и других древних авторов. Современники упоминали 40 апорий Зенона , до нас дошли 9, из них наиболее известны 4 , обсуждаемые в «Физике» Аристотеля .

«Зенон не создал самостоятельного учения; написанное им сочинение имело, по сути дела, полемический характер: в нем Зенон с помощью чисто логических аргументов доказывал, что допущение множественности вещей и возможности движения приводит к выводам, которые исключают друг друга. Научное значение так называемых «апорий» Зенона состояло в том, что в них Зенон натолкнулся на проблему континуума, обнаружив, что непрерывная величина не может трактоваться как совокупность дискретных точек (и, соответственно, движение не состоит из множества положений покоя). В этой связи представляется несущественным, была ли полемика Зенона направлена против числового атомизма пифагорейцев (как полагал, например, английский историк античной философии Дж. Вернет) или же ее смысл состоял исключительно лишь в том, чтобы поддержать учение Парменида (как об этом писал Платон в «Пармениде»). Проблематика аргументов Зенона далеко выходит за пределы конкретной исторической ситуации, обусловившей их появление. Анализу «апорий» Зенона посвящена колоссальная литература: особенно большое внимание им уделялось в последние сто лет, когда математики стали усматривать в них предвосхищение парадоксов современной теории множеств. Наряду с этим сочинение Зенона служит яркой демонстрацией нового этапа, достигнутого греческим научным мышлением. В нём нет и следа заключений по аналогии, столь типичных для мыслителей милетской школы. Рассуждения Зенопа являются исторически первым примером чисто логических доказательств. По этой причине имя Зенона можно обнаружить на первых страницах любого учебника по истории логики» .

Рожанский И.Д., Античная наука, М., «Наука», 1980 г., с. 52.

«О жизни и деятельности Зенона почти ничего неизвестно. Сохранилось больше легенд о его смерти. На склоне лет примерно в 430 г до н. э. он вступил в заговор с целью свергнуть тирана Неарха (по другим источникам - Диомедона). Организовав заговор, но потерпев неудачу, Зенон был схвачен, подвергнут допросам и пыткам, но ни в чём не признался и не выдал соучастников. Философ сделал вид, будто что-то хочет сказать тирану и попросил его наклониться поближе, когда же Неарх сделал это, то Зенон схватил его зубами за ухо и не выпускал до тех пор, пока палачи не убили его. По другой версии, народ, потрясенный мужеством философа, восстал и убил ненавистного тирана.
Однажды кто-то спросил Зенона, что даёт ему философия, на это мудрец, не раздумывая, ответил: «Презрение к смерти».
Зенон был в числе пионеров в изобретении «диалектики» - метода опровержения противника путём выявления противоречий в его суждениях. Он в совершенстве владел искусством рассуждения и спора. Зенон первым после своего учителя Парменида стал применять в рассуждениях доказательства.
Если греческие философы VII- VI веков до н.э. только утверждали и прорицали, то, начиная с Парменида и Зенона, они уже аргументировали свои тезисы.
Зенон ввёл в научную практику доказательство от противного и доказательство путем приведения мысли к абсурду.
Особенно он прославил ся аргументами против возможности движения. Известен его тезис «Движенья нет» со знаменитым примером о том, что Ахиллес никогда не сможет догнать черепаху. От многочисленных трудов Зенона «Споры», «Против философов», «Истолкование воззрений Эмпедокла», «О природе» сохранилось лишь несколько фрагментов».

Табачкова Е.В., Философы, М., «Рипол классик», 2002 г., с. 163-165.

????? ? ???????) (ок. 490–430 до н.э.) – др.-греч. философ. Род. в Злее (Юж. Италия), ученик Парменида, развивавший его учение об едином, исключающем для чувств. восприятия всякую множественность вещей и всякое их движение. Поскольку элейцы были натурфилософами, а греч. натурфилософия была основана на стихийно-материалистич. понимании природы, философия З. Э. (как и др. элейцев) является материалистической. Поскольку, однако, чувств. космос З. Э. считал предметом смутных ощущений, объявляя подлинным предметом мышления только непрерывное единое бытие, этот материализм содержал в себе вполне определенные признаки дуалистич. метафизики, правда в форме весьма непоследовательной и непостоянной. Отрицая в чувств. бытии всякую непрерывность, З. Э. доказывал немыслимость его вообще, в т.ч. немыслимость его множественности и подвижности. А из немыслимости непрерывного чувств, бытия З. Э. выводил непрерывность как предмет чистой мысли. Аристотель считал его основателем диалектики (А 1.10), т.к. З. Э. много занимался установлением противоречий в области текучей множественности и, по-видимому, полагал, что истина выявляется посредством спора или истолкования противоположных мнений (есть указания на то, что З. Э. излагал свое учение в диалогич. форме). З. Э. известен своими знаменитыми парадоксами (апориями), к-рые доставили много труда не только др.-греч., но и совр. философам. Осн. аргументом против мыслимости множественности вещей у З. Э. является необходимость (в случае этой множественности) одновременного признания, с его точки зрения, вещей бесконечно малыми (т. к. их можно было бы делить до бесконечности) и бесконечно большими (т. к. не было бы конца для накопления все новых и новых частей). В численном отношении таких множеств вещей было бы тоже и ограниченное количество (т. к. их было бы столько, сколько их есть) и неограниченное (т. к. ко всякой вещи можно прибавить еще что-нибудь) (А 21, В 1–3). З. Э. здесь переносил логику конечных величин на бесконечность, к-рая возможна лишь как единство противоположностей. З. Э. выдвинул также аргументы – апории – против мыслимости движения: "Ахиллес", "Стрела", "Дихотомия", "Стадий". Первый аргумент (А 26) гласит, что быстроногий Ахилл никогда не может догнать самого медленного животного – черепаху, ибо при условии одновременного начала их движения в момент появления Ахилла на месте черепахи, она уже пройдет известное расстояние; и так будет во всех отдельных точках пути движения Ахилла и черепахи. Второй аргумент (А 27, В 4) гласит, что если летящая стрела находится в покое каждое отдельное мгновение, то она находится в покое и вообще, т.е. она не движется. Уже Аристотель, рассматривая этот аргумент (А 27), хорошо понимал, что движение вовсе не есть только сумма его отдельных моментов или промежутков. В аргументе "Дихотомия" (разделение на два) З. Э. доказывал, что для того, чтобы пройти определенный путь, надо пройти его половину, а чтобы пройти половину, надо пройти четверть этого пути; а чтобы пройти четверть, надо пройти 1/8 и т.д. до бесконечности; следовательно, для прохождения данного пути необходимо пройти бесконечное количество его отрезков, что потребовало бы бесконечного времени, т.е. движение вообще не может начаться (А 25). З. Э. здесь тоже не различал мысли о бытии и самого бытия (а именно деления в мысли и деления фактического), подобно тому как в аргументе против множественности вещей он не расчленял логику конечного и логику бесконечного. Это обстоятельство также заметил уже Аристотель (А 25). Наконец, З. Э. утверждал в аргументе "Стадий" (А 28): если два тела движутся друг к другу с одинаковой скоростью, то они встретятся на половине пути через определенный промежуток времени; если же одно из них будет двигаться с той же скоростью, а другое покоиться, то они встретятся через промежуток времени, вдвое больший; следовательно, движение, т.е. приближение одного тела к другому, будет, как думает З. Э., разным в зависимости от точки зрения на него, т.е. само по себе оно вовсе не есть движение. Аргументы З. Э. привели к кризису др.-греч. математики, преодоление к-рого было достигнуто только атомистич. теорией Демокрита. Осн. мысль апорий З. Э. (та же, что осн. мысль Парменида) состоит в том, что прерывность, множественность, движение характеризуют картину мира, как она воспринимается чувствами. Но эта картина – недостоверна. Истинная картина мира постигается посредством мышления. Попытка мыслить множество приводит математику к противоречию. Следовательно, множественность немыслима. То же с мыслимостью движения. Для демонстрации этих противоречий использовался постулат (ошибочный) современной З. Э. математики, согласно к-рому бесконечно большая сумма весьма малых слагаемых будет бесконечно велика. Т. о., диалектика З. Э. основывалась на постулате недопустимости противоречий в достоверном мышлении: появление противоречий, возникающих при предпосылке мыслимости множественности, прерывности и движения, рассматривается как свидетельство ложности самой предпосылки и в то же время свидетельствует об истинности противоречащих ей положений о единстве, непрерывности и неподвижности мыслимого (а не чувственно воспринимаемого) бытия. Критику аргументов З. Э. с позиций идеалистич. диалектики дал Гегель (см. "Лекции по истории философии", т. 9, Л., 1932, с. 235–45). С позиций материалистич. диалектики эта критика дана Лениным: "Движение есть сущность времени и пространства. Два основных понятия выражают эту сущность: (бесконечная) непрерывность (Kontinuit?t) и "пунктуальность" (= отрицание непрерывности, п р е р ы в н о с т ь). Движение есть единство непрерывности (времени и пространства) и прерывности (времени и пространства). Движение есть противоречие, есть единство противоречий" (Соч., т. 38, с. 253). Апории З. Э. явились важнейшим этапом на пути развития антич. диалектики, поскольку по существу вскрывали диалектичность и во внешнем мире, и в мышлении (хотя сам З. Э. использовал обнаружение противоречивости того и другого в целях доказательства метафизич. идей элеатов о едином и неподвижном). Они оказали существ, влияние и на развитие философии в новое время (напр., теория антиномий Канта) и продолжают играть большую роль в проникновении диалектики в совр. математич. логику. ?рагменты: Diels H., Die Fragmente der Vorsokratiker, 9 Aufl., Bd 1, В., 1959; Zeno of Elea. A text with transi, and notes by H. D. P. Lee, Camb., 1936; Досократики, ч. 2, пер. А. Маковельского, Каз., 1915. Лит.: История философии, т. 1, М., 1940, с. 72–77; История философии, т. 1, М., 1957, с. 88–91; Сватковский В. П., Парадокс Зенона о летящей стреле, "Ж. М-ва народного просвещения", 1888, No 4, отд. 5, с. 209–39; Херсонский Н. X., У истоков теории познания. (По поводу аргументов Зенона против движения), там же, 1911, No 8; Мандес М. И., Элеаты. Филологические разыскания в области греческой философии, "Зап. истор.-филологич. ф-та Новороссийского ун-та", 1911, вып. 4; Варьяш?., Логика и диалектика, М.–Л., 1928; Богомолов С. ?., Актуальная бесконечность. (Зенон Элейский, Ис. Ньютон, Г. Кантор), Л.-М., 1934; Дынник?. ?., Очерк истории философии классической Греции, М., 1936; Гокиели Л. П., О природе логического, Тб., 1958, с. 32–58; Попов С. И., К вопросу о роли закона единства и борьбы противоположностей в диалектической логике, М., 1959, с. 96–102; Wеllman ?., Zenos Beweise gegen die Bewegung und ihie Widerlegungen, Frankf. O., 1870; Tannery P., Le concept scientifique du continu. Z?non d´Е?l?e et G. Kantor, "Rev. Philos, de la France et de. l´?tranger", P., 1885, t. 20, p. 385–410; Fronterа G., Е?tude sur les arguments de Z?non d´El?e contre le mouvement, P., 1891; Сaroll L., What a tortoise said to Achilles, "Mind", new ser., 1895, v. 4, No 14, p. 278–80; Salinger R., Kants Antinomien und Zenons Beweise gegen die Bewegung, "Arch. Geschichte Philos.", 1906, Bd 19, S. 99–122; Frankel H., Wege und Formen fr?hgriechischen Denkens, M?hen., 1955; Fraenkel ?. ?., Abstract set theory, Amst., 1953, p. 11 (им. библиогр). А. Лосев. Москва. Апории З. Э. и современная н а у к а. Апории З. Э. не утратили значения и в наши дни, т.к. они относятся к осн. законам диалектики и к сложным проблемам из области оснований математики, связанным с абстракцией актуальной бесконечности. Вместе с тем при рассмотрении апорий с совр. т. зр. возникает ряд трудностей, обусловленных тем, что они дошли до нас только через комментаторов и критиков, – прежде всего, через Аристотеля, критикующего их в своей "Физике" (через 100 лет после их появления), и через комментарий Симпликия к "Физике" Аристотеля (написанный почти через тысячу лет после З. Э.) – и притом в виде кратких отрывков. Поэтому трудно судить о том, какие из предложенных реконструкций аргументов З. Э. (и в какой мере) исторически оправданы. Неясность имеется даже в вопросе о том, что именно хотел доказать или опровергнуть З. Э. Большинство историков философии полагает, что апории должны были доказать невозможность движения и существования многого с целью отстоять философию Парменида. В диалоге Платона "Парменид" (128 А–В) эту точку зрения высказывает молодой Сократ, к-рый упрекает З. Э. в том, что тот обманывает слушателей, делая вид, что говорит нечто новое, между тем как в действительности, если один утверждает бытие единого, а другой небытие многого, то оба говорят одно и то же. З. Э., однако, возражает против такой трактовки цели его апорий (см. тамже, С–Д). Он говорит, что его задачей было показать, что во взглядах противников Парменида во всяком случае не меньше противоречий, чем во взглядах Парменида. Не получил однозначного решения и вопрос о том, против кого именно выступал З. Э. Франц. историк математики П. Таннери считает, что З. Э. имел в виду пифагорейцев; др. ученые называют Анаксагора или Гераклита. То обстоятельство, что еще в древности элейцев называли "афизиками", т.е. врагами точной науки – физики (см. С. Я. Лурье, Теория бесконечно малых у древних атомистов, М.–Л., 1935, с. 45), заставляет думать, что З. Э. направлял свою критику против всех существовавших в его время науч. теорий движения и многого. В ту пору пифагорейцами уже была обнаружена несоизмеримость диагонали квадрата с его стороной, т.е. доказана несовместимость предположения о существовании точного квадрата (или, что то же самое, о существовании идеальных циркуля и линейки) с представлением всякого отрезка в виде суммы конечного числа неделимых одной и той же (отличной от нуля) величины; Анаксагор же настаивал на том, что никаких неделимых (в т.ч. и нулевой величины) не существует (Дильс, Досократики, фрагм. В 3). Из дошедших до нас апорий З. Э. ясно также, что в его времена существовали уже и теории, согласно к-рым конечные величины должны были состоять из бесконечного множества лишенных величины "неделимых" (точек, моментов). З. Э., таким образом, мог иметь дело с основами всех теорий, относящихся к соотношению непрерывного и дискретного и к пониманию движения, к-рые занимали др.-греч. ученых на протяжении всей истории античных математики и философии. Начиная с Аристотеля, Плутарха и Сенеки, вплоть до наших дней аргументы З. Э. порождали все новые и новые попытки их опровержения (из работ самого последнего времени отметим статьи К. Айдукевича, А. Грюнбаума, Садео Сираиси, см. Лит.). Вместе с тем у ряда мыслителей аргументы З. Э. встречали высокую оценку и сыграли значительную роль в истории философии. В духе этих аргументов составлены, напр., знаменитые антиномии Канта. Руководствуясь желанием преодолеть аргументы З. Э., Бергсон в своей философии интуитивизма говорит, что время не состоит из моментов, а промежуток времени не имеет четких границ. В настоящее время все более и более частыми и убедительными становятся замечания философов и специалистов по основаниям математики, свидетельствующие о том, что трудности, нашедшие отражение в апориях З. Э., и в наши дни нельзя считать преодоленными (см., напр., A. Fraenkel and Y. Bar-Hillel, Foundations of set theory, Amst., 1958, p. 260). Поскольку задача адэкватной реконструкции апорий не представляется еще однозначно разрешимой, трудно спорить даже с такими истолкованиями их, при к-рых они превращаются в очевидные нелепости. Подобное "опровержение" апорий З. Э. не решает, однако, действительных трудностей, связанных с той проблематикой, к к-рой они и история порожденных ими дискуссий относятся. Эти трудности связаны с апориями обеих групп, на к-рые, естественно, подразделяются дошедшие до нас аргументы З. Э., – и с теми, в к-рых "опровергается" существование многого [при этом многое понимается как актуально существующее: заданное всем набором своих элементов, т.е. как нек-рая полная, завершенная совокупность, а не как "одноместный предикат" (свойство), удовлетворяющий определ. требованиям (как это делается во многих совр. логико-математич. теориях)], и с теми, в к-рых вскрываются противоречия, относящиеся к отображению движения в логике понятий. К апориям первой группы относятся прежде всего аргументы, опровергающие существование многого на том основании, что "Если их [существующих вещей] много, то их должно быть столь много, сколько их есть, – не больше и не меньше. А если их столь много, сколько их есть, то их [число] ограничено. [Но] если существующих [вещей] много, то их [число] неограничено: ибо всегда существуют другие вещи между существующими [вещами], и снова другие между ними. И так [число] существующих [вещей] неограничено". (Симпликий, Физика, 140, 27) (Любая часть промежутка между вещами здесь, очевидно, также считается вещью; см. слова З. Э., к-рые приводит Симпликий: Дильс, Досократики, фрагм. В). В основе полученного в этой апории противоречия (что если в мире есть много вещей, то число их должно быть одновременно и конечным и бесконечным) лежит утверждение, что количество вещей в актуально завершенном множестве их должно быть "ограниченным" (конечным). Эта апория в эпоху расцвета "наивной" теории множеств (конец 19 – нач. 20 вв.) казалась полностью разрешенной на основе понятия о бесконечных кардинальных (т.е. количественных) числах, или мощностях, введенного в математику в 70-х годах Кантором (см. также Множеств теория). Однако неконструктивный характер канторовских актуально-бесконечных множеств (и соответствующих им чисел) сделал их неприемлемыми для представителей совр. конструктивных направлений в математике. Аристотель приводит еще одну апорию З. Э. этого же рода: "...именно, если все существующее помещается в известном месте, то ясно, что будет и место места, и так идет в бесконечность". С этой апорией Аристотель справляется, замечая, что место вещи само есть уже не вещь, к-рая нуждается в нек-ром "месте", а нечто аналогичное тому или иному состоянию вещи, наподобие того, как одна и та же вещь может быть и теплой и холодной; он не возражает, однако, против понятия о "месте места", но трактует последнее не как "место", т.е. не как состояние, а как нечто аналогичное свойству данного состояния, – как, напр., теплое (состояние) обладает свойством "быть полезным для здоровья", – почему вопрос о "месте места места" уже не возникает с необходимостью. "Таким образом нет необходимости итти в бесконечность" (Phys., IV, I, 209 а; рус. пер. 1937). Но рассуждения, аналогичные использованному здесь З. Э., встречаются и в современных основаниях математики, когда идущий в бесконечность натуральный ряд чисел порождается из "ничего" (из пустого множества) посредством того, что сначала рассматривается пустое множество: 0; затем множество {0}, единственным элементом к-рого является пустое множество; далее множество {0, }0}}, элементами к-рого являются 0 и {0}, и т.д. А возражения, к-рые выдвигаются против этой процедуры в наши дни, – напр., совр. номиналистами (Куайн, Гудмен) родственны возражениям Аристотеля (состоящим в том, что "место места" само не есть "место"), поскольку они основаны на том, что нельзя и мысленно объединять в множество вещи, к-рые не существуют раздельно друг от друга (так, нельзя рассматривать как особый объект пару, состоящую из человека и его руки, пока эта рука не отделена от человека). Особенно интересна апория, относящаяся к представлению протяженного тела (соответственно интервала времени) в виде множества (совокупности) непротяженных неделимых, – точек (соответственно, моментов времени). Поскольку лишенная всяких измерений точка (соответственно, момент времени) является идеализированной математич. абстракцией, на практике неуловимой (никто не имел дела в опыте с лишенной всяких измерений "точкой"), "построение" (хотя бы теоретическое) реально существующего тела из абстрактных "точек", естественно, вызывало возражения как раз у нек-рых материалистически мыслящих математиков и философов. Так, Лобачевский считал необходимым положить в основу геометрии не точку, а тело и определял точку как пару тел, определенным образом соприкасающихся друг с другом. Соответствующая апория З. Э. и представляет собой вопрос о том, как из ничего можно сложить (построить) что-нибудь: ведь сколько раз ни повторять ничто, ничего и не получится? "В самом деле, – пишет Аристотель, – если что-нибудь, поскольку оно прибавляется или отнято, не делает больше, или меньше, тогда, по словам Зенона, оно не принадлежит к числу существующего, причем существующее, очевидно, понимается как величина и постольку – как величина телесная: ведь именно такая величина обладает бытием в полной мере;... точка же и единица (нуль) (увеличение) ни при каких обстоятельствах" (Met., III, 4, 1001а 29 – в 25; рус. пер., 1934). Хотя Аристотель и называет эти рассуждения З. Э. "грубыми", он замечает тут же, что "все-таки [остается вопрос], как из одного подобного неделимого или нескольких таких получается величина?" В совр. литературе встречаются попытки (А. Грюнбаум) справиться с этими трудностями, ссылаясь на теоретико-множественную теорию меры, согласно к-рой несчетное множество множеств меры нуль может иметь уже и ненулевую меру, почему существование протяженных тел, очевидно, следует даже рассматривать, по Грюнбауму, как доказательство существования несчетных актуально-бесконечных множеств. Ясно, однако, что т. о. отнюдь не решаются гносеологич. трудности, связанные с неконструктивностью "построения" протяженных объектов в виде актуально-бесконечных (к тому же еще и несчетных) множеств непротяженных элементов. В лучшем случае эти трудности принимаются за решенные для к.-л. исходных объектов – напр., для отрезков вида , где??1, с помощью допущения, что ко всякой точке отрезка мы умеем отнести действительное число, отличающее ее от всех др. точек этого отрезка, хотя их и несчетное множество. Из четырех апорий З. Э., относящихся к движению, две ("Дихотомия" и "Ахиллес") относятся к трудностям, связанным с предположением неограниченной делимости отрезков пути и времени, а другие две ("Стрела" и "Стадий") – к трудностям, возникающим, наоборот, в предположении существования неделимых отрезков пути и атомов времени ("теперь"). В "Дихотомии", по Аристотелю, доказывается "...несуществование движения на том основании, что перемещающееся тело должно прежде дойти до половины чем до конца..." (Phys., VI 9, 239 в), почему движение не может закончиться, т.к. прежде чем дойти до конца, нужно будет еще пройти половину остатка, и т.д. (в "Лекциях по истории философии", см. Соч., т. 9, Л., 1932, Гегель излагает эту апорию, как опровергающую для движения возможность начаться, поскольку раньше чем дойти до половины пути, нужно дойти до половины этой половины, и т. д.; к невозможности закончиться в таком случае будет относиться уже только апория "Ахиллес"), Эта апория чаще всего трактуется просто как свидетельствующая о том, что З. Э. не располагал еще математич. понятием "предела" (не умел суммировать, напр., геометрич. прогрессию 1/2 + 1/4 + 1/8 + ...) и думал, что "сумма бесконечно большого (неограниченного) числа любых, хотя бы и чрезвычайно малых, протяженных величин обязательно должна быть бесконечно большой" (Симпликий, Комментарии к "Физике" Аристотеля, см. Diels, 3), почему и приходил к заключению, что движение-де "никогда" не закончится, а быстроногий Ахиллес не догонит черепаху. В действительности аргумент З. Э. можно истолковать так: представим себе, что нам нужно измерить длину нек-рого отрезка AB и у нас есть две "единицы" измерения, первоначально неотличимые друг от друга, но такие, что если первую (равно как и сам отрезок AB) считать абсолютно жесткой (не меняющейся в процессе измерения), то вторая оказывается такой, к-рая после каждого ее откладывания на измеряемом отрезке сокращается вдвое. Пусть в результате измерения первой "единицей" отрезок AB оказался имеющим длину 2. Тогда ясно, что в результате измерения второй "единицей" он окажется бесконечно большим: какое бы (конечное) число раз мы ни отложили нашу сокращающуюся "единицу" измерения, нам придется откладывать ее еще раз, и процесс измерения никогда не закончится: точка В в этом процессе будет недостижимой – "бесконечно удаленной" точкой. (Само собой разумеется, что аналогичное рассуждение применимо не только к отрезку, но и к интервалу времени). Именно такого рода процесс "измерения" отрезка фактически и рассматривает З. Э. Разница состоит в том, что З. Э. подчеркивает, что во всяком непрерывном движении точки по отрезку действительно осуществляется такой процесс, поскольку прежде чем пройти весь отрезок AB, нужно пройти его половину, прежде чем пройти оставшуюся половину, нужно пройти ее половину, и т.д. Чтобы достигнуть точки В, нужно, следовательно, закончить бесконечный, т.е. не имеющий конца, процесс, в чем и состоит диалектич. трудность: апория. Известный математик Г. Вейль писал в этой связи: "Если бы, в соответствии с парадоксом Зенона, отрезок длины 1 можно было составить из бесконечного количества отрезков длины 1/2, 1/4, 1/8,...," взятых каждый как отдельное целое, то непонятно, почему какая-нибудь машина, способная пройти эти бесконечно многие отрезки в конечное время, не могла бы совершить в конечное время бесконечное множество актов решения, давая, скажем, первый результат через 1/2 минуты, второй – через 1/4 минуты после этого, третий – через 1/8 минуты после второго и т.д. Таким образом оказалось бы возможным, в противоречие с самой сущностью бесконечного, чисто механическим путем рассмотреть весь ряд натуральных чисел и полностью разрешить все соответствующие проблемы существования (вроде Большой теоремы Ферма и др. трудных задач теории чисел)" ("О философии математики", сб. работ, М.–Л., 1934, с. 25). Смысл апории "Стрела" состоит в том, что если время слагается из неделимых "теперь" и всякое тело всегда либо покоится, либо движется, то, т.к. в течение неделимого "теперь" тело не может двигаться (иначе "теперь" подразделилось бы на части, соответствующие различным положениям тела), то в каждом "теперь" оно должно покоиться; поскольку же ничего, кроме "теперь", во всем промежутке времени нет, то тело вообще не может двигаться. Начиная с Аристотеля, решения этой апории всегда состояли в том, что различным образом уточнялись понятия движения и покоя. В частности, еще Аристотель говорил о том, что в применении к моменту времени нельзя говорить ни о движении, ни о покое. Эти понятия имеют смысл лишь в применении к промежутку времени, в течение к-рого тело может менять свое место, – и тогда оно движется, либо же не менять его, – и тогда оно покоится. Хороший и ясный обзор различных уточнений понятий движения и покоя, предложенных в целях решения трудностей, вскрытых З. Э., дает К. Айдукевич (см. Лит.). Характерной чертой всех этих решений является, однако, то обстоятельство, что в целях обоснования непротиворечивости движения, в осуществимости к-рого никто на самом деле не сомневался, авторы их пользуются допущениями об осуществимости вещей, заведомо неосуществимых: о том, что можно (с абсолютной точностью) уловить непротяженный (идеальный) момент времени; о том, что можно сопоставить каждому такому идеальному моменту времени не менее идеальную, лишенную всяких измерений, и поэтому нематериальную точку пути; о том, что всякую такую точку можно полностью индивидуализировать, "задав" ее действительным числом, т.е. не смущаясь тем, что при этом должно предполагаться известным все бесконечное множество десятичных цифр каждого (из нек-рого несчетного множества их) действительного числа, и др. В действительности такие допущения не препятствуют научности теории только потому, что последняя содержит в себе способы ее конечного приближенного истолкования, отнюдь не при всех условиях без противоречий применимого. А как раз эти способы в решениях диалектич. трудностей, связанных с отображением движения, обычно не обсуждаются. Ленин именно в связи с апориями З. Э. замечает, что задача отобразить движение в понятиях содержит в себе диалектич. противоречие, т.к. нельзя отобразить движение, к.-л. образом не остановив (не "омертвив") его, т.е. не обращаясь к его противоположности – к покою. "Мы не можем представить, выразить, смерить, изобразить движения, не прервав непрерывного, не упростив, угрубив, не разделив, не омертвив живого, – пишет Ленин. – Изображение движения мыслью есть всегда огрубление, омертвление, – и не только мыслью но и ощущением, и не только движения, но и в с я к о г о понятия. И в этом с у т ь диалектики. Э т у - т о с у т ь и выражает формула: единство, тождество противоположностей" (Соч., т. 38, с. 255). Самый обычный прием отображения движения, к-рым широко пользуется т.н. классич. механика, состоит в указании способа, позволяющего относить к любому моменту времени (из нек-рого промежутка времени: интервала) координаты, определяющие место движущейся точки. Этот прием не ведет, однако, к формально-логич. противоречию только благодаря тому, что мы, так сказать, перемещаем одну сторону противоречия за пределы нашей теории, – оставляем в ней только нужным образом идеализированные ("огрубленные") допущения и полностью отвлекаемся от несоответствия их действительному положению вещей. Так, с одной стороны, мы утверждаем, что нет таких (сколь угодно малых) интервалов времени, к-рые нельзя было бы подразделить на еще более малые (но тем не менее также протяженные) интервалы времени, в течение к-рых тело, о движении к-рого идет речь, не меняло бы места; с другой стороны, мы разрешаем себе считать "достаточно малые" протяженные интервалы времени непротяженными "моментами", т.е. позволяем себе отвлечься от происходящего в течение этих интервалов времени изменения места тела (от его движения). Правда, обычно добавляют, что действуя так, мы допускаем ошибку, почему и получаем только приближенные значения интересующих нас (измеряемых) величин (длины пути, времени движения, его скорости или ускорения и т. д.). Однако самые эти величины (в отличие от их "приближенных" значений) обычно рассматривают при этом как реально существующие идеально точные объекты, не смущаясь тем, что такое "существование" основано на допущениях, к-рые мы заведомо не считаем осуществимыми: никто ведь не сомневается в том, что нельзя уловить непротяженный "момент" времени или построить лишенную каких бы то ни было размеров точку! В действительности суть дела состоит в том, что "идеально точные" величины являются лишь огрубленным, упрощенным приближением к тому, что нам нужно с их помощью отобразить, – хорошим приближением, поскольку мы т. о. отвлекаемся от расплывчатости границ исследуемых объектов или явлений и выделяем жесткое существо дела: его центральное, огрубленное и остановленное ("омертвленное") ядро. За счет этого "омертвления" получаются уже однозначные ответы на интересующие нас вопросы: формально-логич. противоречия не возникают, – во всяком случае, непосредственно. К последнему мы приходим, однако, как только выясняется, что огрубление, на к-ром была основана наша идеализация, не в состоянии дать нам полной картины исследуемого явления: как только существенными оказываются именно те его стороны, от к-рых мы отвлеклись, огрубив его. Но и это противоречие снова разрешается посредством нек-рой идеализации, строящейся уже, однако, не на пустом месте, а на основе всего знания, добытого ранее (в т.ч. и с помощью тех идеализации, неправомерность к-рых – в применении к новым условиям – была обнаружена). В разрешении этих вновь и вновь возникающих противоречий, связанных с отображением движения (а следовательно, и с самой его сущностью), и состоит развитие науки, к-рое само есть процесс и носит, следовательно, тот же диалектич. характер. Что касается возражения противников диалектики, к-рые утверждают, будто движение есть нахождение тела в данный момент в данном месте, в др. момент – в др. месте, то оно обходит самое существо дела: в т.ч. вопрос о правомерности тех допущений о "точках" и "моментах", на к-рых оно основано. Между тем явная оценка правомерности идеализирующих предположений, позволяющих, с одной стороны, отрицать реальное существование непротяженных "точек" и "моментов", а с другой – отождествлять те или иные реальные, происходящие во времени, события с "моментами", те или иные материальные тела (вроде планет и солнца в космографии) с "точками", выяснение границ этой правомерности (границ различных в разных условиях) приобретает особое значение в связи с развитием современных (особенно ядерных) физики и техники. Приходится, т. о., на неизмеримо более высоком уровне развития науки возвращаться снова к проблематике, связанной с апориями З. Э. Фрагменты: Маковельский А. О., Древнегреческие атомисты, Баку, 1946, ч. 2, гл. 2, 4 – Математика. Лит.: Башмакова И. Г., Лекции по истории математики в Древней Греции, в кн.: Историко-математические исследования, вып. 11, М., 1958, с. 324–33; Russel В., Our knowledge of the external world as a field for scientific method in philosophy..., ch. 6, Chi., 1914; Сajоri F., The purpose of Zeno´s arguments on motion, "Isis", 1920, No 7 (t. 3); Waerden В. L. van der, Zenon und die Crundlagenkrise der griechischen Mathematik, "Math. Ann.", 1940, Bd 117, H. 2; Gr?nbaum A., A consistent conception of the extended linear continuum as an aggregate of unextended elements, "Philos. Sei.", 1952, v. 19, p. 288–306; его же, Modern science and refutation of the paradoxes of Zeno, "Sei. Monthly", 1955, v. 81, No 5, p. 234–39; Весkеr О., Grundlagen der Mathematik in geschichtlicher Entwicklung, Freiburg/M?nch., ; Sadeo Shiraishi, The structure of the continuity of psychological experiences and the physical world, "Sei. of Thought", Tokyo, 1954, No 1, p. 12–24 (реферат в журн.: "J. Symb. Logic", 1955, v. 20, No 2, p. 169–70); Ajdukiewicz K., ?ber Fragen der Logik, "Dtsch. ?. Philos", 1956, Jg. 4, 3, S. 318–38. С. Яновская. Москва.

Наверное, каждый сталкивался с таким словом, как «апория». Это и немудрено, ведь многие изучали в университете курс философии. Однако далеко не каждый знает сущность этого слова и сможет правильно его растолковать.

Апории Зенона Элейского - выдающийся памятник человеческой мысли. Это одна из интереснейших проблем в которая показывает, насколько парадоксальными могут оказаться совершенно очевидные на первый взгляд вещи.

Зенон: краткая биография мудреца

О страницах жизни нам почти ничего неизвестно. Да и та информация, что до нас дошла, является весьма противоречивой.

Зенон Элейский - философ Древней Греции, родившийся в 490 году в Элее. Прожил 60 лет и умер (предположительно) в 430 году до нашей эры. Зенон был учеником и приемным сыном другого известного философа - Парменида. Кстати, если верить Диогену, то он был еще и любовником своего учителя, однако эти сведения решительно отвергнул грамматик Афиней.

Первый диалектик (по стал известен благодаря своим логическим умозаключениям, которые получили название «апории Зенона». Философия Зенона Элейского - вся состоит из парадоксов и противоречий, отчего становится еще интересней.

Трагическая смерть философа

Тайнами и загадками окутана жизнь и смерть великого философа. Он известен также как деятель политики, из-за которой и погиб. Зенон, как утверждают некоторые источники, возглавил борьбу против элейского тирана Неарха. Однако философ был арестован, после чего его многократно и изощренно пытали. Но даже под страшнейшими пытками философ не выдал своих боевых товарищей.

Существует две версии смерти Зенона Элейского. По одной из них его изощренно казнили - бросили в огромную ступу и истолкли насмерть. Согласно другой версии, во время разговора с Неархом, Зенон бросился на тирана и откусил его ухо, за что моментально был убит слугами.

Известно, что философ создал не менее сорока различных апорий, однако до нас дошли только девять из них. Среди самых популярных апорий Зенона «Стрела», «Ахиллес и черепаха», «Дихотомия» и «Стадий».

Древнегреческий философ, апориями которого до сих пор озадачен не один десяток современных исследователей, поставил под сомнение существование таких незыблемых категорий, как движение, множество и даже пространство! Дискуссии, спровоцированные парадоксальными высказываниями Зенона Элейского, ведутся до сих пор. Богомолов, Сватковский, Панченко и Манеев - вот далеко не полный список ученых, которые занимались этой проблемой.

Апория - это…

Так какова же суть этого понятия? И в чем состоит парадоксальность апорий Зенона Элейского?

Если перевести греческое слово «aporia», то апория - это «безвыходное положение» (дословно). Она возникает из-за того, что в самом предмете (или в его трактовке) спрятано определенное противоречие.

Можно говорить о том, что апория - это (в философии) проблема, решение которой сопряжено с большими трудностями.

Своими умозаключениями Зенон существенно обогатил диалектику. И хоть современные математики уверены, что они опровергли апории Зенона, они все равно таят в себе еще множество загадок.

Если же трактовать философию Зенона, апория - это, в первую очередь, абсурдность и невозможность существования движения. Хотя сам философ, вероятнее всего, не употреблял этот термин вообще.

"Ахиллес и черепаха"

Рассмотрим более детально четыре самые известные апории Зенона Элейского. Первые две ставят под удар существование такого понятия, как движение. Это апория «Дихотомия» и апория «Ахиллес и черепаха».

Апория «Дихотомия» на первый взгляд кажется абсурдной и совершенно бессмысленной. Она утверждает, что любое движение не может закончиться. Более того, оно не может даже начаться. Согласно этой апории, чтобы пройти все расстояние, нужно вначале пройти его половину. А чтобы преодолеть его половину, нужно пройти этого расстояния и так до бесконечности. Таким образом, невозможно пройти бесконечное число отрезков за конечный (ограниченный) промежуток времени.

Более известной является апория «Ахиллес и черепаха», в которой философ решительно утверждает, что быстрый герой никогда не сможет догнать черепаху. Всё дело в том, что пока Ахиллес будет пробегать участок, отделяющий его от черепахи, та, в свою очередь, тоже проползет некоторое расстояние от него. Далее пока Ахиллес будет преодолевать это новое расстояние, черепаха сможет отползти еще на небольшое расстояние дальше. И так будет происходить до бесконечности.

"Стрела" и "Стадий"

Если первые две апории ставят под сомнение существование движения как такового, то апории «Стрела» и «Стадий» опротестовали дискретное представление времени и пространства.

В своей апории «Стрела» Зенон утверждает, что любая выпущенная из лука стрела неподвижна, то есть находится в состоянии покоя. Чем аргументирует свое нелепое, казалось бы, утверждение? Зенон говорит, что летящая стрела неподвижна, ибо в каждый отдельно взятый момент времени она занимает в пространстве место, равное себе же. Так как это обстоятельство справедливо для абсолютно любого момента времени, то значит, что это обстоятельство справедливо и в целом. Таким образом, утверждает Зенон, любая летящая стрела находится в состоянии покоя.

Наконец, в четвертой своей апории неординарный философ сумел доказать, что признание существования движения равняется, по сути, признанию того, что единица равняется своей половине!

Зенон Элейский предлагает вообразить три одинаковых ряда всадников на лошадях, выстроенных в шеренги. Предположим, что две из них двинулись в разные стороны, причем с одинаковой скоростью. Вскоре последние всадники этих шеренг окажутся на одной линии с серединой шеренги, которая осталась стоять на своем месте. Таким образом, каждая шеренга пройдет мимо половины шеренги, которая стоит, и мимо всего ряда, который двигается. И Зенон говорит, что один и тот же всадник за один промежуток времени пройдет одновременно и весь путь, и его половину. Другими словами, целая единица равняется своей же половине.

Вот мы и разобрались с этой непростой, но весьма увлекательной философской проблемой. Таким образом, апория - это, в философии, противоречие, которое таится в самом предмете либо в понятии о нем.

Биографические сведения. Зенон Элейский 1 (ок. 490-430 гг. до н.э.) - древнегреческий философ. Жил в г. Элея, был учеником Парменида; известно, что он героически погиб в борьбе с тиранией.

Основные труды. «Споры», «Против философов», «О природе» - сохранилось несколько фрагментов.

Философские воззрения. Защищал и отстаивал учение Пармени­да о Едином, отвергал реальность чувственного бытия и множествен­ность вещей. Разработал апории (затруднения), доказывающие невоз­можность движения.

Апории Зенона. Пространство по своей структуре может быть либо делимым до бесконечности (континуальным), либо делимым толь­ко до какого-то предела (дискретным), и тогда имеются мельчайшие, далее не делимые интервалы пространства.

Допустим, что пространство делимо только до определенного предела, тогда имеет место следующая апория.

Летящая стрела

Рассмотрим движение стрелы в полете.

Пусть в момент времени t стрела занимает определенные интерва­лы пространства, например от 3 до 8.

Движение - это перемещение в пространстве, следовательно, если стрела движется, то в следующий момент времени V она занимает уже другой интервал пространства - от 4 до 9.

Каждый интервал пространства не делим, отсюда стрела может либо полностью его занимать, либо не занимать, но не может занимать частично. Следовательно, стрела не может пройти сначала какую-то часть интервала 8-9, так как этот интервал не делим. Тогда получает-

1 Хотя в Древней Греции существовала традиция всех философов называть по горо­ду их рождения и/или жизни (например, Фалес Милетский), в данном учебнике эта традиция сохраняется только для тех философов, чьи имена совпадают. Так, кроме Зено­на Элейского ниже будет упоминаться еще о Зеноне из Китиона.

ся, что в момент времени t стрела неподвижно пребывает в интервале 3-8, а в момент времени t"неподвижно пребывает в интервале 4-9. Вывод. Нет никакого движения, а есть только неподвижное пре­бывание в различных интервалах пространства.

Допустим теперь, что пространство делимо до бесконечности, тогда имеет место следующая апория.

Ахилл и Черепаха

Предварительные условия. Ахилл и черепаха стоят на дороге на расстоянии L друг от друга. Они одновременно начинают двигаться в одном и том же направлении (Ахилл бежит изо всех сил, а черепаха ползет со своей черепашьей скоростью).

Тезис.

Доказательство. Чтобы догнать Черепаху, Ахилл должен сначала пробежать расстояние L, которое отделяло его от Черепахи до начала движения. Но за это время Черепаха успеет пройти какое-то расстоя­ние L". Следовательно, чтобы теперь догнать Черепаху, Ахилл должен сначала пробежать расстояние L" и т.д. Но так как пространство дели­мо до бесконечности, то между Ахиллом и Черепахой всегда найдется пусть бесконечно малое, но все-таки расстояние, которое еще надо про­бежать Ахиллу.

Вывод. Ахилл никогда не догонит Черепаху.

Таким образом, допускаем ли мы бесконечную делимость простран­ства или существование неделимых интервалов пространства, можно сделать вывод о невозможности движения.

Апории Зенона служат для того, чтобы доказать невозможность движения в истинном, умопостигаемом мире. Поэтому тот факт, что наши органы чувств сообщают нам о наличии движения или, скорее,

его «видимости» в чувственном, иллюзорном мире, не опровергает апорий.

Эмпедокл (Empedocle)

Биографические сведения. Эмпедокл (ок. 490-430 гг. до н.э.) - древнегреческий философ родом из г. Акраганта (Сицилия); учился у пифагорейцев: Ксенофана и Парменида. Известен как эпический поэт, оратор, врач, инженер и философ. Многие его современники считали Эмпедокла живым богом. Желая, чтобы люди думали, что боги взяли его живым на небо, Эмпедокл, чувствуя приближение смерти, бросился в жерло вулкана Этна.

Основные труды. «Очищения», «О природе» - сохранились фрагменты.

Философские воззрения. Первоначало. Эмпедокл, как и боль­шинство его предшественников, - стихийный материалист. Но если они были монистами (одна стихия в качестве первоначала), то Эмпе­докл - плюралист: у него все четыре традиционные стихии являются началами мироздания («четыре корня вещей»). Стихии пассивны, все происходящее в мире объясняется действием двух сил - Любви и Вражды (Ненависти). Любовь - причина единства и добра, Вражда - множественности и зла.

Космогония и космология. Изменения в мире - результат вечной борьбы Любви и Вражды, в которой побеждает то одна, то другая сила. Эти изменения происходят в четыре этапа (схема 21).

Происхождение органического мира. Органический мир возника­ет на третьей стадии космогенеза и имеет четыре стадии: 1) возника­ют отдельные части животных; 2) случайно сочетаются отдельные час­ти животных и возникают как жизнеспособные организмы, так и не­жизнеспособные чудовища; 3) жизнеспособные организмы выживают, нежизнеспособные чудовища погибают (здесь заложена идея есте­ственного отбора); 4) животные и люди появляются путем размноже­ния.

Гносеология. Главный принцип - подобное познается подобным. Так как человек тоже состоит из четырех стихий, то земля во внешнем

мире познается благодаря земле в человеческом организме, вода - благодаря воде и т.п. Ощущения возникают у человека из-за того, что отделяющиеся от вещей частицы проникают в поры органов чувств. Главной средой восприятия является кровь, в которой все четыре эле­мента наиболее равномерно смешаны.

Эмпедокл - сторонник теории переселения душ.

Становление мира протекает в четыре этапа.

Схема 21. Эмпедокл: космогония

После четвертой стадии происходит возврат к первой и т.д. до бесконечности.

Знаменит своими апори́ями , которыми он пытался доказать противоречивость концепций движения , пространства и множества . Научные дискуссии, вызванные этими парадоксальными рассуждениями, существенно углубили понимание таких фундаментальных понятий, как роль дискретного и непрерывного в природе, адекватность физического движения и его математической модели и др. Эти дискуссии продолжаются и в настоящее время (см. список литературы).

Источники

Работы Зенона дошли до нас в изложении Аристотеля и комментаторов Аристотеля: Симпликия и Филопона . Зенон участвует также в диалоге Платона «Парменид », упоминается у Диогена Лаэртского , Плутарха , в Суде и многих других источниках.

Аристотель называет его первым диалектиком .

Биография

Апории Зенона

Современники упоминали 40 апорий Зенона, до нас дошли 9, обсуждаемые у Аристотеля и его комментаторов. Наиболее известны апории о движении:

Апории «Дихотомия» и «Стрела» напоминают следующие парадоксальные афоризмы, приписываемые ведущему представителю древнекитайской «школы имён» (мин цзя) Гунсунь Луну (середина IV в. до н. э. - середина III в. до н. э.): «В стремительном [полёте] стрелы есть момент отсутствия и движения, и остановки»; «Если от палки [длиной] в один чи ежедневно отнимать половину, это не завершится и через 10000 поколений».

Примечания

Литература

О нём

• Аристотель. Физика . - В сборнике: Философы Греции. Основы основ: логика, физика, этика. - Харьков: ЭКСМО, 1999. - 1056 с. - ISBN 5-04-003348-6 .
• Платон. Парменид . - В сборнике: Платон, Сочинения в трёх томах. - М. : Мысль, 1968-1972. - (Философское наследие).
• Фрагменты ранних греческих философов. Часть I. От эпических теокосмогоний до возникновения атомистики . - М. : Наука, 1989. - 576 с.
• Храмов Ю. А. Зенон Элейский // Физики: Биографический справочник / Под ред. А. И. Ахиезера . - Изд. 2-е, испр. и дополн. - М. : Наука , 1983. - 400 с. - 200 000 экз. (в пер.)

Научный анализ апорий

Литература перечислена в хронологическом порядке.

• Сватковский В. П. Парадокс Зенона о летящей стреле // ЖМНП. - 1888. - Ч. 255. - С. 203-239.
• Херсонский Н. Х. У истоков теории познания. По поводу аргументов Зенона против движения. // ЖМНП. - 1911. - Ч.XXXIV. Август. - Отд. 2. - С. 207-221.
• Богомолов С. А. Аргументы Зенона Элейского при свете учения об актуальной бесконечности // ЖМНП. - 1915. Нов. сер. - Ч.LVI. Апрель. - С.289-328.
• Богомолов С. А. Актуальная бесконечность(Зенон Элейский и Георг Кантор). - Пг.,1923.
• Дмитриев Г. Ещё раз о парадоксе Зенона «Ахиллес и черепаха» и путанице В. Фридмана // Под знаменем марксизма. - 1928. - № 4.
• Богомолов С. А. Актуальная бесконечность: Зенон Элейский, Ис. Ньютон и Георг Кантор. - Л.; М., 1934
• Яновская С. А. Преодолены ли в современной науке трудности, известные под названием «апории Зенона»? // Проблемы логики. - М., 1963. - С.116-136.
• Богомолов А. С. «Летящая стрела» и закон противоречия // Философские науки . - 1964. - № 6.
• Нарский И. С. К вопросу об отражении диалектики движения в понятиях: (Ещё раз о парадоксе «Летящая стрела»)// Формальная логика и методология науки. - М., 1964. - С.3-51.
• Цехмистро И. З. Апории Зенона глазами XX века // Вопросы философии . - 1966. - № 3.
• Панченко А. И. Апории Зенона и современная философия // Вопросы философии . - 1971. - № 7.
• Манеев А. К. Философский анализ зеноновских апорий. - Минск, 1972.
• Кузнецов Г. А. Непрерывность и парадоксы Зенона «Ахиллес» и «Дихотомия» // Теория логического вывода. - М., 1973.
• Комарова В. Я. Становление философского материализма в Древней Греции. Логико-гносеологический аспект диалектики философского познания. - Л.: ЛГУ, 1975. - 135 с.
• Широков В. С. Жан Буридан об апориях Зенона // Философские науки . - 1982. - № 4. - С.94-101.
• Смоленов Х. Апории Зенона как эвристики атомизма и диалектики // Логико-методологический анализ научного знания. - М., 1979. - С.76-90.
• Катасонов В. Н. Апории Зенона в интерпретации А. Койре // Актуальные проблемы методологии историко - научных исследований. - М., 1984. Деп. в ИНИОН 23.07.1984, № 17569.
• Комарова В. Я. Учение Зенона Элейского: попытка реконструкции системы аргументов. - Л.: ЛГУ, 1988. - 264 с.
• Солодухина А. О. Решил ли Айдукевич апорию Зенона «Стрела»? // Научная конференция «Современная логика: проблемы теории, истории и применения в науке». - СПб., 1996
• Анисимов А. М. Апории Зенона и проблема движения // Труды научно-исследовательского семинара Логического центра ИФ РАН. - М., 2000. Вып. XIV. - С.139-155.
• Смирнов А. В. Соизмеримы ли основания рациональности в разных философских традициях? Сравнительное исследование зеноновских апорий и учений раннего калама //Сравнительная философия. - М., 2000. - С.167-212.
• Вилесов Ю. В. Апории Зенона и соотношение неопределенностей Гейзенберга // Вестник МГУ . Сер. 7. Философия. - 2002. - № 6. - С. 20-28.
• Шалак В. И. Против апорий // Противоположности и парадоксы (методологический анализ). - М., 2008. - С.189-204.
• Дёмин Р. Н. Гунсунь Лун об искусстве стрельбы из лука и апория Зенона Элейского «Стрела» // V Российский философский конгресс «Наука. Философия. Общество» Материалы. Том II. - Новосибирск, 2009. - С.94-95.
• Vlastos G.A. A note of Zeno’s arrow // Phronesis. 1966. Vol.XI. P.3-18.
• Salmon W. Zeno’s paradoxes. - New York, 1970; Zeno’s Paradoxes, 2nd Edition. - Indianapolis: Hackett Publishing Co. Inc. 2001.
• Chambers, Connor J. Zeno of Elea and Bergson’s Neglected Thesis // Journal of the History of Philosophy - Volume 12, Number 1, January 1974. - P. 63-76.
• Vlastos G.A. Plato’s testimony concerning Zeno of Elea // Journal of the History of Ideas (New York), 1975. Vol.XLV. - P.136-162.
• Smirnov A. Do the Fundamentals of Rationality in Different Philosophical Traditions Correspond? A comparative study of Zeno’s paradoxes and teachings of early Kalām // Islam - West Philosophical Dialogue: the papers presented at the World Congress on Mulla Sadra, May, 1999, Tehran. Tehran: Sadra Islamic Philosophy Research Institute, 2004. - P.109-120.