitate (și improbabilitate) este mai mare sau mai mică. Prin urmare, deseori probabilitatea este evaluată la nivel calitativ, în special în cazurile în care o evaluare cantitativă mai mult sau mai puțin precisă este imposibilă sau extrem de dificilă. Sunt posibile diverse gradări ale „nivelurilor” de probabilitate.

  Studiul probabilității din punct de vedere matematic este o disciplină specială - teoria probabilității. În teoria probabilității și în statistici matematice, conceptul de probabilitate este formalizat ca o caracteristică numerică a unui eveniment - o măsură de probabilitate (sau valoarea lui) - o măsură asupra unui set de evenimente (subseturi ale unui set de evenimente elementare), luând valori din

    (\\ displaystyle 0)

    (\\ displaystyle 1)

  Valoare

    (\\ displaystyle 1)

  Corespunde unui eveniment de încredere. Un eveniment imposibil are o probabilitate de 0 (inversul nu este întotdeauna adevărat). Dacă probabilitatea unui eveniment este

    (\\ displaystyle p)

  Atunci probabilitatea neapariției sale este egală cu

    (\\ displaystyle 1-p)

  În special, probabilitatea

    (\\ displaystyle 1/2)

  Indică o probabilitate egală de apariție și non-apariție a unui eveniment.

  Definiția clasică a probabilității se bazează pe conceptul de rezultate de egalitate de șanse. Probabilitatea este raportul dintre numărul rezultatelor favorabile acestui eveniment și numărul total de rezultate la fel de posibile. De exemplu, probabilitatea ca o coadă de vultur sau o coadă de vultur să cadă în cazul unei flipuri aleatorie a monedelor este 1/2, dacă se presupune că doar aceste două posibilități au loc și sunt la fel de posibile. Această „definiție” clasică a probabilității poate fi generalizată în cazul unui număr infinit de valori posibile - de exemplu, dacă un anumit eveniment se poate întâmpla cu o probabilitate egală în orice punct (numărul de puncte este infinit) într-o zonă limitată de spațiu (plan), atunci probabilitatea că se va întâmpla în unele o parte din această suprafață admisibilă este egală cu raportul dintre volumul (suprafața) acestei părți și volumul (suprafața) zonei tuturor punctelor posibile.

  „Definiția” empirică a probabilității este asociată cu frecvența apariției unui eveniment, pornind de la faptul că, cu un număr suficient de mare de teste, frecvența ar trebui să tinde până la un grad obiectiv de posibilitate a acestui eveniment. În prezentarea modernă a teoriei probabilității, probabilitatea este determinată axiomatic, ca un caz special al teoriei abstracte a măsurii unui set. Cu toate acestea, legătura dintre măsura abstractă și probabilitate, care exprimă gradul de posibilitate de apariție a unui eveniment, este tocmai frecvența observării acestuia.

  O descriere probabilistică a anumitor fenomene a devenit larg răspândită în știința modernă, în special în econometrie, fizica statistică a sistemelor macroscopice (termodinamice), unde chiar și în cazul unei descrieri deterministice clasice a mișcării particulelor, o descriere deterministă a întregului sistem de particule nu pare practic posibilă și convenabilă. În fizica cuantică, procesele în sine sunt de natură probabilistică.

Uniunea (suma logică) a N evenimentelor se numește eveniment care se observă de fiecare dată când apare cel puțin unul dintreevenimente . În special, unirea evenimentelor A și B se numește eveniment A+ B   (pentru unii autori
), care se observă când vinesau   Asau   Bsau   ambele evenimente în același timp(Fig. 7). Semnul intersecției în formulările textului evenimentelor este unirea "sau".

Fig. 7. Combinarea evenimentelor A + B

Trebuie să se țină seama de faptul că probabilitățile evenimentului P (A) corespund atât părții stângi a eclozionului din Fig. 7 figuri, iar partea sa centrală, marcată ca
. Iar rezultatele corespunzătoare evenimentului B sunt situate atât în \u200b\u200bpartea dreaptă a figurii eclozionate, cât și în cea marcată
partea centrală. Astfel, atunci când este adăugat și zonă
va introduce efectiv această sumă de două ori, iar expresia exactă pentru zona figurii eclozate are forma
.

Asa de, probabilitatea de asociere  două evenimente A și B sunt egale

Pentru un număr mai mare de evenimente, expresia generală calculată devine extrem de greoaie, datorită necesității de a lua în considerare numeroase opțiuni pentru zone suprapuse. Cu toate acestea, dacă evenimentele care trebuie combinate sunt incompatibile (vezi p. 33), atunci suprapunerea regiunilor este imposibilă, iar zona favorabilă este determinată direct de suma regiunilor corespunzătoare evenimentelor individuale.

Probabilitate asociațiile  număr arbitrar incompatibilevenimente definit de expresie

Corolarul 1: Un grup complet de evenimente constă din evenimente incompatibile, dintre care unul este realizat în mod necesar în experiment. Ca rezultat dacă evenimente …
,formează un grup completapoi pentru ei

În acest fel,

CUconsecința 3  Considerați că afirmația opusă „cel puțin unul dintre evenimente se va întâmpla …
„Este afirmația” niciunul dintre evenimente …
neimplementat. " Adică, cu alte cuvinte, „evenimentele vor fi observate în experiment , și , si si ”, Care este deja intersecția evenimentelor opuse setului inițial. De aici, luând în considerare (2 .0), pentru combinarea unui număr arbitrar de evenimente, obținem

Corolarele 2, 3 arată că, în cazurile în care un calcul direct al probabilității unui eveniment este problematic, este util să estimați complexitatea studierii unui eveniment care este opus acestuia. La urma urmei, cunoașterea sensului
, obțineți de la (2 .0) valoarea dorită
nu mai reprezintă nicio forță de muncă.

1. Exemple de calcul al probabilităților de evenimente complexe

Exemplul 1 : Doi elevi (Ivanov și Petrov) împreună euam apărat munca de laborator învățând primii 8întrebări trolly pentru această lucrare din 10 disponibile. Verificarea pregătirii, pagprofesorul cere tuturor doar unuln întrebare selectată la întâmplare. Determinați probabilitatea următoarelor evenimente:

A  \u003d „Ivanov va proteja lucrările de laborator”;

B  \u003d „Petrov va proteja lucrările de laborator”;

C  \u003d „Ambele vor proteja lucrările de laborator”;

D  \u003d „Cel puțin unul dintre studenți va proteja munca”;

E  \u003d „Un singur student va proteja munca”;

F  \u003d „Niciunul dintre ei nu va proteja lucrarea.”

Decizie. Rețineți că capacitatea de a proteja munca ca Ivanov, taK și Petrova sunt determinate individual numai de numărul de întrebări însușila . (Notă: în acest exemplu, valorile fracțiilor obținute nu au fost reduse în mod conștient pentru a simplifica compararea rezultatelor calculului.)

EvenimentC  poate fi formulat altfel decât „lucrarea va fi protejată atât de Ivanov cât și de Petrov”, adică se va întâmplași   evenimentA, și   evenimentB. Deci evenimentulC  este o intersecție de evenimenteA  șiBși în conformitate cu (2 .0)

unde apare factorul „7/9” datorită faptului că apare evenimentulA  înseamnă că Ivanov a primit o întrebare „bună”, ceea ce înseamnă că Petrov are acum doar 7 întrebări „bune” din cele 9 întrebări rămase.

EvenimentD  implică faptul că „protejați muncasau   Ivanovsau   Petrov,sau   amândoi sunt împreună ”, adică cel puțin unul dintre evenimente se va întâmplaA  șiB. Deci evenimentulD  este o combinație de evenimenteA  șiBși în conformitate cu (2 .0)

care satisface așteptările, ca. chiar și pentru fiecare dintre studenți individual, șansele de reușită sunt destul de mari.

CUgeneza E înseamnă că „fie Ivano va proteja lucrareac, iar Petrov „pdescompun, "sau   Ivanov nu va reușio solicitare și Petrov va face față protecției. ” Prin urmare, două opțiuni alternative se exclud reciproc (incompatibile)

În cele din urmă, afirmațiaF  va fi adevărat numai dacă "și   Ivanovși   Petrov cu protecțienu   va face față ”. Asa de,

Aceasta completează soluția problemei, dar este util să rețineți următoarele puncte:

1. Fiecare dintre probabilitățile obținute îndeplinește condiția (1 .0), noh dacă pentru
și
obține un conflictoameni cu  (1 .0) în principiu imposibil, atunci pentru
încercare șiutilizarea (2 .0) în loc de (2 .0) ar duce în mod evident lavaloare obiectivă
. Este important să vă amintiți că o astfel de valoare a probabilității este fundamental imposibilă, iar atunci când obțineți un astfel de rezultat paradoxal, începeți imediat să căutați erori.

2. Probabilitățile găsite satisfac relațiilem

.

Eatunci este de așteptat ca evenimenteC, E  șiF  formular completgrup și evenimenteD  șiF  opus unul altuia. Contabilitate pentru acesteapot fi utilizate raporturi pe de o partevan pentru a verifica calculele, și într-o altă situație poate servi drept bază pentru o modalitate alternativă de soluționare a problemei.

P notă : Nu neglijați fixarea scrisăformularea exactă a evenimentului, în caz contrar, în cursul soluționării problemei, puteți trece involuntar la o interpretare diferită a sensului acestui eveniment, care va atrage erori în raționament.

Exemplul 2 : Într-un lot mare de cipuri care nu au trecut controlul de calitate al ieșirii, 30% din produse sunt defecte.Dacă selectați aleatoriu două cipuri din acest lot, atunci ceprobabilitatea ca printre ele:

A  \u003d „Ambele se potrivesc”;

B  \u003d „Exact 1 cip utilizabil”;

C  \u003d „Ambele defecte.”

Să analizăm următorul argument   (cu atenție, conține o eroare):

Deoarece acesta este un lot mare de produse, eliminarea mai multor microcircuite din acesta practic nu afectează raportul dintre numărul de produse adecvate și defecte, ceea ce înseamnă că alegerea mai multor microcircuite din acest lot de mai multe ori la rând, putem presupune că în fiecare caz probabilități neschimbate

= P(produs defect defect selectat) \u003d 0,3 și

= P(produs adecvat selectat) \u003d 0,7.

Pentru un evenimentA  este necesar săși   la început,și   a doua oară a fost ales un produs adecvat și, prin urmare (având în vedere independența succesului în alegerea primului și celui de-al doilea microcircuit între ele) pentru intersecția evenimentelor, avem

În mod similar, pentru ca evenimentul C să apară, ambele produse trebuie să fie defecte, iar pentru a obține B trebuie să selectați unul adecvat o dată și un produs defect.

Semn de eroare. Xtoate probabilitățile de mai susși arată plauzibil, atunci când sunt combinate, sunt ușor de făcutobserva asta .Cu toate acestea, cazuriA, B  șiC  formează un completgrupul de evenimente pentru care să ruleze .Această contradicție indică prezența unui fel de eroare în raționament.

CU a face greșeli. Vă prezentăm două auxiliareevenimente din in:

\u003d „Primul cip este bun, al doilea este defect”;

\u003d "Primul cip este defect, al doilea este bun."

Evident, însă, doar o astfel de opțiune de calcul a fost utilizată mai sus pentru a obține probabilitatea unui evenimentBdeși evenimenteB  și nu sunt uechivalent. De fapt,
deoarece cuvântareevenimenteB  necesită ca printre microcipuri exactunu dar completnu neapărat primul   era în formă (iar celălalt era defect). Prin urmare, deși eveniment nu un eveniment dublu , dar ar trebui să țină contindependent. Având în vedere incompatibilitatea evenimentelor și ,    probabilitatea sumei lor logice va fi egală cu

După corectarea specificată a calculelor, avem

ceea ce confirmă indirect corectitudinea probabilităților constatate.

Notă : Acordați o atenție deosebită diferențelor din formularea evenimentelor de tipul „numaiprimul   dintre articolele enumerate ar trebui doar ... "și"unu   din ele enumerateentov ar trebui ... ". Ultimul eveniment este clar mai larg și includetprimul ca fiind unul (posibil numeroasex) opțiuni. Aceste alternative (chiar dacă probabilitățile lor coincid) ar trebui să fie luate în considerare independent una de cealaltă.

P notă : Cuvântul „procent” provine de la „pe cent”, I.e.- Pentru o sută. Reprezentarea frecvențelor și a probabilităților în procente permite operarea cu valori mai mari, ceea ce uneori simplifică percepția valorilor „după ureche”. Cu toate acestea, utilizarea calculelor pentru o normalizare corectă, înmulțirea sau divizarea cu „100%” este greoaie și ineficientă. În această privință, nuatunci când utilizați valori, menționațiprocente, înlocuiți-le în expresiile calculatesub forma fracțiunilor unei unități (de exemplu, se scrie 35% în calculÎmi place „0.35”) pentru a reduce riscul de a normaliza greșit rezultatele.

Exemplul 3 : Un set de rezistențe conține o rezistență n4 kOhm, trei rezistențe de 8 kOhm și șase rezistențe15 ohm rezistențe. Trei rezistențe selectate la întâmplare sunt conectate între ele în paralel. Determinați probabilitatea obținerii rezistenței finale care să nu depășească 4 kOhm.

Resh eden.   Rezistența la conexiunea paralelă rezistoricul poate fi calculat după formulă

.

Acest lucru vă permite să introduceți evenimente, cum ar fi

A  \u003d "Trei rezistențe de 15 kΩ selectate" \u003d "
”;

B  \u003d „Îndouă rezistențe de 15 kOhm și una cu rezistențăm 8 kOhm "\u003d"
”…

Un grup complet de evenimente care corespund stării problemei include o serie întreagă de opțiuni și, mai precis, acesteacare corespund cerinței avansate de obținere a unei rezistențe de cel mult 4 kOhm. Cu toate acestea, deși există o cale de soluție „directă” care implică calcul (și sume ulterioare)cerința) a probabilităților care caracterizează toate aceste evenimente și este corectă, acționând astfel nu este practic.

Rețineți că pentru a obține o rezistență totală mai mică de 4 kΩ drezidual, astfel încât cel puțin un rezistor cu rezistențămai puțin de 15 kΩ. Astfel, numai în cazA  cerința sarcinii nu este îndeplinită, adică evenimentA  este unopus   în studiu. In orice caz,

.

În acest fel, .

P ri graba : Calcularea probabilității unui evenimentA, nu uitați să analizați complexitatea determinăriisunt probabilitatea unui eveniment opus lui. Dacăa citi
ușor, de aici trebuie să începemalte sarcinicompletarea acestuia prin aplicarea raportului (2 .0).

P exemplu 4 : În cutie suntn   albem   negru șik   bile roșii. Bile sunt scoase din cutie la întâmplare.și reveniți după fiecare extracție. Determinați probabilitateaevenimenteA  \u003d „Bila albăva fi verificat înainte de negru” .

Resh eden.   Luați în considerare următorul set de evenimente

\u003d "Bila albă a fost eliminată la prima încercare";

\u003d "Mai întâi au scos mingea roșie, apoi cea albă";

\u003d „De două ori a scos mingea roșie, iar a treia oară - alb”…

Așa cădacă bilele revin, atunci secvențaviaţă   poate fi formal infinit de lungă.

Aceste evenimente sunt incompatibile și constituie împreună setul de situații în care se produce evenimentul.A. În acest fel,

Este ușor de observat că termenii din forma sumeiprogresie geometrică   cu element de pornire
și numitor
. Dar sumeleiar elementele progresiei geometrice infinite sunt egale

În acest fel, . Leste curios că această probabilitate (după cum rezultă din cele obținuteexpresia) nu depinde de numărul de bile roșii din cutie.

Scurtă teorie

Pentru o comparație cantitativă a evenimentelor în funcție de gradul de posibilitate a apariției lor, este introdusă o măsură numerică, care se numește probabilitatea evenimentului. Probabilitatea unui eveniment întâmplător  numit număr, care este o expresie a unei măsuri a posibilității obiective a apariției unui eveniment.

Valorile care determină cât de semnificative sunt motivele obiective pentru care se așteaptă să se producă un eveniment sunt caracterizate de probabilitatea evenimentului. Trebuie subliniat faptul că probabilitatea este o cantitate obiectivă care există independent de cel care cunoaște și este determinată de totalitatea condițiilor care contribuie la apariția unui eveniment.

Explicațiile pe care le-am dat conceptului de probabilitate nu sunt o definiție matematică, deoarece nu cuantifică acest concept. Există mai multe definiții ale probabilității unui eveniment aleatoriu, care sunt utilizate pe scară largă în rezolvarea unor probleme specifice (definiția clasică, geometrică a probabilității, statistică etc.).

Definiția clasică a probabilității evenimentului  reduce acest concept la un concept mai elementar de evenimente la fel de posibile, care nu mai este supus definiției și se presupune că este intuitiv clar. De exemplu, dacă zarurile sunt un cub omogen, atunci căderea de pe oricare dintre fețele acestui cub va fi evenimente la fel de posibile.

Permiteți unui eveniment de încredere să se încadreze în cazuri la fel de posibile, a căror sumă dă evenimentul. Adică, cazurile din care se desparte se numesc favorabile evenimentului, deoarece apariția unuia dintre ele oferă o ofensivă.

Probabilitatea unui eveniment va fi notată cu un simbol.

Probabilitatea unui eveniment este egală cu raportul dintre numărul de cazuri favorabile acestuia, de la numărul total al singurelor cazuri posibile, la fel de posibile și incompatibile cu numărul, adică.

Aceasta este definiția clasică a probabilității. Astfel, pentru a afla probabilitatea unui eveniment, este necesar, după ce am examinat diferitele rezultate ale testului, să găsim setul singurelor cazuri posibile, la fel de posibile și incompatibile, să se calculeze numărul lor total n, numărul de cazuri m favorabile pentru acest eveniment și apoi se efectuează calculul conform formulei de mai sus.

Probabilitatea unui eveniment să fie egală cu raportul dintre numărul rezultatelor experienței favorabile evenimentului și numărul total al rezultatelor experienței este denumit probabilitatea clasică  eveniment întâmplător.

Următoarele proprietăți ale probabilității provin din definiție:

Proprietatea 1. Probabilitatea unui eveniment de încredere este una.

Proprietatea 2. Probabilitatea unui eveniment imposibil să fie zero.

Proprietatea 3. Probabilitatea unui eveniment întâmplător este un număr pozitiv, încheiat între zero și unu.

Proprietatea 4. Probabilitatea de apariție a evenimentelor care formează un grup complet este egală cu una.

Proprietatea 5. Probabilitatea apariției evenimentului opus este determinată în același mod cu probabilitatea apariției evenimentului A.

Numărul de cazuri care determină apariția evenimentului opus. Prin urmare, probabilitatea apariției evenimentului opus este egală cu diferența dintre unitate și probabilitatea producerii evenimentului A:

Un avantaj important al definiției clasice a probabilității unui eveniment este că, cu ajutorul său, probabilitatea unui eveniment poate fi determinată fără a apela la experiență, ci bazată pe raționament logic.

Când un set de condiții este îndeplinit, cu siguranță se va întâmpla un eveniment fiabil, dar imposibilul nu se va întâmpla. Printre evenimentele care, atunci când se creează un complex de condiții, pot sau nu să apară, aspectul unora poate fi de așteptat cu o mai mare justificare, apariția altora cu o justificare mai mică. Dacă, de exemplu, există mai multe bile albe în urnă decât cele negre, atunci există mai multe motive pentru a spera ca o minge albă să apară atunci când mingea este scoasă din urnă decât pentru o minge neagră.

Pe pagina următoare este luat în considerare.

Exemplu de rezolvare a problemelor

Exemplul 1

În cutie există 8 bile albe, 4 negre și 7 roșii. Extras la întâmplare 3 bile. Găsiți probabilitățile următoarelor evenimente: - este extrasă cel puțin 1 bilă roșie; - există cel puțin 2 bile de aceeași culoare; - există cel puțin 1 bilă roșie și 1 bilă albă.

Soluția problemei

Găsim numărul total de rezultate ale testului ca număr de combinații de 19 (8 + 4 + 7) elemente din 3:

Găsiți probabilitatea unui eveniment   - se extrage cel puțin 1 bilă roșie (1,2 sau 3 bile roșii)

Probabilitate căutată:

Lasa evenimentul - există cel puțin 2 bile de aceeași culoare (2 sau 3 bile albe, 2 sau 3 bile negre și 2 sau 3 bile roșii)

Numărul rezultatelor propuse pentru eveniment:

Probabilitate căutată:

Lasa evenimentul   - există cel puțin o bilă roșie și 1 albă

(1 roșu, 1 alb, 1 negru sau 1 roșu, 2 alb sau 2 roșii, 1 alb)

Numărul rezultatelor propuse pentru eveniment:

Probabilitate căutată:

Răspuns:P (A) \u003d 0,773; P (C) \u003d 0,7688; P (D) \u003d 0,6068

Exemplul 2

Două zaruri sunt aruncate. Găsiți probabilitatea ca scorul total să fie de cel puțin 5.

Decizie

Fie ca evenimentul să fie în total de cel puțin 5 puncte

Folosim definiția clasică a probabilității:

Numărul total de rezultate ale testelor posibile

Numărul de încercări favorabile evenimentului care ne interesează

Un punct, două puncte ..., șase puncte pot apărea pe marginea abandonată a primului zar. În mod similar, șase rezultate sunt posibile atunci când aruncă o a doua matriță. Fiecare dintre rezultatele aruncării primului os poate fi combinată cu fiecare dintre rezultatele celui de-al doilea. Astfel, numărul total de rezultate elementare posibile ale testului este egal cu numărul de destinații de plasare cu repetări (selecția cu destinații de plasare a 2 elemente din volumul total de 6):

Găsiți probabilitatea evenimentului opus - scorul total este mai mic de 5

Evenimentul va fi facilitat de următoarele combinații de puncte:

Prețul este puternic influențat de urgența deciziei (de la o zi la câteva ore). Ajutorul online la examen / test este programat.

Aplicația poate fi lăsată direct în chat, după ce a aruncat anterior starea sarcinilor și vă permite să știți timpul necesar pentru rezolvarea acesteia. Timpul de răspuns este de câteva minute.

Fie că ne place sau nu, viața noastră este plină de tot felul de accidente, atât plăcute, cât și nu atât de bune. Prin urmare, nu ne-ar strica fiecare dintre noi să știm cum să găsim probabilitatea unui eveniment. Acest lucru va ajuta la luarea deciziilor corecte în orice circumstanțe care sunt asociate cu incertitudinea. De exemplu, astfel de cunoștințe se vor dovedi foarte utile atunci când alegeți opțiuni de investiții, evaluați posibilitatea de a câștiga un stoc sau o loterie, pentru a determina realitatea realizării obiectivelor personale etc.

Formula teoriei probabilității

În principiu, studierea acestui subiect nu necesită prea mult timp. Pentru a obține răspunsul la întrebarea: „Cum să găsiți probabilitatea vreunui fenomen?”, Trebuie să înțelegeți conceptele cheie și să vă amintiți principiile de bază pe care se bazează calculul. Deci, conform statisticilor, evenimentele cercetate sunt notate de A1, A2, ..., An. Fiecare dintre ele are atât rezultate favorabile (m), cât și numărul total de rezultate elementare. De exemplu, ne interesează cum să găsim probabilitatea ca în fața superioară a cubului să existe un număr egal de puncte. Apoi A este o aruncare m - o pierdere de 2, 4 sau 6 puncte (trei opțiuni favorabile), iar n este toate cele șase opțiuni posibile.

Formula de calcul în sine este următoarea:

Cu un singur rezultat, totul este extrem de ușor. Dar cum să găsești probabilitatea dacă evenimentele au loc una după alta? Luați în considerare acest exemplu: o carte este afișată de pe un pachet de carduri (36 buc.), Apoi este ascunsă din nou într-o punte, iar după amestecare, următorul este scos. Cum să găsești probabilitatea ca în cel puțin un caz să fie scoasă o doamnă de pică? Există următoarea regulă: dacă se ia în considerare un eveniment complex, care poate fi împărțit în mai multe evenimente simple incompatibile, atunci puteți calcula mai întâi rezultatul pentru fiecare dintre ele, apoi adăugați-le împreună. În cazul nostru, va arăta astfel: 1/36 + 1/36 \u003d 1/18. Dar ce se întâmplă atunci când mai multe se întâmplă simultan? Apoi multiplicăm rezultatele! De exemplu, probabilitatea ca la întoarcerea a două monede simultan, două cozi să cadă va fi: ½ * ½ \u003d 0,25.

Acum să luăm un exemplu și mai complex. Să presupunem că am lovit o loterie de cărți în care câștigă zece din cele treizeci de bilete. Este necesar să se stabilească:

1. Probabilitatea ca ambele să fie câștigătoare.
2. Cel puțin unul dintre ei va aduce un premiu.
3. Ambele vor pierde.

Deci, luați în considerare primul caz. Poate fi împărțit în două evenimente: primul bilet va fi fericit, iar al doilea va fi, de asemenea, fericit. Luați în considerare faptul că evenimentele sunt dependente, deoarece după fiecare tragere, numărul total de opțiuni scade. Primim:

10 / 30 * 9 / 29 = 0,1034.

În al doilea caz, va trebui să determinați probabilitatea unui bilet pierdut și să țineți cont de faptul că acesta poate fi fie primul la rând, fie al doilea: 10/30 * 20/29 + 20/29 * 10/30 \u003d 0,4598.

În cele din urmă, cel de-al treilea caz, când nu vei putea scoate nici măcar o carte din loterie: 20/30 * 19/29 \u003d 0,4368.