1 слайд

Учитель математики МОУ Аннинская СОШ №3 Воронежской области Кобзева Наталья Викторовна.

2 слайд

Основные цели и задачи. Повторение, обобщение и систематизация знаний учащихся по теме «Признаки делимости». Формирование умений проводить умозаключения, обосновывая свои действия ссылками на правила. Выработка навыков использования установленных признаков делимости при различных формулировках задач. Проверка усвоения учащимися знаний, полученных при изучении данной темы.

3 слайд

4 слайд

Признаки делимости на 2, на 5 и на 10. Если натуральное число оканчивается четной цифрой, то оно делится на 2, а если нечетной цифрой, то число не делится на 2. Если натуральное число оканчивается цифрой 5 или 0, то оно делится на 5, а если оно оканчивается любой другой цифрой, то оно не делится на 5. Если натуральное число оканчивается цифрой 0,то оно делится на 10,а если оно оканчивается любой другой цифрой, то оно не делится на 10.

5 слайд

Признаки делимости на 3 и на 9. Если сумма цифр числа делится на 3, то и число делится на 3, а если сумма цифр числа не делится на 3, то и число не делится на 3. Если сумма цифр числа делится на 9, то и число делится на 9, а если сумма цифр числа не делится на 9, то и число не делится на 9.

6 слайд

Задание 1. Из цифр 0; 3; 4; 5 составьте: а) трехзначные числа, делящиеся на 2 и 5 одновременно; 340, 430, 350, 530, 540, 450. б) двузначные, делящиеся на 3; 30, 45, 54. в) двузначные нечетные числа; 43, 45, 53. г) числа, делящиеся на 9. 45, 54, 450, 540, 504, 405.

7 слайд

Задание 2. Назовите несколько значений выражения переменной а, при которых значение Кратно 2 Кратно 5 Кратно 3 Кратно 9 Кратно 10 а=0;2;10 а=4;9;14 а=2;5;11 а=5;14;23 а=4;14;24

8 слайд

Задание 3. Отметьте буквой В – верные утверждения и буквой Н – неверные. В Н В Н Н Н В В Н В 1 Число 945 делится на 3 и на 5 2 Число 8569 кратно 2 3 2700 делится на 2;5;3;9;10 одновременно 4 Число 3 – делитель 157 5 Число 5 – делитель 524 6 Число 9 – делитель 818 7 Число 8232 кратно 3 8 756 делится на 2 и 3 одновременно 9 Число 1267 - четное 10 630000 делится на 2;3;5;9;10 одновременно

9 слайд

Задание 4. Длина и ширина прямоугольного параллелепипеда выражаются натуральным числом сантиметров, а высота равна 15 см.Можно ли утверждать, что объем этого параллелепипеда выражается числом: Кратным 2 нет Кратным 3 да Кратным 5 да 15 см

10 слайд

Задание 5. Какие цифры можно подставить вместо буквы «а», чтобы полученное число: Делилось на 9 286а 5а1 75а11 Делилось на 3 5а76 900а 4а2 2 4 3 0,3,6,9 0,3,6,9 0,3,6,9

11 слайд

Решите задачу. Три поросенка Ниф-Ниф, Наф-Наф и Нуф-Нуф собрали в лесу желуди. Ниф-Ниф собрал 137 желудей, Наф-Наф собрал на 46 желудей меньше, а Нуф-Нуф – в 2 раза больше, чем Наф-Наф. Удастся ли поросятам разделить желуди поровну?

12 слайд

Решение. Ниф-Ниф 137 желудей Наф-Наф на 46 желудей меньше Нуф-Нуф в 2 раза больше 137-46=91 (ж)-собрал Наф-Наф. 91 2=182 (ж) –собрал Нуф-Нуф. 137+91+182=410 (ж) –собрали вместе. 410 не делится на 3 (4+1+0=5). Ответ: поросятам не удастся разделить желуди поровну.

13 слайд

Признаки делимости на 4, на 25 и на 50. На 4 делятся числа, которые оканчиваются двумя нулями или у которых две последние цифры составляют число, делящееся на 4. Например:157312. На 50 делятся те числа, кото- рые оканчиваются на 00 или 50. Например: 773150, 241100. На 25 делятся нацело те числа, которые оканчивают- ся на 25, 50, 75, 00. Например: 120975,450, 51746025, 663201300.

Не всегда одно натуральное число делится на другое натуральное число без остатка. Деля натуральное число, мы получаем остаток, допускаем ошибки, тем самым теряем время. Возникает необходимость, не выполняя деление установить, делится ли одно натуральное число на другое.

В III веке до нашей эры александрийский ученный Эратосфен открыл способ составления списка простых чисел, так как считал, что простые числа играют важную роль в изучении всех остальных чисел. Его метод составления списка простых чисел назвали решетом Эратосфена.

Вопросы делимости чисел рассматривались пифагорейцами. В теории чисел ими была проведена большая работа по типологии натуральных чисел. Пифагорейцы делили их на классы. Выделялись классы: совершенных чисел (число равное сумме своих собственных делителей, например: 6=1+2+3), дружественных чисел (каждое из которых равно сумме делителей другого, например 220 и 284: 284= ; 220=), фигурных чисел (треугольное число, квадратное число), простых чисел и др.

Блез Паскаль. Выдающийся французский математик и физик Блез Паскаль () еще в раннем возрасте вывел общий признак делимости чисел, из которого следуют все частные признаки.

Признак Паскаля: Натуральное число а разделится на другое натуральное число b только в том случае, если сумма произведений цифр числа а на соответствующие остатки, получаемые при делении разрядных единиц на число b, делится на это число делится на 7, т.к. 2·6 + 8 ·2 + 1 ·3 +4 = 35, 35:7=5 (где 6 – остаток от деления 1000 на 7; 2 - остаток от деления 100 на 7, 3 - остаток от деления 10 на 7)

Все перечисленные признаки делимости натуральных чисел можно разделить на 4 группы: 1 группа- когда делимость чисел определяется по последней(им) цифрой (ми)- это признаки делимости на 2, на 5, на разрядную единицу, на 4, на 8, на 25, на группа – когда делимость чисел определяется по сумме цифр числа- это признаки делимости на 3, на 9, на 7, на 37, на 11 (1 признак). 3 группа – когда делимость чисел определяется после выполнения каких-то действий над цифрами числа- это признаки делимости на 7, на 11(1 признак), на 13, на группа – когда для определения делимости числа используются другие признаки делимости- это признаки делимости на 6, на 15, на 12, на 14.

Признаки делимости чисел Признаки делимости на 4. Число делится на 4 если 2 последние его цифры делятся на делится на 4, т.к. 56: 4 = 14 Признак делимости на 8. Число делится на 8 три его последние цифры – нули или образуют число, которое делится на делится на 8, т.к. 952: 8 = 119

Признаки делимости на 25. Число делится на 25 число образованное его последними двумя цифрами делится на делится на 25, т.к. 75 делится на 25 Признаки делимости на 125. Число делится на 125 число образованное его последними тремя цифрами делится на делится на 125, т.к. 250: 125 = 2

Признак делимости на 7. Число делится на 7 результат вычитания удвоенной последней цифры из этого числа без последней цифры делится на делится на 7, т.к. 36 – (2·4) = 28, 28: 7 = 4 Признак делимости на 13. Число делится на 13 число его десятков, сложенное с учетверенным числом единиц, кратно делится на 13, т.к (4 ·5) = 104, 104: 13 = 8

Признаки делимости на способ. Число делится на 17 число его десятков, сложенное с увеличенным в 12 раз числом единиц, кратно делится на 17, т.к (3·12) = 2941; (1·12) = 306; 30 + (6·12) = 102; 10 + (2·12) = 34, 34: 17 = 2 2 способ. Число делится на 17 разность между числом его десятков и упятеренным числом единиц кратна не делится на 17, т.к – (2·5) = 3285, 328 – (5·5) = 328 – 25 = 303, 30 – (3·5) = 15, 15 не делится на 17.

Признак делимости на 19. Число делится на 19 число его десятков, сложенное с удвоенным числом единиц, кратно делится на 19, т.к (2·6) = 76, 76: 19 = 4 Признак делимости на 23. Число делится на 23 число его сотен, сложенное с утроенным числом единиц, кратно делится на 23, т.к (3· 42) = 414; 4 + (3·14) = 46, 46: 23 = 2

Признак делимости на 11. Число делится на 11 сумма цифр с чередующимися знаками делится на делится на 11, т.к =11, 11:11=1 Признак делимости на 99. Разобьем число на группы по 2 цифры справа налево (в самой левой группе может быть 1 цифра) и найдем сумму этих групп. Эта сумма делится на 99 само число делится на делится на 99, т.к = 198, 198: 99 = 2

Признак делимости на 101. Разобьем число на группы по 2 цифры справа налево (в самой левой группе может быть 1 цифра) и найдем сумму этих групп с переменными знаками. Эта сумма делится на 101 само число делится на делится на 101, т.к. 59 – = 101, 101:101 =1

Другие признаки делимости, следующие из двух признаков Признак делимости на 6. Число делится на 6 оно делится и на 2, и на 3. (456) Признак делимости на 12. Число делится на 12 оно делится и на 3, и на 4. () Признак делимости на 14. Число делится на 14 оно делится и на 2, и на 7. (364) Признак делимости на 15. Число делится на 15 оно делится и на 3, и на 5. (8 445)

Решение: Обе величины, которые требуется определить должны быть целыми числами, т.е. находиться среди делителей числа 203. Разложив 203 на множители, получаем: 203 = Но учебников не может быть 29. Также число учебников не может равняться 1, т.к. в этом случае учеников было бы 203. Значит, пятиклассников – 29 и каждый из них купил по 7 учебников. Ответ: 29 пятиклассников; 7 учебников

ПРАКТИЧЕСКАЯ ЗНАЧИМОСТЬ Знание и использование выше перечисленных признаков делимости натуральных чисел значительно упрощает многие вычисления, этим самым, экономя время; исключая вычислительные ошибки, которые можно сделать при выполнении действия деления. Я рекомендую ознакомиться со своей работой тем сверстникам, которые хотят знать о математике больше, чем рядовой школьник.

Задача 1. Незнайка хвастал своими выдающимися способностями умножать числа "в уме". Чтобы его проверить, Знайка предложил ему написать какое- нибудь число, перемножить его цифры и сказать результат. "1210", немедленно выпалил Незнайка. "Ты неправ!" сказал, подумав, Знайка. Как он обнаружил ошибку, не зная исходного числа? Решение. Если бы Незнайка оказался прав, то в числе были бы две "цифры" 11, поскольку среди делителей числа 1210 дважды встречается простое число 11. Ответ. Если бы Незнайка оказался прав, то в числе были бы две "цифры" 11.

Задача 2. делится ли 3905 на 11. Решение. Цифры, которые стоят на нечетных местах - это 3 (стоит на первом месте) и 0 (стоит на третьим месте). Цифры, которые стоят на четном месте это 9 (стоит на втором месте) и 5 (стоит на четвертом месте) Сумма цифр, стоящих на нечетном месте, неравна сумме цифр на четном месте, но суммы цифр отличаются ровно на = 11. Ответ. Значит, 3905 делится на 11.

Решение. Очевидно, что последняя цифра больше 1. Трёхзначное простое число не может оканчиваться ни на чётную цифру (т. е. на 0, 2, 4, 6 или 8), ни на цифру 5. Если последняя цифра 3 или 9, то сумма всех цифр числа, равная удвоенной последней цифре, делится на 3, а тогда само число делится на 3. Таким образом, осталась только цифра семь. Ответ. Только на 7.

Заключение. В процессе работы я познакомилась с историей развития признаков делимости. Сама правильно сформулировала признаки делимости натуральных чисел на 4, 6, 8, 15, 25, 50, 100, 1000…, чему нашла подтверждение из дополнительной литературы. Работая с разными источниками, я убедилась в том, что существуют другие признаки делимости натуральных чисел (на 7, 11, 12, 13, 14, 19, 37), что подтвердило правильность гипотезы о существовании других признаков делимости натуральных чисел. Из дополнительной литературы я нашла и решила задачи, при решении которых применяются признаки делимости натуральных чисел.

Конспект урока по математике в 5 а классе

ТЕМА : ПРИЗНАКИ ДЕЛИМОСТИ НА 2, 5, 10, 4, 25, 100 .

Вид урока: урок изучения нового материала.

Цель урока : Вывести признаки делимости чисел на 2, 5, 10, 4, 25, 100

Задачи урока: 1) образовательная: научить определять делится ли число на 2, 5, 10, 4, 25, 100, не выполняя вычислений

2) воспитательная: воспитывать познавательный процесс

3) развивающая: развивать умение анализировать и систематизировать знания, полученные опытным путем.

План урока:

Организационный момент (1 минута)

Актуализация опорных знаний (4 минуты)

Постановка проблемы (2 минуты)

«Открытие» детьми нового знания (18 минут)

Физкультминутка (3 минуты)

Первичное закрепление изученного (10 минут)

Подведение итогов урока (5 минут)

Постановка домашнего задания (2 минуты)

ХОД УРОКА

1) Организационный момент (1 минута)

Здравствуйте, садитесь. Сегодня на уроке мы с вами познакомимся с признаками делимости чисел на 2, 5, 10, 4, 25, 100. На уроке у каждого из вас будет возможность заработать оценку. Для этого нужно поднять руку и ответить на поставленный вопрос.

2) Актуализация опорных знаний (4 минуты)

Итак, приступим к уроку. В тетрадях пишем число, классная работа, тема урока: «Признаки делимости на 2, 5, 10, 4, 25, 100». (слайд 1 )

Первое задание : Найдите лишнее (слайд 2 )

Второе задание : Продолжите цепочку (слайд 3 )

3) Постановка проблемы (2 минуты)

Скажите, как можно быстро определить, делится число на 10 или нет? (отвечают : оно оканчивается на 0). Конечно, с этим признаком вы знакомы еще с начальной школы. А как же определить, делится ли число на 2, 5, 10, 4, 25, 100? (слайд 4 ).

4) «Открытие» детьми нового знания (18 минут)

Попробуем проанализировать числа, которые делятся на 2. (слайд 5 )

(дети пытаются выяснить закономерность ).

Запишем признак делимости на 2 (слайд 6 ).

Выполните задание (слайд 7 ). Итак, что нужно знать, чтобы определить делится ли число на 2? (отвечают: последняя цифра - четная) .

Молодцы! С признаком делимости справились.

Попытайтесь сформулировать признак самостоятельно (пытаются сформулировать признак).

Проверим! (слайд 9 ). (Записывают признак в тетрадь )

Пожалуйста, выполните задание (слайд 10 )

Попробуйте ответить на вопрос (слайд 12 ) (отвечают: делится на 10 и оканчивается на 0 ).

Итак: еще раз повторим признак делимости на 5: (число оканчивается на 5 или на 0) (повторяют признак делимости на 5 ).

Итак, мы рассмотрели признаки делимости по последней цифре числа.

Следующая группа признаков делимости похожа на первую.

Сделайте вывод (слайд 14 )

Подсказка (посмотрите на две последние цифры числа )

Аналогично выясните признак делимости на 25 (слайд 15 )

Вывод (слайд 16 )

Выполните задание устно (слайд 17 )

Молодцы! Справились с заданием!

5) Физкультминутка (3 минуты)

Мы считали и устали,

Дружно все мы тихо встали.

Ручками похлопали,

Раз, два, три.

Ножками потопали,

Раз, два, три.

Сели, встали,

Встали, сели.

И друг друга не задели.

Мы немножко отдохнем

(слайд 18 )

6) Первичное закрепление изученного (10 минут)

А теперь проверим, как вы усвоили материал

В тетрадях пишем ТЕСТ. Записываем только ответ.

(слайды 20 – 24 на каждый слайд 1,5 минуты )

Проверим: (слайд 25 ).

Поставьте себе оценку сами.

7) Подведение итогов урока (5 минут)

Итак, что нового на уроке вы сегодня узнали, чему научились?

Сформулируйте признак делимости на 2, 5, 10, 4, 25. (отвечают )

Хорошо, справились с вопросами.

Оценки за урок.

8) Постановка домашнего задания (2 минуты)

Спасибо за урок, можете быть свободными!

Не всегда одно натуральное число делится на другое натуральное число без остатка. Деля натуральное число, мы получаем остаток, допускаем ошибки, тем самым теряем время. Возникает необходимость, не выполняя деление установить, делится ли одно натуральное число на другое.

В III веке до нашей эры александрийский ученный Эратосфен открыл способ составления списка простых чисел, так как считал, что простые числа играют важную роль в изучении всех остальных чисел. Его метод составления списка простых чисел назвали решетом Эратосфена.

Вопросы делимости чисел рассматривались пифагорейцами. В теории чисел ими была проведена большая работа по типологии натуральных чисел. Пифагорейцы делили их на классы. Выделялись классы: совершенных чисел (число равное сумме своих собственных делителей, например: 6=1+2+3), дружественных чисел (каждое из которых равно сумме делителей другого, например 220 и 284: 284= ; 220=), фигурных чисел (треугольное число, квадратное число), простых чисел и др.

Блез Паскаль. Выдающийся французский математик и физик Блез Паскаль () еще в раннем возрасте вывел общий признак делимости чисел, из которого следуют все частные признаки.

Признак Паскаля: Натуральное число а разделится на другое натуральное число b только в том случае, если сумма произведений цифр числа а на соответствующие остатки, получаемые при делении разрядных единиц на число b, делится на это число делится на 7, т.к. 2·6 + 8 ·2 + 1 ·3 +4 = 35, 35:7=5 (где 6 – остаток от деления 1000 на 7; 2 - остаток от деления 100 на 7, 3 - остаток от деления 10 на 7)

Все перечисленные признаки делимости натуральных чисел можно разделить на 4 группы: 1 группа- когда делимость чисел определяется по последней(им) цифрой (ми)- это признаки делимости на 2, на 5, на разрядную единицу, на 4, на 8, на 25, на группа – когда делимость чисел определяется по сумме цифр числа- это признаки делимости на 3, на 9, на 7, на 37, на 11 (1 признак). 3 группа – когда делимость чисел определяется после выполнения каких-то действий над цифрами числа- это признаки делимости на 7, на 11(1 признак), на 13, на группа – когда для определения делимости числа используются другие признаки делимости- это признаки делимости на 6, на 15, на 12, на 14.

Признаки делимости чисел Признаки делимости на 4. Число делится на 4 если 2 последние его цифры делятся на делится на 4, т.к. 56: 4 = 14 Признак делимости на 8. Число делится на 8 три его последние цифры – нули или образуют число, которое делится на делится на 8, т.к. 952: 8 = 119

Признаки делимости на 25. Число делится на 25 число образованное его последними двумя цифрами делится на делится на 25, т.к. 75 делится на 25 Признаки делимости на 125. Число делится на 125 число образованное его последними тремя цифрами делится на делится на 125, т.к. 250: 125 = 2

Признак делимости на 7. Число делится на 7 результат вычитания удвоенной последней цифры из этого числа без последней цифры делится на делится на 7, т.к. 36 – (2·4) = 28, 28: 7 = 4 Признак делимости на 13. Число делится на 13 число его десятков, сложенное с учетверенным числом единиц, кратно делится на 13, т.к (4 ·5) = 104, 104: 13 = 8

Признаки делимости на способ. Число делится на 17 число его десятков, сложенное с увеличенным в 12 раз числом единиц, кратно делится на 17, т.к (3·12) = 2941; (1·12) = 306; 30 + (6·12) = 102; 10 + (2·12) = 34, 34: 17 = 2 2 способ. Число делится на 17 разность между числом его десятков и упятеренным числом единиц кратна не делится на 17, т.к – (2·5) = 3285, 328 – (5·5) = 328 – 25 = 303, 30 – (3·5) = 15, 15 не делится на 17.

Признак делимости на 19. Число делится на 19 число его десятков, сложенное с удвоенным числом единиц, кратно делится на 19, т.к (2·6) = 76, 76: 19 = 4 Признак делимости на 23. Число делится на 23 число его сотен, сложенное с утроенным числом единиц, кратно делится на 23, т.к (3· 42) = 414; 4 + (3·14) = 46, 46: 23 = 2

Признак делимости на 11. Число делится на 11 сумма цифр с чередующимися знаками делится на делится на 11, т.к =11, 11:11=1 Признак делимости на 99. Разобьем число на группы по 2 цифры справа налево (в самой левой группе может быть 1 цифра) и найдем сумму этих групп. Эта сумма делится на 99 само число делится на делится на 99, т.к = 198, 198: 99 = 2

Признак делимости на 101. Разобьем число на группы по 2 цифры справа налево (в самой левой группе может быть 1 цифра) и найдем сумму этих групп с переменными знаками. Эта сумма делится на 101 само число делится на делится на 101, т.к. 59 – = 101, 101:101 =1

Другие признаки делимости, следующие из двух признаков Признак делимости на 6. Число делится на 6 оно делится и на 2, и на 3. (456) Признак делимости на 12. Число делится на 12 оно делится и на 3, и на 4. () Признак делимости на 14. Число делится на 14 оно делится и на 2, и на 7. (364) Признак делимости на 15. Число делится на 15 оно делится и на 3, и на 5. (8 445)

Решение: Обе величины, которые требуется определить должны быть целыми числами, т.е. находиться среди делителей числа 203. Разложив 203 на множители, получаем: 203 = Но учебников не может быть 29. Также число учебников не может равняться 1, т.к. в этом случае учеников было бы 203. Значит, пятиклассников – 29 и каждый из них купил по 7 учебников. Ответ: 29 пятиклассников; 7 учебников

ПРАКТИЧЕСКАЯ ЗНАЧИМОСТЬ Знание и использование выше перечисленных признаков делимости натуральных чисел значительно упрощает многие вычисления, этим самым, экономя время; исключая вычислительные ошибки, которые можно сделать при выполнении действия деления. Я рекомендую ознакомиться со своей работой тем сверстникам, которые хотят знать о математике больше, чем рядовой школьник.

Задача 1. Незнайка хвастал своими выдающимися способностями умножать числа "в уме". Чтобы его проверить, Знайка предложил ему написать какое- нибудь число, перемножить его цифры и сказать результат. "1210", немедленно выпалил Незнайка. "Ты неправ!" сказал, подумав, Знайка. Как он обнаружил ошибку, не зная исходного числа? Решение. Если бы Незнайка оказался прав, то в числе были бы две "цифры" 11, поскольку среди делителей числа 1210 дважды встречается простое число 11. Ответ. Если бы Незнайка оказался прав, то в числе были бы две "цифры" 11.

Задача 2. делится ли 3905 на 11. Решение. Цифры, которые стоят на нечетных местах - это 3 (стоит на первом месте) и 0 (стоит на третьим месте). Цифры, которые стоят на четном месте это 9 (стоит на втором месте) и 5 (стоит на четвертом месте) Сумма цифр, стоящих на нечетном месте, неравна сумме цифр на четном месте, но суммы цифр отличаются ровно на = 11. Ответ. Значит, 3905 делится на 11.

Решение. Очевидно, что последняя цифра больше 1. Трёхзначное простое число не может оканчиваться ни на чётную цифру (т. е. на 0, 2, 4, 6 или 8), ни на цифру 5. Если последняя цифра 3 или 9, то сумма всех цифр числа, равная удвоенной последней цифре, делится на 3, а тогда само число делится на 3. Таким образом, осталась только цифра семь. Ответ. Только на 7.

Заключение. В процессе работы я познакомилась с историей развития признаков делимости. Сама правильно сформулировала признаки делимости натуральных чисел на 4, 6, 8, 15, 25, 50, 100, 1000…, чему нашла подтверждение из дополнительной литературы. Работая с разными источниками, я убедилась в том, что существуют другие признаки делимости натуральных чисел (на 7, 11, 12, 13, 14, 19, 37), что подтвердило правильность гипотезы о существовании других признаков делимости натуральных чисел. Из дополнительной литературы я нашла и решила задачи, при решении которых применяются признаки делимости натуральных чисел.

МБОУ «Лекаревская СОШ» ЕМР РТ

Признаки и свойства делимости

Подготовила

Быстрова Татьяна Михайловна

Признак делимости на 2

• Число делится на 2 тогда и только тогда, когда его последняя цифра четная.

• Примеры:

2 6 , 51 8 , 135 87 0 , 11 234 75 2 делятся на 2, т. к. последние цифры четные.

Признак делимости на 5

• Число делится на 5 тогда и только тогда, когда оно оканчивается на 5 или на 0.

• Примеры:

79 5 , 5 79 0 , 18 247 93 5 делятся на 5.

Признак делимости на 10

• Число делится на 10 тогда и только тогда, когда его последняя цифра равна нулю.

• Примеры:

64 0 , 74 38 0 , 986 453 00 0 делятся на 10.

Признак делимости на 3

• Число делится на 3 тогда и только тогда, когда сумма его цифр делится на 3.

• Примеры:

6 417, 96 878 898 делятся на 3, т.к.

6+4+1+7=18, а 18 делится на 3,

9+6+8+7+8+8+9+8=63, 6+3=9 кратно 3.

Признак делимости на 9

• Число делится на 9 тогда и только тогда, когда его сумма его цифр делится на 9.

• Примеры:

8 721, 111 111 111 делятся на 9, т.к.

8+7+2+1=18, а 18 делится на 9,

1+1+1+1+1+1+1+1+1=9 кратно 9.

Признак делимости на 4

• Число делится на 4 тогда и только тогда, когда две его последние цифры нули, либо образуют число, делящееся на 4.

• Примеры:

5 12 , 15 7 00 , 123 9 08

5 12 делится на 4, т.к. 12 делится на 4,

15 7 00 делится на 4, т. к.оканчивается

двумя нулями.

Признак делимости на 6

• Число делится на 6 тогда и только тогда, когда оно делится на 2 и на 3 одновременно.

• Примеры:

7 8 , 40 8 , 17 32 2 делятся на 6,

т. к. делятся и на 2 и на 3.

Признак делимости на 7

• Число делится на 7 тогда и только тогда, когда разность числа тысяч и числа, выражаемого последними тремя цифрами, делится на 7.

• Примеры:

12 005 делится на 7, т.к. 12-5=7, а 7 делится на 7;

859 523 делится на 7, т.к. 859-523=336,

а 336 делится на 7.

Признак делимости на 8

• Число делится на 8 тогда и только тогда, когда три его последние цифры нули, или образуют числа, делящиеся на 8 .

• Примеры:

5 408 делится на 8, т.к. 408 делится на 8,

976 000 делится на 8, т.к. оканчивается

тремя нулями.

Признак делимости на 11

• Число делится на 11 тогда и только тогда, когда сумма цифр с чередующимися знаками делится на 11.

• Примеры:

56 826 делится на 11, т.к. 5-6+8-2+6=11,

а 11делится на 11;

182 919 делится на 11, т.к. 1-8+2-9+1-9=-22,

а -22 делится на 11.

Признак делимости на 12

• Число делится на 12 тогда и только тогда, когда оно делится на 3 и на 4.

• Примеры:

5 04 , 721 5 36 делятся на 12,

т.к. делятся на 3 и на 4.

Признак делимости на 13

• Число делится на 13 тогда и только тогда, когда разность числа тысяч и числа, выражаемого последними тремя цифрами, делится на 13.

• Примеры:

301 275 делится на 13, т.к.301-275=26, а 26 делится на 13.

Признак делимости на 14

• Число делится на 14 тогда и только тогда, когда оно делится на 2 и на 7.

• Примеры:

58 8 , 45 61 2 делятся на 14, т. к. делятся

на 2 и на 7.

Признак делимости на 15

• Число делится на 15 тогда и только тогда, когда оно делится на 3 и на 5.

• Примеры:

18 0 , 52 5 , 27 58 5 делятся на 15,

т.к. делятся на 3 и на 5.

Признак делимости на 25

• Число делится на 25 тогда и только тогда, когда две его последние цифры либо нули, либо образуют число, делящееся на 25.

• Примеры:

12 7 00 , 37 6 25 , 403 7 50 , 34 678 9 75

делятся на 25.

• Если целые числа а и b делятся на целое число с , то их сумма и разность делятся на с.
• Если в сумме нескольких чисел все слагаемые, кроме одного числа, делятся на целое число b , а это слагаемое не делится на b , то вся сумма не делится на b .

3. Если целое число а делится на целое число b , а b делится на целое число с , то а делится на с .

4. Если целое число а делится на целое число b , то при любом целом с произведение ас делится на b .

5. Если целое число а делится на целое число k , целое число b делится на целое число n , то произведение аb делится на произведение kn .

6. Если произведение нескольких целых чисел делится на простое число, то, по меньшей мере, одно из этих чисел делится на простое число.

7. Если целое число а делится на каждое из двух взаимно простых и натуральных чисел b и с , то а делится на произведение bс .