În matematică, există mai multe seturi diferite de numere: reale, complexe, întregi, raționale, iraționale, ... În nostru Viata de zi cu zi cel mai adesea folosim numere naturale, de vreme ce întâlnim ele la numărare și la căutare, indicând numărul de obiecte.

În contact cu

Ce numere se numesc naturale

Din zece cifre, puteți nota absolut orice sumă de clase și categorii existente. Valorile naturale sunt acelea care sunt utilizate:

• La numărarea oricăror elemente (primul, al doilea, al treilea, ... al cincilea, ... al zecelea).
• Când se indică numărul de articole (unul, doi, trei ...)

N valorile sunt întotdeauna întregi și pozitive. Nu există N cel mai mare, deoarece setul de valori întregi nu este limitat.

Atenţie! Numerele naturale se obțin prin numărarea elementelor sau prin indicarea numărului acestora.

Absolut orice număr poate fi descompus și prezentat ca termeni de biți, de exemplu: 8.346.809 \u003d 8 milioane + 346 mii + 809 unități.

Set N

Setul N este în set real, întreg și pozitiv... Pe diagrama stabilită, ar fi unul în celălalt, deoarece multe dintre ele sunt parte din ele.

Setul de numere naturale este notat cu litera N. Acest set are un început, dar nu are sfârșit.

Există, de asemenea, un set extins N, unde este inclus zero.

Cel mai mic număr natural

În majoritatea școlilor de matematică, cea mai mică valoare a lui N unitatea este considerată, deoarece absența obiectelor este considerată gol.

Dar în școlile de matematică străine, de exemplu în franceză, este considerat natural. Prezența zero în serie facilitează dovada unele teoreme.

O serie de valori N, inclusiv zero, se numește extins și este notat prin simbolul N0 (indicele zero).

O serie de numere naturale

N rând este o secvență a tuturor celor N seturi de numere. Această secvență nu are sfârșit.

Particularitatea seriei naturale este că numărul ulterior va diferi cu unul de cel precedent, adică crește. Dar valorile nu poate fi negativ.

Atenţie! Pentru comoditatea numărării, există clase și categorii:

• Unități (1, 2, 3),
• Zeci (10, 20, 30),
• Sute (100, 200, 300),
• Mii (1000, 2000, 3000),
• Zeci de mii (30.000),
• Sute de mii (800.000),
• Milioane (4.000.000) etc.

Toate N

Toate N sunt în setul de valori reale, întregi, non-negative. Ei sunt ai lor o parte din.

Aceste valori merg până la infinit, pot aparține claselor de milioane, miliarde, chintile etc.

De exemplu:

• Cinci mere, trei pisoi
• Zece ruble, treizeci de creioane,
• O sută de kilograme, trei sute de cărți,
• Un milion de stele, trei milioane de oameni etc.

Secvență în N

În școli diferite de matematică, puteți găsi două intervale cărora le aparține secvența N:

de la zero la plus infinit, inclusiv capetele și de la unul la plus infinit, inclusiv capetele, adică totul răspunsuri întregi pozitive.

N seturi de cifre pot fi par sau impar. Să luăm în considerare conceptul de ciudățenie.

Impar (orice impar se termină cu numerele 1, 3, 5, 7, 9.) cu două au rest. De exemplu, 7: 2 \u003d 3,5, 11: 2 \u003d 5,5, 23: 2 \u003d 11,5.

Ce înseamnă chiar N

Orice sume de clasă se termină în cifre: 0, 2, 4, 6, 8. Când chiar și N este împărțit la 2, nu va mai rămâne, adică rezultatul este un răspuns întreg. De exemplu, 50: 2 \u003d 25, 100: 2 \u003d 50, 3456: 2 \u003d 1728.

Important! O serie numerică de N nu poate consta doar din valori impare sau impare, întrucât trebuie să alterneze: o pară întotdeauna urmează un impar, urmată de un impar, etc.

Proprietăți N

Ca toate celelalte seturi, N au propriile lor proprietăți speciale. Luați în considerare proprietățile seriei N (nu sunt extinse).

• Valoarea care este cea mai mică și nu o urmărește pe alta este una.
• N reprezintă o secvență, adică o valoare naturală urmează alta (cu excepția unuia - este primul).
• Când efectuăm operații de calcul pe N sume de cifre și clase (adăugăm, înmulțim), apoi în răspuns iese întotdeauna natural valoare.
• Permutarea și combinația pot fi utilizate în calcule.
• Fiecare valoare ulterioară nu poate fi mai mică decât cea anterioară. De asemenea, în seria N, va funcționa următoarea lege: dacă numărul A este mai mic decât B, atunci în seria de numere există întotdeauna C, pentru care egalitatea este adevărată: A + C \u003d B.
• Dacă luăm două expresii naturale, de exemplu A și B, atunci una dintre expresii va fi valabilă pentru ele: A \u003d B, A este mai mult decât B, A este mai mică decât B.
• Dacă A este mai mică decât B, iar B este mai mică decât C, atunci rezultă că că A este mai mică decât C.
• Dacă A este mai mică decât B, atunci rezultă că: dacă le adăugați aceeași expresie (C), atunci A + C este mai mică decât B + C. Este, de asemenea, adevărat că dacă aceste valori sunt înmulțite cu C, atunci AC este mai mică decât AB.
• Dacă B este mai mare decât A, dar mai mică decât C, atunci este adevărat: B-A este mai mică decât C-A.

Atenţie!Toate inegalitățile de mai sus sunt valabile în sens invers.

Care sunt componentele înmulțirii

În multe probleme simple și chiar complexe, găsirea răspunsului depinde de abilitatea elevilor.

Pentru a înmulți rapid și corect și pentru a putea rezolva probleme invers, trebuie să cunoașteți componentele înmulțirii.

15. 10 \u003d 150. În această expresie 15 și 10 sunt multiplicatoriiar 150 este un produs.

Înmulțirea are proprietăți care sunt necesare la rezolvarea problemelor, ecuațiilor și inegalităților:

• Reorganizarea factorilor nu va schimba produsul final.
• Pentru a găsi un factor necunoscut, produsul trebuie împărțit la un factor cunoscut (acest lucru este valabil pentru toți factorii).

De exemplu: 15 . X \u003d 150. Să împărțim produsul la un factor cunoscut. 150: 15 \u003d 10. Sa verificam. 15 . 10 \u003d 150. Conform acestui principiu, chiar ecuații liniare complexe (dacă le simplificați).

Important!Un produs nu poate consta doar din doi factori. De exemplu: 840 \u003d 2 . 5. 7. 3. 4

Care sunt numerele naturale în matematică?

Cifre și clase de numere naturale

producție

Să rezumăm. N sunt utilizate la numărarea sau indicarea numărului de articole. Numărul de seturi naturale de numere este infinit, dar include numai sume întregi și pozitive de cifre și clase. Înmulțirea este necesară și pentru să numere articole, precum și pentru rezolvarea problemelor, ecuațiilor și a diferitelor inegalități.

Întrebare pentru omul de știință: - Am auzit că suma tuturor numerelor naturale este -1/12. Este un fel de truc sau este adevărat?

Răspunsul serviciului de presă MIPT - Da, un astfel de rezultat poate fi obținut folosind o tehnică numită extinderea seriei de funcții.

Întrebarea pusă de cititor este destul de complicată și, prin urmare, îi răspundem nu cu textul obișnuit pentru câteva paragrafe pentru rubrica „Întrebarea unui om de știință”, ci cu o aparență oarecum simplificată a unui articol matematic.

În articolele științifice despre matematică, unde este necesar să se dovedească o anumită teoremă complexă, povestea este împărțită în mai multe părți, iar în ele se pot dovedi la rândul lor diferite enunțuri auxiliare. Presupunem că cititorii sunt familiarizați cu cursul de matematică în nouă clase, așa că ne cerem scuze în prealabil celor care consideră povestea prea simplă - absolvenții se pot referi imediat la http://ro.wikipedia.org/wiki/Ramanujan_summation.

Suma totala

Să începem vorbind despre cum pot fi adăugate toate numerele naturale. Numerele naturale sunt numere care sunt folosite pentru a număra obiecte întregi - toate sunt întregi și non-negative. Numerele naturale învață copiii în primul rând: 1, 2, 3 și așa mai departe. Suma tuturor numerelor naturale va fi o expresie a formei 1 + 2 + 3 + ... \u003d și așa mai departe ad infinitum.

Seria de numere naturale este infinită, este ușor de dovedit: la urma urmei, se poate adăuga întotdeauna unul la un număr arbitrar de mare. Sau chiar înmulțiți acest număr singur, sau chiar calculați factorialul său - este clar că va apărea o valoare și mai mare, care va fi și un număr natural.

Toate operațiunile cu valori infinit de mari sunt înțelese în detaliu în cursul analizei matematice, dar acum, pentru ca cei care nu au trecut încă acest curs să ne înțeleagă, vom simplifica oarecum esența. Să spunem că infinitul, la care s-a adăugat unul, infinitul, care a fost pătrat sau factorial de la infinit, este tot infinit. Putem presupune că infinitul este un obiect matematic atât de special.

Și conform tuturor regulilor analizei matematice din primul semestru, suma 1 + 2 + 3 + ... + infinit este de asemenea infinită. Acest lucru este ușor de înțeles din paragraful anterior: dacă adăugați ceva la infinit, acesta va fi în continuare infinit.

Cu toate acestea, în 1913, genialul matematician indian autodidact Srinivasa Ramanujan Iyengor a venit cu o modalitate de a adăuga numere naturale într-un mod ușor diferit. În ciuda faptului că Ramanujan nu a primit o educație specială, cunoștințele sale nu s-au limitat doar la cursul școlar de astăzi - matematicianul știa despre existența formulei Euler-Maclaurin. Întrucât joacă un rol important în narațiunea ulterioară, va trebui, de asemenea, să i se spună mai detaliat.

Formula Euler-Maclaurin

Mai întâi, să scriem această formulă:

După cum puteți vedea, este destul de complex. Unii cititori pot sări peste această secțiune întreagă, alții pot citi manualele relevante sau cel puțin un articol pe Wikipedia, iar pentru restul vom oferi un scurt comentariu. Rolul cheie în formulă îl joacă o funcție arbitrară f (x), care poate fi aproape orice, atât timp cât are un număr suficient de derivate. Pentru cei care nu sunt familiarizați cu acest concept matematic (și au decis totuși să citească ceea ce este scris aici!), Să spunem și mai simplu - graficul unei funcții nu ar trebui să fie o linie care să se rupă brusc în niciun moment.

Derivarea unei funcții, dacă simplificăm cât mai mult sensul, este o cantitate care arată cât de rapid funcția crește sau scade. Din punct de vedere geometric, derivatul este tangenta unghiului de înclinare a tangentei către grafic.

În stânga formulei există o sumă a formei „valoarea f (x) la punctul m + valoarea lui f (x) la punctul m + 1 + valoarea f (x) la punctul m + 2 și așa mai departe la punctul m + n” Mai mult, numerele m și n sunt naturale, acest lucru trebuie subliniat.

În dreapta, vedem mai mulți termeni și par foarte greoaie. Prima (se termină cu dx) este integrala funcției de la punctul m la punctul n. Cu riscul de a provoca mânia tuturor

Al treilea termen este suma numerelor Bernoulli (B 2k) împărțită la factorial cu valoarea dublată a numărului k și înmulțită cu diferența dintre derivatele funcției f (x) la punctele n și m. Mai mult, pentru a complica și mai mult lucrurile, nu există doar un derivat, ci un derivat al ordinului 2k-1. Adică, întregul al treilea termen arată astfel:

Numărul Bernoulli B 2 ("2", deoarece formula conține 2k și începem să adăugăm cu k \u003d 1) împărțim cu factorial 2 (aceasta este doar două deocamdată) și înmulțim cu diferența derivatelor de prim ordin (2k-1 pentru k \u003d 1) funcția f (x) la punctele n și m

Numărul Bernoulli B 4 ("4", deoarece formula conține 2k, iar k este egal cu 2) se împarte cu factorial 4 (1 × 2х3 × 4 \u003d 24) și se înmulțește cu diferența derivatelor de ordinul al treilea (2k-1 pentru k \u003d 2) funcția f (x) la punctele n și m

Numărul Bernoulli B 6 (vezi mai sus) este împărțit la factorial 6 (1 × 2x3 × 4x5 × 6 \u003d 720) și înmulțit cu diferența derivatelor de ordinul al cincilea (2k-1 pentru k \u003d 3) din funcția f (x) la punctele n și m

Sumarea continuă până la k \u003d p. Numerele k și p sunt obținute prin unele valori arbitrare pe care le putem alege în moduri diferite, împreună cu m și n - numere naturale care limitează secțiunea cu funcția f (x) luată în considerare. Adică există patru parametri în formulă, iar acest lucru, împreună cu arbitrarul funcției f (x), deschid o mulțime de domenii de cercetare.

Restul modest R, din păcate, nu este o constantă aici, ci și o construcție destul de greoaie exprimată în termenii numerelor Bernoulli menționate mai sus. Acum este momentul să explicăm ce este, de unde a venit și de ce matematicienii, în general, au început să ia în considerare astfel de expresii complexe.

Numerele Bernoulli și extensiile seriei

În analiza matematică, există un astfel de concept cheie ca expansiunea în serie. Aceasta înseamnă că puteți să luați o anumită funcție și să o scrieți nu direct (de exemplu, y \u003d sin (x ^ 2) + 1 / ln (x) + 3x), ci sub forma unei sume infinite a unui set de termeni similari. De exemplu, multe funcții pot fi reprezentate ca o sumă a funcțiilor de putere înmulțite cu unii coeficienți - adică, un grafic complex va fi redus la o combinație de linii, quadratice, cubice ... și așa mai departe - curbe.

În teoria prelucrării semnalelor electrice, așa-numita serie Fourier joacă un rol imens - orice curbă poate fi extinsă într-o serie de sinusuri și cosinusuri din diferite perioade; o astfel de descompunere este necesară pentru a converti semnalul de la microfon într-o secvență de zerouri și cele din interior, să zicem, un circuit electronic al unui telefon mobil. Extinderile dintr-o serie permit, de asemenea, să se ia în considerare funcțiile non-elementare, iar o serie de ecuații fizice cele mai importante, atunci când se rezolvă, oferă expresii exact sub forma unei serii, și nu sub forma unor combinații finite de funcții.

În secolul al XVII-lea, matematicienii au început să studieze îndeaproape teoria seriilor. Ceva mai târziu, acest lucru le-a permis fizicienilor să calculeze eficient procesele de încălzire a diferitelor obiecte și să rezolve multe alte probleme pe care nu le vom lua în considerare aici. Notăm doar că în programul MIPT, ca și în cursurile de matematică ale tuturor universităților de fizică de frunte, cel puțin un semestru este dedicat ecuațiilor cu soluții sub forma uneia sau altei serii.

Jacob Bernoulli a investigat problema însumării numerelor naturale la același grad (1 ^ 6 + 2 ^ 6 + 3 ^ 6 + ... de exemplu) și a obținut numere care pot fi utilizate pentru a extinde alte funcții în seria de putere menționată mai sus - de exemplu, tg (x). Deși, s-ar părea, tangenta nu este foarte similară nici cu o parabolă, nici măcar cu orice funcție de putere!

Ulterior, polinoamele Bernoulli și-au găsit aplicarea nu numai în ecuațiile fizicii matematice, ci și în teoria probabilităților. Acesta este, în general, previzibil (la urma urmei, o serie de procese fizice - cum ar fi mișcarea browniană sau degradarea nucleelor \u200b\u200b- se datorează doar tot felului de accidente), dar merită totuși o mențiune separată.

Formula greoaie Euler-Maclaurin a fost folosită de matematicieni în diverse scopuri. Întrucât, pe de o parte, conține suma valorilor funcțiilor în anumite puncte, iar pe de altă parte, există integrale și extinderi de serii, folosind această formulă este posibil (în funcție de ceea ce știm) cum să luăm o integrală complexă, și determinați suma seriei.

Srinivasa Ramanujan a venit cu o altă aplicație a acestei formule. El a modificat-o puțin și a primit următoarea expresie:

Ca funcție f (x) el a considerat simplu x - fie f (x) \u003d x, aceasta este o presupunere perfect legitimă. Dar pentru această funcție, prima derivată este pur și simplu una, iar cea de-a doua și toate cele ulterioare sunt egale cu zero: dacă totul este înlocuit cu atenție în expresia de mai sus și se determină numerele Bernoulli corespunzătoare, atunci vom obține exact −1/12.

Desigur, acest lucru era perceput de matematicianul indian ca fiind ceva ieșit din comun. Întrucât nu era doar un autodidact, ci un autodidact talentat, nu a spus tuturor despre descoperirea care a modificat fundamentele matematicii, ci a scris în schimb o scrisoare către Godfrey Hardy, un expert recunoscut atât în \u200b\u200bteoria numerelor, cât și în analiza matematică. Apropo, scrisoarea conținea o notă conform căreia Hardy ar dori probabil să-l indice pe autor spre cel mai apropiat spital psihiatric: cu toate acestea, rezultatul, desigur, nu a fost un spital, ci o muncă comună.

Paradox

Rezumând toate cele de mai sus, obținem următoarele: suma tuturor numerelor naturale este obținută egală cu −1/12 atunci când folosim o formulă specială care ne permite să extindem o funcție arbitrară într-o serie cu coeficienți numiți numere Bernoulli. Totuși, acest lucru nu înseamnă că 1 + 2 + 3 + 4 se dovedește a fi mai mult de 1 + 2 + 3 + ... și așa mai departe ad infinitum. În acest caz, avem de-a face cu un paradox, care se datorează faptului că extinderea seriei este un fel de aproximare și simplificare.

Putem da un exemplu de paradox matematic mult mai simplu și mai vizual asociat cu exprimarea unui lucru prin altceva. Luați o foaie de hârtie într-o cutie și trasați o linie în trepte cu lățimea și înălțimea unui pas într-o celulă. Lungimea unei astfel de linii, evident, este egală cu dublul numărului de celule - dar lungimea diagonală care îndreaptă „scara” este egală cu numărul de celule înmulțite de rădăcina a două. Dacă faceți scara foarte mică, va fi în continuare aceeași lungime, iar linia ruptă, aproape nedistinguibilă din diagonală, va fi la rădăcină de două ori mai mare decât aceeași diagonală! După cum vedeți, nu este deloc necesar să scrieți formule lungi complexe pentru exemple paradoxale.

Formula Euler-Maclaurin, dacă nu intrați în jungla analizei matematice, este aceeași aproximare ca o linie spartă în loc de o linie dreaptă. Folosind această aproximare, puteți obține același −1/12, dar acest lucru este departe de a fi întotdeauna adecvat și justificat. Într-o serie de probleme în fizica teoretică, astfel de calcule sunt utilizate pentru calcule, dar aceasta este chiar extrem de importantă a cercetării, unde este prea devreme să vorbim despre reprezentarea corectă a realității prin abstracții matematice, iar discrepanțele între diferite calcule unele cu altele sunt destul de frecvente.

Astfel, estimările densității energiei în vid pe baza teoriei cuantice a câmpurilor și pe baza observațiilor astrofizice diferă cu mai mult de 120 de ordine de mărime. Adică de 10 ^ 120 de grade. Aceasta este una dintre problemele nesoluționate ale fizicii moderne; există în mod clar un decalaj în cunoașterea noastră despre univers. Sau problema este lipsa unor metode matematice adecvate pentru descrierea lumii din jurul nostru. Fizicienii teoretici, împreună cu matematicienii, încearcă să găsească modalități de a descrie procesele fizice în care nu va fi nici o serie divergentă (mergând la infinit), dar aceasta este departe de cea mai ușoară sarcină.

Istoria numerelor naturale datează din vremuri primitive.Din cele mai vechi timpuri, oamenii au numărat obiecte. De exemplu, în comerț aveai nevoie de un cont de bunuri sau de construcții un cont material. Da, chiar și în viața de zi cu zi, a trebuit să socotesc și lucruri, mâncare, animale. La început, numerele au fost folosite doar pentru numărare în viață, în practică, dar mai târziu, odată cu dezvoltarea matematicii, au devenit parte a științei.

Întregi Sunt numerele pe care le folosim la numărarea articolelor.

De exemplu: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, ...

Zero nu se aplică numerelor naturale.

Toate numerele naturale sau să numim setul de numere naturale este notat cu simbolul N.

Tabelul numerelor naturale.

Gama naturală.

Numere naturale scrise pe rând în formă crescătoare de ordine rând natural sau o serie de numere naturale.

Proprietăți ale gamei naturale:

• Cel mai mic număr natural este unul.
• Seria naturală are următorul număr mai mare decât precedentul câte unul. (1, 2, 3, ...) Se pun trei puncte sau elipsă dacă este imposibil de completat succesiunea numerelor.
• Gama naturală nu are cel mai mare număr, este infinită.

Exemplul # 1:
Scrieți primele 5 numere naturale.
Decizie:
Numerele naturale încep cu unul.
1, 2, 3, 4, 5

Exemplul # 2:
Este zero un număr natural?
Raspunsul este nu.

Exemplul # 3:
Care este primul număr din rândul natural?
Răspuns: intervalul natural pornește de la unul.

Exemplul # 4:
Care este ultimul număr din seria naturală? Care este cel mai mare număr natural?
Răspuns: Intervalul natural începe de la unul. Fiecare număr următor este mai mare decât precedentul câte unul, deci ultimul număr nu există. Nu există un număr mai mare.

Exemplul # 5:
Unitatea din seria naturală are un număr anterior?
Răspunsul este nu, deoarece unul este primul număr din rândul natural.

Exemplul # 6:
Care este următorul număr din rândul natural după numere: a) 5, b) 67, c) 9998.
Răspuns: a) 6, b) 68, c) 9999.

Exemplul # 7:
Câte numere sunt în rândul natural dintre numere: a) 1 și 5, b) 14 și 19.
Decizie:
a) 1, 2, 3, 4, 5 - trei numere sunt cuprinse între 1 și 5.
b) 14, 15, 16, 17, 18, 19 - patru numere sunt cuprinse între 14 și 19.

Exemplul # 8:
Care este numărul precedent după numărul 11.
Răspuns: 10.

Exemplul # 9:
Ce numere sunt utilizate pentru numărarea articolelor?
Răspuns: numere naturale.

Cel mai simplu număr este numar natural... Sunt folosite în viața de zi cu zi pentru numărare articole, adică pentru a le calcula numărul și comanda.

Ce este un număr natural: numere naturalesunt numerele pentru care sunt utilizate numărarea articolelor sau pentru a indica numărul de serie al oricărui articol din toate omogenearticole.

Întregi sunt numere care încep de la unul. Se formează în mod natural în timpul numărării.De exemplu, 1,2,3,4,5 ... -primele numere naturale.

Cel mai mic număr natural - unu. Nu există un număr natural cel mai mare. La numărarea numărului zero nu este utilizat, deci zero este un număr natural.

Serie naturală de numere este o secvență a tuturor numerelor naturale. Notarea numerelor naturale:

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12 ...

Într-un rând natural, fiecare număr este mai mare decât precedentul câte unul.

Câte numere sunt într-un rând natural? Numărul natural este infinit, cel mai mare număr natural nu există.

Zecimal, deoarece 10 unități din orice cifră formează 1 unitate din cea mai semnificativă cifră. Pozițional deci modul în care sensul unei cifre depinde de locul său în număr, adică. din categoria în care este scris.

Clasele de numere naturale.

Orice număr natural poate fi scris folosind 10 cifre arabe:

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.

Pentru a citi numere naturale, acestea sunt împărțite, începând de la dreapta, în grupuri de 3 numere fiecare. 3 primul numerele din dreapta sunt clasa de unități, următoarele 3 sunt clasa de mii, apoi clasele de milioane, miliarde șietc. Fiecare dintre numerele clasei se numeștedescărcare.

Compararea numerelor naturale.

Dintre cele 2 numere naturale, cu atât mai puțin este numit mai devreme la numărare. de exemplu, număr 7 mai mici 11 (scris astfel:7 < 11 ). Când un număr este mai mare decât al doilea, se scrie astfel:386 > 99 .

Tabelul categoriilor și claselor de numere.

Navigare pe pagină:

Definiție. Întregi sunt numere utilizate pentru numărare: 1, 2, 3, ..., n, ...

Setul de numere naturale este notat de obicei prin simbol N (din lat. naturalis - natural).

Numerele naturale cu nota zecimală sunt scrise folosind zece cifre:

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.

Setul de numere naturale este set comandat, adică pentru orice numere naturale m și n, una dintre următoarele relații este adevărată:

• sau m \u003d n (m este egal cu n),
• sau m\u003e n (m este mai mare decât n),
• sau m< n (m меньше n ).

• Cel mai mic natural număr - unu (1)
• Nu există un număr natural cel mai mare.
• Zero (0) nu este un număr natural.

Dintre numere naturale adiacente, se numește numărul din stânga numărului n numărul anterior nr, iar numărul din dreapta este apelat urmând n.

Operațiuni pe numere naturale

Operațiunile închise pe numere naturale (operațiile care rezultă în numere naturale) includ următoarele operații aritmetice:

• Plus
• Multiplicare
• exponentiation a b, unde a este baza exponentului și b este exponentul. Dacă baza și exponentul sunt numere naturale, atunci rezultatul va fi și un număr natural.

În plus, sunt luate în considerare alte două operațiuni. Din punct de vedere formal, ele nu sunt operații pe numere naturale, deoarece rezultatul lor nu va fi întotdeauna un număr natural.

• Scădere (În acest caz, Scăderea trebuie să fie mai mare decât cea scăzută)
• Divizia

Clasele și rangurile

Digit - poziția (poziția) cifrei din înregistrarea numărului.

Cel mai mic rang este cel mai corect. Locul de seniori este cel mai stânga.

Exemplu:

5 - unități, 0 - zeci, 7 - sute,
2 - mii, 4 - zeci de mii, 8 - sute de mii,
3 - milioane, 5 - zeci de milioane, 1 sută de milioane

Pentru o ușurință de citit, numerele naturale sunt împărțite în grupuri de trei cifre, fiecare începând de la dreapta.

Clasă - un grup de trei cifre în care este împărțit numărul, începând de la dreapta. Ultima clasă poate fi de trei, două sau o cifră.

• Prima clasă - clasa de unități;
• A doua clasă este clasa a mii;
• A treia clasă este clasa a milioane;
• Clasa a patra este clasa de miliarde;
• Clasa a cincea este clasa de trilioane;
• Clasa a șasea - clasa patrulare (cvadrilion);
• A șaptea clasă este clasa quintillion (quintillion);
• Clasa a opta - clasa sextillon;
• Clasa a noua - clasa Septillion;

Exemplu:

34 - miliarde 456 milioane 196 mii 45

Compararea numerelor naturale

1. Compararea numerelor naturale cu numere diferite de cifre

   Dintre numere naturale, cel cu mai multe cifre este mai mare

2. Comparație de numere naturale cu numere egale de cifre

   Comparați numerele bit cu pic, începând cu bitul cel mai semnificativ. Mai mult este cea care are mai multe unități din cea mai înaltă categorie cu același nume

Exemplu:

3466 & gt 346 - întrucât 3466 are 4 cifre și 346 are 3 cifre.

34666 & lt 245784 - întrucât 34666 are 5 cifre, iar 245784 are 6 cifre.

Exemplu:

346 667 670 52 6 986

346 667 670 56 9 429

Al doilea dintre numerele naturale cu un număr egal de cifre este mai mare, deoarece 6\u003e 2.